復(fù)數(shù)域內(nèi)的函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開及其應(yīng)用【文獻(xiàn)綜述】

1、<p><b>　　畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</b></p><p>　　復(fù)數(shù)域內(nèi)的函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開及其應(yīng)用</p><p><b>　　一、前言部分</b></p><p>　　早在14世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家馬德哈瓦提出了有關(guān)函數(shù)

2、展開成無窮級(jí)數(shù)的概念。眾多數(shù)學(xué)家，如格高利，泰勒、歐拉、高斯等均對(duì)級(jí)數(shù)理論做了重要貢獻(xiàn)。級(jí)數(shù)理論一經(jīng)產(chǎn)生就不斷在函數(shù)逼近論、微分方程、復(fù)變函數(shù)等理論中顯現(xiàn)了突出的應(yīng)用價(jià)值。</p><p>　　自18世紀(jì)初至19世紀(jì)末，冪級(jí)數(shù)展開問題成為中國數(shù)學(xué)的一個(gè)非?；钴S的研究領(lǐng)域。的無窮級(jí)數(shù)表達(dá)式，即圓徑求周公式，是牛頓(Isaac Newton，1642-1727)1667年發(fā)現(xiàn)的。正弦和正矢的冪級(jí)數(shù)展開式，即弧背求正弦

3、和弧背求正矢公式是英國數(shù)學(xué)家格雷戈里(J．Gregory，1638-1675)發(fā)現(xiàn)的。法國傳教士杜德美(P．Jartoux，1668-1720)1701年來華，把這三個(gè)公式介紹給中國學(xué)者。著名數(shù)學(xué)家梅文鼎之孫梅玨成(1681-1763)將其收入《梅氏叢書輯要》的附錄《赤水遺珍》，并分別稱為“求周徑密率捷法”和“求弦矢捷法”，這三個(gè)公式也被稱為杜氏三術(shù)[1]。</p><p>　　其后明安圖(1692-1764)經(jīng)

4、過30余年的不懈努力，他融會(huì)貫通了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)知識(shí)與剛剛傳入的西方數(shù)學(xué)知識(shí)，圓滿地證明了前三個(gè)公式，同時(shí)還得到另外六個(gè)公式，即為《割圓密率捷法》中的九個(gè)公式：“圓徑求周、弧背求正弦、弧背求正矢、弧背求通弦、弧背求矢、通弦求弧背、正弦求弧背、正矢求弧背、矢求弧背”。由陳際新于1744年整理成書并于1839年出版。牛頓在1666年通過無窮級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分的方法推導(dǎo)出的冪級(jí)數(shù)展開式，而在1669年又用級(jí)數(shù)回求法給出這一公式。日本數(shù)學(xué)家建部賢弘(K

5、atahiro Takebe)，在1722年采用與明安圖不同的分析方法得到了同一公式。1737年，歐拉(L．Euler，1707-1783)在給伯努利(J．Bernoulli，1667-1748)的一封信中提出關(guān)于反正矢平方的冪級(jí)數(shù)展開式，但直到1817年這一公式才公開發(fā)表。</p><p>　　1819年春，董祜誠在北京朱鴻處見到明安圖的《割圓密率捷法》第一卷抄本以后，“反復(fù)尋繹，究其立法之原”。不僅為冪級(jí)數(shù)展

6、開式的研究提供了有利的工具，同時(shí)也將中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的垛積術(shù)研究推進(jìn)了一大步。董祜誠的冪級(jí)數(shù)研究工作直接影響到項(xiàng)名達(dá)。項(xiàng)名達(dá)在京期間見到明安圖的《割圓密率捷法》和董祜誠的《割圓連比例圖解》后，便開始研究弦矢問題，并創(chuàng)立了下列兩個(gè)公式，“知本度通弦求他度通弦”和“知本度矢求他度矢”：</p><p>　　其中為圓半徑，分別為圓內(nèi)某弧的倍、倍弧長，分別為相應(yīng)的中矢。由這兩個(gè)公式可推導(dǎo)出明安圖的九個(gè)公式和董祜誠的四個(gè)公式，

7、其中包括正弦和反正弦的冪級(jí)數(shù)展開式，正矢和反正矢的冪級(jí)數(shù)展開式以及圓周率的無窮級(jí)數(shù)表達(dá)式等[1]。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)雖未進(jìn)入微積分的全面發(fā)展時(shí)代，但對(duì)冪級(jí)數(shù)的理論研究也是獨(dú)樹一幟，碩果累累的。這些數(shù)學(xué)思想對(duì)今日的數(shù)學(xué)創(chuàng)造仍有著啟發(fā)意義。</p><p>　　19世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)的理論經(jīng)過法國數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）、德國數(shù)學(xué)家黎曼（Riemann）和魏爾斯特拉斯（Weierstrass）的巨大努力，形成了非常系統(tǒng)的理論

8、，并且深刻地滲入到代數(shù)學(xué)、解析數(shù)論、微分方程、概論統(tǒng)計(jì)、計(jì)算數(shù)學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)等數(shù)學(xué)分支；同時(shí)，它在熱力學(xué)、流體力學(xué)和電學(xué)等方面也有很多的應(yīng)用。20世紀(jì)以來，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其他分支的聯(lián)系也日益密切。致使經(jīng)典的復(fù)變函數(shù)理論，如整函數(shù)與亞純函數(shù)理論、解析函數(shù)的邊值問題等有了新的發(fā)展和應(yīng)用。并且，還開辟了一些新的分支，如復(fù)變函數(shù)逼近論、黎曼曲面、單葉解析函數(shù)論、多復(fù)變函數(shù)論、廣義解析函數(shù)論和擬共

9、形映射等。另外，在種種抽象空間的理論中，復(fù)變函數(shù)還常常為我們提供新思想的模型。</p><p>　　在數(shù)學(xué)中，冪級(jí)數(shù)是一類形式簡單而應(yīng)用廣泛的函數(shù)級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)在理論上和實(shí)際中都有非常廣泛的應(yīng)用，它結(jié)構(gòu)簡單，通過冪級(jí)數(shù)的展開式可以表示函數(shù)，利用冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)，常常能夠解決數(shù)學(xué)分析中很多疑難問題。同高等數(shù)學(xué)中的實(shí)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一樣，復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)也是表示函數(shù)與研究函數(shù)的有力工具。復(fù)變函數(shù)論主要的研究對(duì)象是解析函

10、數(shù)。從級(jí)數(shù)作為研究函數(shù)的工具這個(gè)意義上講，在各種有力的解析工具中按其簡單、靈活、明確以及使用的方便而言，毫無疑問第一位應(yīng)屬于函數(shù)級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)和解析函數(shù)存在著密切的聯(lián)系。</p><p>　　本文基于復(fù)變函數(shù)中冪級(jí)數(shù)的一些基本知識(shí)，參考國內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)，就復(fù)變函數(shù)和冪級(jí)數(shù)的歷史背景，冪級(jí)數(shù)的概念、性質(zhì)及其斂散性的判定及函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開等相關(guān)基礎(chǔ)理論和在解決一些問題方面的應(yīng)用進(jìn)行綜述。</p><p

11、><b>　　二、主題部分</b></p><p>　　函數(shù)冪級(jí)數(shù)的展開式一直是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重點(diǎn)，冪級(jí)數(shù)的定義[2]：由冪級(jí)數(shù)列所產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)</p><p><b>　　，</b></p><p>　　它稱為冪級(jí)數(shù)，是一類最簡單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，從某種意義上說，它也可以看作是多項(xiàng)式函數(shù)的延伸。冪級(jí)數(shù)在理論上和實(shí)

12、際上都有很多應(yīng)用，特別在應(yīng)用它表示函數(shù)方面，使我們對(duì)它的作用有許多新的認(rèn)識(shí)。文獻(xiàn)[2]著重討論了，即</p><p>　　的情形。一般情況下，只有少數(shù)比較簡單的函數(shù)，其冪級(jí)數(shù)展開式能直接從定義出發(fā)，并根據(jù)定理（即設(shè)在點(diǎn)具有任意階導(dǎo)數(shù)，那么在區(qū)間內(nèi)等于它的泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù)的充分條件是：對(duì)一切滿足不等式的，有，這里是在的泰勒公式余項(xiàng)）來求得。更多的情況是從已知的展開式出發(fā)，通過變量代換、四則運(yùn)算或逐項(xiàng)求積等方法，間接

13、地求得函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式。熟悉某些初等函數(shù)的展開式，對(duì)于一些函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開是極為方便的。（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，2007）</p><p>　　要探討復(fù)數(shù)域內(nèi)函數(shù)冪級(jí)數(shù)的展開及其應(yīng)用，我們首先要了解有關(guān)函數(shù)冪級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，文獻(xiàn)[3]-[11]中敘述了有關(guān)復(fù)變函數(shù)中冪級(jí)數(shù)的知識(shí)，主要概括為以下方面：</p><p>　　1、冪級(jí)數(shù)的斂散性[3-11]</p><p>

14、;<b>　　定義1：具有</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　形式的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)，其中和都是復(fù)常數(shù)。如果作變換，則以上冪級(jí)數(shù)還可以寫成如下形式（把仍改寫為）</p><p><b>　　.</b></p><p>　　定理1（阿貝

15、爾（Abel）定理）：如果冪級(jí)數(shù)（1）在某點(diǎn)收斂，則它必在圓（即以為心，圓周通過的圓）內(nèi)絕對(duì)收斂且內(nèi)閉一致收斂。</p><p>　　推論1：若冪級(jí)數(shù)（1）在某點(diǎn)發(fā)散，則它在以為心并通過的圓周外部發(fā)散。</p><p>　　對(duì)于一個(gè)形如（1）的冪級(jí)數(shù)，這一點(diǎn)總是收斂的。時(shí)，可能有三種情況：第一種，任意的，級(jí)數(shù)均發(fā)散；第二種，任意的，級(jí)數(shù)均收斂；第三種，存在一點(diǎn)，使收斂，另外又存在一點(diǎn)，使發(fā)

16、散。在這種情況下，可以證明，存在一個(gè)有限正數(shù)，使得在圓周內(nèi)部絕對(duì)收斂，在圓周的外部發(fā)散。稱為此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑；圓和圓周分別稱為它的收斂圓和收斂圓周。在第一種情形，約定；在第二種情形，約定，并也稱它們?yōu)槭諗堪霃絒3]。</p><p>　　2、收斂半徑的求法、柯西-阿達(dá)馬（Hadamard）公式[3-11]</p><p>　　定理2：如果冪級(jí)數(shù)的系數(shù)合于</p><p

17、>　　，（達(dá)朗貝爾（D’Alembert））或，（柯西）或，（柯西-阿達(dá)馬）</p><p>　　則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 </p><p>　　3、冪級(jí)數(shù)和的解析性[3-11]</p><p>　　定理3：1.冪級(jí)數(shù) (2)</p><p>　　的和函數(shù)在其收

18、斂圓內(nèi)解析；2.在內(nèi)，冪級(jí)數(shù)②可以逐項(xiàng)求導(dǎo)至任意階，即 (3)</p><p>　　還有(2)與(3)的收斂半徑相同；3.。</p><p>　　4、泰勒定理[3-11]</p><p>　　定理4.1（泰勒定理）：設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，，只要圓含于，則</p><p>　　在內(nèi)能展成冪級(jí)數(shù) ，

19、 　(4)</p><p>　　其中系數(shù) . (5)</p><p><b>　　且展式是唯一的。</b></p><p>　　定義4：(4)稱為在點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)，(5)稱為其泰勒系數(shù)，而(4)等號(hào)右邊的級(jí)數(shù)，則稱為泰勒級(jí)數(shù)。</p><

20、p>　　定理4.2：函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的充要條件為：在內(nèi)任一點(diǎn)的鄰域內(nèi)可展成的冪級(jí)數(shù)，即泰勒級(jí)數(shù)。</p><p>　　復(fù)變函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)的條件與實(shí)變函數(shù)情形相比較，相對(duì)要弱一些，表現(xiàn)為以下兩點(diǎn)：一是實(shí)變函數(shù)要求存在任意階導(dǎo)數(shù)，而這對(duì)于一般函數(shù)是難以達(dá)到的。復(fù)變函數(shù)只要求在的鄰域內(nèi)解析，而這是易于實(shí)現(xiàn)的。這是因?yàn)閷?duì)于復(fù)變函數(shù)來說，解析就能保證函數(shù)無限次可微與各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性。二是實(shí)變函數(shù)還要證明余項(xiàng)趨于零，復(fù)

21、變函數(shù)則不必，證明余項(xiàng)趨向于零是比較困難和復(fù)雜的。正因?yàn)檫@兩點(diǎn)，所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用范圍就比實(shí)變函數(shù)情形要大得多[4-9]。其它關(guān)于復(fù)變函數(shù)中冪級(jí)數(shù)的疑難問題與解答這里就不一一敘述了。</p><p>　　冪級(jí)數(shù)求和是一類難度較大，技巧性較高的問題，一般要綜合運(yùn)用求導(dǎo)、求積分、拼湊、分解等技巧才能解決。徐鳳林，張秀麗[12]總結(jié)了四種求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的方法：一種方法是將待求級(jí)數(shù)分解成己知和函數(shù)的級(jí)數(shù)的運(yùn)算

22、(一般是加減)表達(dá)形式：如果待求級(jí)數(shù)的通項(xiàng)系數(shù)是代表和的形式，則首先考慮將其分解成簡單一些的級(jí)數(shù)的代數(shù)和，再逐一計(jì)算新的級(jí)數(shù)；第二種方法是“先求導(dǎo)，再積分”或“先積分，再求導(dǎo)”：若冪級(jí)數(shù)的通項(xiàng)系數(shù)是自然數(shù)或相鄰的自然數(shù)相乘的形式，可考慮用“先積分，再求導(dǎo)”的做法：若冪級(jí)數(shù)的通項(xiàng)系數(shù)是自然數(shù)的倒數(shù)或相鄰的自然數(shù)乘積的倒數(shù)，可考慮用“先求導(dǎo)，再積分”的做法；第三種方法是把待求級(jí)數(shù)用基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式表示出來：通過冪級(jí)數(shù)通項(xiàng)系數(shù)的分母

23、是階乘表示式，可考慮用正弦、余弦、指數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)進(jìn)行計(jì)算；第四種方法是解微分方程的方法：利用冪級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)的性質(zhì)，列寫出和函數(shù)滿足的微分方程，解此方程即得和函數(shù)。</p><p>　　函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)方法一般有兩種：一是直接展開法，二是間接展開法。用直接展開法將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)，工作量大，有時(shí)甚至是比較困難的，為了避免對(duì)余項(xiàng)的討論，經(jīng)常使用間接展開法，巧妙地利用已知函數(shù)的展開式和冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)，常能化難為易，

24、簡化計(jì)算，收到事半功倍的效果。我們就間接展開法探討了其解題方法與技巧可概括為幾個(gè)方面：</p><p>　　通過變量代換，直接套用這些函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，把所給 函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)[9-13]。</p><p>　　例1 將展開為的冪級(jí)數(shù)。</p><p>　　解：已知，因，只要將展開式中的替換成，即得展開式，所以</p><p>　　首先

25、展開導(dǎo)函數(shù)，然后用逐項(xiàng)積分的方法求出原函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式[9-13]。</p><p>　　例2 將展成冪級(jí)數(shù)。</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　利用逐項(xiàng)求導(dǎo)，把函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)[9-13]。</p><p>　　例3 將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)。</p><p>　　

26、解：利用待定系數(shù)法可求得</p><p><b>　　分析：，，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　可知</b></p><p><b>　　已知，</b></p><p>　　對(duì)上式兩端求

27、導(dǎo)兩次得</p><p><b>　　所以</b></p><p>　　上題化成了兩級(jí)數(shù)的和，它們成立的區(qū)別分別是與。所以總的成立區(qū)間應(yīng)是它們的公共部分。</p><p>　　利用復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部展開冪級(jí)數(shù)[13]。</p><p>　　例4 將的展開冪級(jí)數(shù)。</p><p>　　解：因復(fù)數(shù)的實(shí)

28、部就是，</p><p>　　為此，先求的展開式，只要在的展開式中用替代即可</p><p>　　比較上式兩端的實(shí)部，即得</p><p>　　比較虛部，又可得到。</p><p>　　另外還有待定系數(shù)法，利用級(jí)數(shù)的乘、除運(yùn)算，微分方程法，部分分式與幾何級(jí)數(shù)結(jié)合法，代換法[9]。以上都是函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)的間接法，這里不一一列舉。而展開一個(gè)函數(shù)并

29、非只能用一種方法。有時(shí)，一個(gè)函數(shù)既可分別用多種方法展開，也可多種方法并用展開。如上面例3就可用待定系數(shù)法與逐項(xiàng)求導(dǎo)結(jié)合展開。</p><p>　　巧妙地利用函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式及冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)能夠把一個(gè)復(fù)雜的性質(zhì)以及一些不容易把握的函數(shù)表達(dá)成形式最簡單、性質(zhì)最好的級(jí)數(shù)形式，所以用它解題往往思路清晰、條理清楚，達(dá)到良好的解題效果。許多專家學(xué)者都對(duì)函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開的實(shí)際應(yīng)用做了研究。利用冪級(jí)數(shù)的重要性質(zhì)，我們可歸納出冪級(jí)數(shù)在

30、計(jì)算中的幾個(gè)應(yīng)用：一、冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用：可用的冪級(jí)數(shù)展開式取近似計(jì)算，也可用的冪級(jí)數(shù)展開式取近似計(jì)算；二、冪級(jí)數(shù)在計(jì)算積分中的應(yīng)用：當(dāng)?shù)脑瘮?shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示出來時(shí)，計(jì)算的定積分就遇到了困難。我們可以利用冪級(jí)數(shù)展開式取有限項(xiàng)的辦法近似計(jì)算這些定積分的值。具體計(jì)算時(shí)，要求被積函數(shù)能夠展成收斂的冪級(jí)數(shù)，且積分區(qū)間必須在冪級(jí)數(shù)的收斂域之內(nèi)，然后利用冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分性質(zhì)來計(jì)算所求定積分的值；三、冪級(jí)數(shù)在求極限中的應(yīng)用：求函數(shù)

31、極限的方法很多，冪級(jí)數(shù)法也是其中之一；四、冪級(jí)數(shù)在數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和中的應(yīng)用；五、冪級(jí)數(shù)應(yīng)用于推導(dǎo)歐拉公式；六、冪級(jí)數(shù)在求導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用；七、冪級(jí)數(shù)在組合概率計(jì)算中的應(yīng)用：定義設(shè)是一個(gè)待定其值的數(shù)列，若存在一個(gè)函數(shù)，使得成立，則稱為數(shù)列的生成函數(shù)[14]。</p><p>　　利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示函數(shù)，冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)等，常常能解決許多較為復(fù)雜的問題：（一）復(fù)變函數(shù)冪級(jí)數(shù)在三角級(jí)數(shù)求和中的應(yīng)用[15-16]<

32、/p><p>　　我們求與的和函數(shù)可以構(gòu)造復(fù)函數(shù)冪級(jí)數(shù)，設(shè)法的和函數(shù)，令，則有.比較上式左右兩端實(shí)部和虛部，則得到.</p><p>　　在求的和函數(shù)中，我們常常用到以下結(jié)論：</p><p><b>　　(6)</b></p><p><b>　　(7)</b></p><p>

33、;<b>　　(8)</b></p><p>　　其中(6)中的滿足一切復(fù)數(shù)；(7)中的滿足；(8)中的滿足且</p><p>　?。ǘ┠负瘮?shù)在組合問題中的應(yīng)用[15]</p><p>　　利用母函數(shù)可以解決排列組合中有關(guān)的排法種數(shù)的問題。.</p><p>　　例5 用1克,2克,4克,8克,16克五個(gè)砝碼，在天平

34、秤上能秤哪幾種重量的物體？</p><p>　　解：設(shè)質(zhì)量為克的物體有種稱法，如果妒，就說明這幾個(gè)砝碼不能稱重為克的物體。因此，我們的問題是對(duì)哪幾個(gè)，相應(yīng)的。那么數(shù)列的母函數(shù)是，只要將它展開成冪級(jí)數(shù)就行了，</p><p><b>　　由于</b></p><p><b>　　所以，即.</b></p>&l

35、t;p>　　這說明凡重量不超過3l克的物體能用這五個(gè)砝碼稱出來，而且各只有一種稱法；而重量大于3l克的物體都小能用這五個(gè)砝碼稱。</p><p>　?。ㄈ┠负瘮?shù)在遞推關(guān)系中的應(yīng)用[15]</p><p>　　在遞推數(shù)列中，運(yùn)用母函數(shù)的方法可以方便地求得該數(shù)列的一般表達(dá)式．</p><p>　　例6 已知滿足線性遞歸關(guān)系，已知初始求的—般表達(dá)式。</p

36、><p>　　解：設(shè)數(shù)列的母函數(shù)為，則有</p><p><b>　　以上三式相加即得，</b></p><p>　　所以，為了求得的—般表達(dá)式，只要將展開成冪級(jí)數(shù)就行了。</p><p>　　設(shè)是方程的兩個(gè)根，則可以得到，即得.</p><p><b>　　又</b></

37、p><p><b>　　所以，故</b></p><p>　　函數(shù)冪級(jí)數(shù)的展開一直是分析學(xué)研究的一個(gè)重點(diǎn)，冪級(jí)數(shù)作為一種基礎(chǔ)工具用于解決高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)中問題，有待我們這些后人更深入的研究，進(jìn)一步擴(kuò)大它的應(yīng)用范圍。</p><p><b>　　三、總結(jié)部分</b></p><p>　　本文主要闡述了以

38、下內(nèi)容：（1）復(fù)變函數(shù)和冪級(jí)數(shù)的歷史背景；（2）復(fù)變函數(shù)中的冪級(jí)數(shù)的概念、斂散性判定、收斂半徑的求法、和函數(shù)的求法及函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開；（3）歸納總結(jié)函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開的一系列方法；（4）函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開主要在一些方面的應(yīng)用。</p><p>　　在復(fù)變函數(shù)論中，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開無論在理論上還是在應(yīng)用上都占有非常重要的地位。冪級(jí)數(shù)在其和函數(shù)的解法，函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)的方法技巧以及冪級(jí)數(shù)的展開或展開式在計(jì)算等數(shù)學(xué)問題的應(yīng)用前人

39、已經(jīng)取得了許多重要成果。并且事物總在不斷地發(fā)展變化，隨著人們更深入的研究，筆者相信隨著人們更深入的研究，例如研究更多冪級(jí)數(shù)展開的途徑，或是洛朗展式的進(jìn)一步深入，又或是對(duì)雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的冪級(jí)數(shù)余項(xiàng)的研究等等，關(guān)于函數(shù)冪級(jí)數(shù)的理論和方法定會(huì)更趨完善，它所涉及的領(lǐng)域也會(huì)更廣。</p><p><b>　　四、參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 徐傳勝,中國

40、傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想對(duì)冪級(jí)數(shù)理論的研究[J].西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版).2006,16(2) :143-148.</p><p>　　[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京:高等教育出版社,2007.</p><p>　　[3] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論（第三版）[M].北京:高等教育出版社,2004.</p><p>　　[4] 孫清華,孫昊.復(fù)變

41、函數(shù) 內(nèi)容、方法與技巧[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社,2003.</p><p>　　[5] 焦紅偉,尹景本.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京:北京大學(xué)出版社,2007.</p><p>　　[6] 鄭建華.復(fù)變函數(shù)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2005.</p><p>　　[7] 劉子瑞,梅家斌.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京:科學(xué)出版社,2007.</p

42、><p>　　[8] 譚小江,伍勝鍵.復(fù)變函數(shù)簡明教程[M].北京:北京大學(xué)出版社,2006.</p><p>　　[9] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書[M].北京:高等教育出版社,1996.</p><p>　　[10] Lars V. Ahlfors. Complex Analysis (Third Edition)[M]: China Machine Press,2

43、004.</p><p>　　[11] James Ward Brown, Ruel V. Churchill. Complex Variables and Applications (Seventh</p><p>　　Edition) [M]: China Machine Press, 2004.</p><p>　　[12] 徐鳳林,張秀麗.冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的解法

44、綜述[J].山東輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2006,20(1):94-98.</p><p>　　[13] 吳鳳香,方曉華.函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)方法探討[J].金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào).2003,3(4):40-42.</p><p>　　[14] 趙瑜.淺談冪級(jí)數(shù)在計(jì)算中的應(yīng)用[J].成功(教育版).2009, 8:282-283.</p><p>　　[15] 梁慧.