函數(shù)的凸性及應用[文獻綜述]

1、畢業(yè)論文文獻綜述畢業(yè)論文文獻綜述信息與計算科學信息與計算科學函數(shù)的凸性及應用函數(shù)的凸性及應用一、前言部分一、前言部分（說明寫作的目的，介紹有關(guān)概念、綜述范圍，扼要說明有關(guān)主題爭論焦點）凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)。對函數(shù)凹凸性的研究，在數(shù)學分析的多個分支都有用處。特別是在函數(shù)圖形的描繪和不等式的推導方面，凸函數(shù)都有著十分重要的作用。凸函數(shù)的定義，最早是由Jersen給出的。各文獻中對凸函數(shù)的定義不盡相同，在大學的數(shù)學分析或高等數(shù)學教材中，常常

2、只研究具有二階導數(shù)的凸函數(shù)。本文首先給出凸函數(shù)的定義以及對凸函數(shù)的基本性質(zhì)進行總結(jié)。然后由基本性質(zhì)進行延伸，進一步給出凸函數(shù)的應用。對于凸函數(shù)的應用，本文擬將主要介紹以下的幾點：凸函數(shù)在證明Jensen不等式時的應用；凸函數(shù)在Hadamard不等式中的證明的應用；凸函數(shù)在分析不等式中的應用等。二、主題部分二、主題部分（闡明有關(guān)主題的歷史背景、現(xiàn)狀和發(fā)展方向，以及對這些問題的評述）凸函數(shù)具有一些非常優(yōu)良的性質(zhì)[1]，有著較好的幾何和代數(shù)性

3、質(zhì)，在數(shù)學各個領域中都有著廣泛的應用。1905年丹麥數(shù)學家Jensen首次給出了凸函數(shù)的定義，經(jīng)過近百年努力，凸函數(shù)的研究在各個方面正得到長足的發(fā)展，在現(xiàn)代學習和生活中的重要性已經(jīng)不斷的凸顯出來。凸函數(shù)是一類非常重要的函數(shù)，應用函數(shù)的凸性，不僅可以科學、準確的描述函數(shù)的圖像，而且也有證明不等式的凸函數(shù)方法，同時，凸函數(shù)也是優(yōu)化問題中重要的研究對象，它研究的內(nèi)容非常豐富，研究的結(jié)果也在許多領域得到了廣泛的應用，所以研究凸函數(shù)的性質(zhì)及應用就

4、顯得尤為重要。2.1凸函數(shù)的定義2.1.1凸函數(shù)一些基本定義通過數(shù)學分析的學習，對于函數(shù)和的圖像，我們很容易看出它??2xxf???xxf?們之間的不同點：曲線上任意兩點間的弧段總在這兩點連線的下方；而曲線2xy?則相反，在任意兩點間的弧段總在這兩點連線的上方。通過這兩個函數(shù)，我們把xy?2，且不全為零，有○30??iq)1(niqi??21Ixxxn???。nnnnnnqqqxfqxfqxfqqqqxqxqxqf???????????

5、??????212211212211)()()()(其中命題就是著名的Jensen不等式。在Jensen不等式中令就得到如○2)21(1ninqi???下定義：設在區(qū)間上有定義，稱為上的凸函數(shù)，當且僅當)(xfI)(xfI有。21Ixxxn???nxfxfxfnxxxfnn)()()()(2121?????????葛麗萍[3]介紹了函數(shù)在區(qū)間上可導的等價條件：若為區(qū)間上的可導函數(shù)，可fIfI得出以下等價條件。（1）為上的凸；（2）為上的

6、增函數(shù)；（3）對上的任意兩fIfII點，，有。1x2x????????21121???fxfxfxxx2.2凸函數(shù)的一些性質(zhì)2.2.1凸函數(shù)的連續(xù)性凸函數(shù)是數(shù)學分析中的一類重要函數(shù)，而函數(shù)的連續(xù)性又是函數(shù)性態(tài)的一項基本而又重要的特征。由于Jensen定義中并沒有對函數(shù)作出連續(xù)性及可導性假設，Jensen意義下凸函數(shù)并不一定是連續(xù)函數(shù)，而連續(xù)函數(shù)也不一定是凸函數(shù)，從凸函數(shù)的定義出發(fā)，研究連續(xù)函數(shù)與凸函數(shù)的關(guān)系。那么我們就會提出這樣的問題：

7、當連續(xù)函數(shù)滿足何種條)(xf件時，是區(qū)間上的凸函數(shù)；當凸函數(shù)滿足何種條件時，是區(qū)間上的)(xfI)(xf)(xfI連續(xù)函數(shù)；連續(xù)凸函數(shù)在區(qū)間上具有何種性質(zhì)？I例如函數(shù)，我們?nèi)菀鬃C明在上是凸函數(shù)，但在??????121)(xxxxf)(xf]11[?)(xf上不連續(xù)。存在函數(shù)，可以得出函數(shù)在上是連續(xù)的，但是函數(shù)在上]11[?3)(xxf?RR不是凸函數(shù)。上面這個例題說明凸函數(shù)并不一定是連續(xù)函數(shù)，而連續(xù)函數(shù)也不一定是凸函數(shù)。宋方[6]提出，