向量的數(shù)量積與向量積

1、第四節(jié) 向量的數(shù)量積與向量積,一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積,,,,一、向量的數(shù)量積,引例 外力做功問題 由物理學可知，若質點受外力F的作用，沿直線移動，得到位移s.設位移方向與力的方向間的夾角為(F,s)，則這個力所做的功W為 W=|F||s|cos(F,s).,,,,,,定義1 若給定向量a，b，定義|a||b|cos(a,b)為向量a與b的數(shù)量積，記為a&

2、#183;b，即 a·b= |a||b|cos(a,b) ，又稱之為點積.,,,,,,性質 兩個非零向量垂直的充分必要條件是它們的數(shù)量積為零.,若a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，則向量的數(shù)量積可以用向量的坐標來表示：,,,,由于i，j，k是互相垂直的基本單位向量，因此,于是可得,由此可得知兩個非零向量a，b垂直的充分必要條件的坐標表達式:,,,,特別地，當a=b時，有

3、,,,,,,例1 證明,證 (a+b)·(a–b),,,,例2 已知a=(3,0,–1)，b=(–2,–1,3)，求a·b，(a,b).,,,,解,,,,例3 設a=2i+xj–k，b=3i–j+2k，且a⊥b，求x.,解 由于a⊥b ，可知必有,即 2·3+x·(–1)+(–1)·2=0.,,,,二 、兩向量的向量積,引例 當用扳手擰螺母時，若扳手沿逆時針方向

4、轉動，則其螺母朝外移動.若扳手沿順時針方向轉動，則螺母朝里移動，而其移動的距離，取決于所施外力及扳手的臂的長短.其移動的方向垂直于外力方向與扳手的臂所決定的平面.從力學上看螺母移動取決于力矩M，而力矩又取決于力臂L和力F，且,,,,,定義2 由向量a，b可以作出向量c，使c滿足下列三個條件：,(2) c⊥a，c⊥b，,(3)a，b，c成右手系，,則稱c為a，b的向量積，記為c=a×b，通常也稱c為a，b的叉積.,,,,對

5、于OA，OB的向量積OC也可以給出幾何解釋：OC的模在數(shù)值上等于以OA，OB為兩鄰邊的平行四邊形的面積，而OC垂直于OA，OB所決定的平面，且OA，OB，OC成右手系.,,,,,,,,,,,,,,,,性質 兩個非零向量平行的充分必要條件是它們向量積為零.,若 ，可以導出a×b的坐標表達式.,由向量積的定義可以證明：,,,,由于i，j

6、，k為互相垂直的基本單位向量，可得知,因此可得,,,,若利用行列式的形式，上式可以寫為形式記法,注意a×b=0意味著,,,,當x2，y2，z2中有一個為零時，不妨設x2=0，而y2，z2不同時為零，則約定x1=0，此時上述比例記法仍可以認為有意義.因此可以說,若a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，則a∥b的充要條件為,,,,例4 設a=(0,1,–2)，b=(2,–1,1)，求與a和b都垂直的單位向量.,解