復(fù)數(shù)域內(nèi)的函數(shù)冪級數(shù)展開及其應(yīng)用【畢業(yè)論文+文獻(xiàn)綜述+開題報告】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　復(fù)數(shù)域內(nèi)的函數(shù)冪級數(shù)展開及其應(yīng)用</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)

2、學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：復(fù)數(shù)域內(nèi)的函數(shù)冪級數(shù)展開是表示函數(shù)與研究函數(shù)的有力工

3、具。本文首先介紹復(fù)數(shù)項(xiàng)冪級數(shù)的概念、基本性質(zhì)和重要定理；其次，歸納將解析函數(shù)展開為冪級數(shù)的幾種常用方法，包括代換法、冪級數(shù)乘法、待定系數(shù)法等；最后，通過實(shí)例分析來熟悉函數(shù)冪級數(shù)展開在實(shí)際問題中的具體應(yīng)用。</p><p>　　關(guān)鍵詞：解析函數(shù)；冪級數(shù)；直接展開；間接展開</p><p>　　Power Series Expansion of Function within A </p

4、><p>　　Complex Field and Its Application</p><p>　　Abstract：Power series expansion of function in the complex field is a powerful tool for representing the function and researching function. Firstly

5、, concepts, basic properties and important theorems were introduced in this paper. Secondly, several common methods that made analytic functions expanded into power series were introduced in the paper, including substitu

6、tion method, the power series multiplication, undetermined coefficient method and so on. Finally, the application of power series exp</p><p>　　Key words：Analytic Function, Power Series, Immediate Expansion,

7、Indirect Expansion</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 引 言1</b></p><p>　　2 復(fù)數(shù)項(xiàng)冪級數(shù)3</p><p>　　2.1 冪級數(shù)3</p><p>　　2.1.1 冪級數(shù)概念3&

8、lt;/p><p>　　2.1.2 冪級數(shù)的斂散性與收斂半徑3</p><p>　　2.1.3 冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)5</p><p>　　2.2 解析函數(shù)的泰勒級數(shù)6</p><p>　　2.3解析函數(shù)的洛朗級數(shù)7</p><p>　　3 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法8</p><p>

9、　　3.1 直接展開法8</p><p>　　3.2 間接展開法9</p><p>　　3.3 實(shí)例分析11</p><p><b>　　4 結(jié)束語17</b></p><p>　　5 致 謝錯誤!未定義書簽。</p><p>　　6 參考文獻(xiàn)18</p>

10、<p><b>　　1 引 言</b></p><p>　　在數(shù)學(xué)中，冪級數(shù)是一類形式簡單而應(yīng)用廣泛的函數(shù)級數(shù)，它結(jié)構(gòu)簡單，通過冪級數(shù)的展開式可以表示函數(shù)，利用冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)，常常能夠解決數(shù)學(xué)分析中很多疑難問題。同高等數(shù)學(xué)中的實(shí)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一樣，復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)也是表示函數(shù)與研究函數(shù)的有力工具，而冪級數(shù)簡單的結(jié)構(gòu)形式和良好的性質(zhì)也使之成為一種有效的計算工具。</p&

11、gt;<p>　　早在14世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家馬德哈瓦提出了有關(guān)函數(shù)展開成無窮級數(shù)的概念。眾多數(shù)學(xué)家，如格高利，泰勒、歐拉、高斯等均對級數(shù)理論做了重要貢獻(xiàn)。自17世紀(jì)初至19世紀(jì)末，冪級數(shù)展開問題成為一個非?；钴S的研究領(lǐng)域。1667年，牛頓(Isaac Newton，1642-1727)發(fā)現(xiàn)了的無窮級數(shù)表達(dá)式，即圓徑求周公式。英國數(shù)學(xué)家格雷戈里(J．Gregory，1638-1675)發(fā)現(xiàn)了正弦和正矢的冪級數(shù)展開式。1701年

12、，法國傳教士杜德美(P．Jartoux，1668-1720)來華，把這三個公式介紹給了中國學(xué)者。著名數(shù)學(xué)家梅文鼎之孫梅玨成(1681-1763)將其收入《梅氏叢書輯要》的附錄《赤水遺珍》，并分別稱為“求周徑密率捷法”和“求弦矢捷法”。其后明安圖(1692-1764)經(jīng)過30余年的不懈努力，圓滿地證明了前三個公式，同時還得到另外六個公式.牛頓在1666年通過無窮級數(shù)逐項(xiàng)積分的方法，推導(dǎo)出的冪級數(shù)展開式，而在1669年又用級數(shù)回求法給出這一

13、公式。日本數(shù)學(xué)家建部賢弘(Katahiro Takebe)，在1722年采用與明安圖不同的分析方法得到了同一公式。1737年，歐拉(L．Euler，17</p><p>　　函數(shù)冪級數(shù)的展開式一直是數(shù)學(xué)分析中的一個重點(diǎn)，函數(shù)冪級數(shù)展開的研究之所以如此重要，是因?yàn)樗诶碚撋虾蛯?shí)際中都有非常廣泛的應(yīng)用，巧妙地利用函數(shù)冪級數(shù)展開式及冪級數(shù)的性質(zhì)能夠把一個復(fù)雜的性質(zhì)以及一些不容易把握的函數(shù)表達(dá)成形式最簡單、性質(zhì)最好的級數(shù)

14、形式，所以用它解題往往思路清晰、條理清楚，達(dá)到良好的解題效果。許多專家學(xué)者都對函數(shù)冪級數(shù)展開的實(shí)際應(yīng)用做了研究。利用冪級數(shù)的重要性質(zhì)，我們可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)冪級數(shù)展開在許多方面都有重要的應(yīng)用，尤其在近似計算中，例如的值，通過其冪級數(shù)展開式，即，無論為何值都可以求出的近似值。另外，函數(shù)冪級數(shù)展開還可以應(yīng)用到求積分、求極限、推導(dǎo)歐拉公式、求導(dǎo)數(shù)、組合概率計算等等。復(fù)變函數(shù)中，我們對解析函數(shù)常常要通過將其展成冪級數(shù)來研究，因此復(fù)數(shù)域內(nèi)的函數(shù)冪級數(shù)展

15、開是復(fù)變函數(shù)論研究的重要課題。</p><p>　　函數(shù)展開為冪級數(shù)方法一般有兩種：直接展開法和間接展開法。用直接展開法將函數(shù)展開成冪級數(shù)，工作量大，有時甚至是比較困難的，為了避免對余項(xiàng)的討論，經(jīng)常使用間接接展開法，巧妙地利用已知函數(shù)的展開式和冪級數(shù)的性質(zhì)，常能化難為易，簡化計算，收到事半功倍的效果。而且展開一個函數(shù)并不是只能用一種方法，有時，一個函數(shù)既可分別用多種方法展開，也可以多種方法并用展開。</p&

16、gt;<p>　　本文分復(fù)數(shù)項(xiàng)冪級數(shù)和解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法兩個單元。在復(fù)數(shù)項(xiàng)冪級數(shù)部分，本文概述了冪級數(shù)的概念、斂散性和基本運(yùn)算性質(zhì)，以及泰勒定理和洛朗定理。在解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法部分，通過查閱大量書籍和文獻(xiàn)資料，主要在前人的研究基礎(chǔ)上歸納總結(jié)了將解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的一些常用方法，并通過實(shí)例分析介紹應(yīng)用這些方法的解題過程。</p><p><b>　　2 復(fù)數(shù)項(xiàng)冪級數(shù)</b

17、></p><p>　　冪級數(shù)作為研究解析函數(shù)的一個重要工具，復(fù)變函數(shù)中，我們對解析函數(shù)常常要通過將其展成冪級數(shù)來研究，因此復(fù)數(shù)域內(nèi)的函數(shù)冪級數(shù)展開是復(fù)變函數(shù)論研究的重要課題。函數(shù)冪級數(shù)展開在理論上和實(shí)際中都有非常廣泛的應(yīng)用，它結(jié)構(gòu)簡單，通過冪級數(shù)的展開式可以表示函數(shù)，利用冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)，常常能夠解決數(shù)學(xué)分析中很多疑難問題。因此，首先要了解冪級數(shù)的一些基本性質(zhì)。本單元介紹的主要內(nèi)容就是復(fù)數(shù)項(xiàng)冪級數(shù)的

18、基本概念、主要性質(zhì)和重要定理。</p><p><b>　　2.1 冪級數(shù)</b></p><p>　　2.1.1 冪級數(shù)概念</p><p>　　設(shè)是一復(fù)變函數(shù)序列，在內(nèi)有定義，則表達(dá)式</p><p>　　稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)；</p><p>　　稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和。</p&

19、gt;<p>　　對于，若存在，稱級數(shù)在收斂，為它的和。若級數(shù)在內(nèi)處處收斂，則其和是內(nèi)的一個和函數(shù)</p><p>　　或 </p><p>　　稱為復(fù)變冪級數(shù)，簡稱冪級數(shù)[2]。</p><p>　　2.1.2 冪級數(shù)的斂散性與收斂半徑</p><p>　　1.阿貝爾（Abel）定理

20、 如果冪級數(shù)在收斂，則對滿足的，級數(shù)必絕對收斂。如果在級數(shù)發(fā)散，則對滿足的，級數(shù)必發(fā)散[2]。</p><p>　　一個冪級數(shù)的收斂情況，可分為：</p><p><b>　　在全平面處處收斂；</b></p><p><b>　　僅在原點(diǎn)的收斂；</b></p><p>　　在以原點(diǎn)為中心的圓周內(nèi)

21、，級數(shù)絕對收斂；在外，級數(shù)發(fā)散。稱為收斂圓，的半徑稱為收斂半徑。</p><p>　　2.收斂圓與收斂半徑 對于一個形如的冪級數(shù)，這一點(diǎn)總是收斂的。時，可能有三種情況：第一種，任意的，級數(shù)均發(fā)散；第二種，任意的，級數(shù)均收斂；第三種，存在一點(diǎn)，使收斂，另外又存在一點(diǎn)，使發(fā)散。在這種情況下，可以證明，存在一個有限正數(shù)，使得在圓周內(nèi)部絕對收斂，在圓周的外部發(fā)散。稱為此冪級數(shù)的收斂半徑；圓和圓周分別稱為它的收斂圓和

22、收斂圓周。在第一種情形，約定；在第二種情形，約定，并也稱它們?yōu)槭諗堪霃健?lt;/p><p>　　收斂圓周上級數(shù)的斂散性，根據(jù)具體情況分析確定。</p><p>　　3.收斂半徑的求法[3-5] 冪級數(shù)的收斂半徑，常用以下三種方法：</p><p>　?。?）比值法 如果，則收斂半徑。</p><p>　?。?）根值法 如果，則

23、收斂半徑。</p><p>　?。?）柯西-哈達(dá)瑪（Cauchy-Hadamard）法 如果，則收斂半徑。稱時的上極限。</p><p><b>　　若，則；若，則。</b></p><p>　　2.1.3 冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)</p><p><b>　　1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)</b></p>

24、;<p><b>　　設(shè)，令，</b></p><p>　　則當(dāng)時，（線性運(yùn)算），</p><p><b>　　（乘積運(yùn)算）。</b></p><p><b>　　2.復(fù)合運(yùn)算性質(zhì)</b></p><p>　　如果當(dāng)時，；又在時，解析且滿足，則當(dāng)時，有。</

25、p><p><b>　　3.分析運(yùn)算性質(zhì)</b></p><p>　　設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為，</p><p>　　則（1）冪級數(shù)的和函數(shù)是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)；</p><p>　?。?）和函數(shù)在收斂圓內(nèi)逐項(xiàng)可導(dǎo)，即；</p><p>　?。?）和函數(shù)在收斂圓內(nèi)逐項(xiàng)可積，即</p><

26、;p><b>　　，</b></p><p><b>　　或 。</b></p><p>　　2.2 解析函數(shù)的泰勒級數(shù)</p><p>　　1. 泰勒定理 設(shè)是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，，若為到的邊界上各點(diǎn)的最短距離，則在圓域內(nèi)，必有，其中。式中級數(shù)稱為在的泰勒級數(shù)。當(dāng)時，級數(shù)稱為麥克勞林級數(shù)。<

27、/p><p>　　注：（1）解析函數(shù)泰勒展式的唯一性：任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)必定是它的泰勒級數(shù)；</p><p>　　（2）解析函數(shù)的泰勒級數(shù)的收斂半徑至少等于，即；</p><p>　?。?）設(shè)在解析，則在的泰勒級數(shù)的收斂半徑等于到的距最近一個奇點(diǎn)的距離，即[6-8]。</p><p>　　2. 函數(shù)在解析的充分必要條件是在的某鄰域可展開為冪

28、級數(shù)。函數(shù)在內(nèi)解析的充分必要條件是在內(nèi)任一點(diǎn)的某鄰域可展開為冪級數(shù)。</p><p>　　3. 一些初等函數(shù)的泰勒展開式</p><p><b>　??；</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　??；</b></p><p&g

29、t;<b>　??；</b></p><p><b>　??；</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　??；</b></p><p><b>　??；</b></p><p><

30、;b>　??；</b></p><p>　　其中是指主值，是復(fù)數(shù)。</p><p><b>　　解析函數(shù)的洛朗級數(shù)</b></p><p><b>　　雙邊冪級數(shù)</b></p><p>　　稱為洛朗級數(shù)。其中及均為常數(shù)。若組成洛朗級數(shù)的正冪項(xiàng)級數(shù)與負(fù)冪項(xiàng)級數(shù)都收斂，稱洛朗級數(shù)收斂[

31、9]。</p><p>　　2. 洛朗定理 設(shè)在圓環(huán)域內(nèi)解析，則在此圓環(huán)域內(nèi)可以展為。其中；，為圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條正向簡單閉曲線。</p><p>　　在一個圓環(huán)域內(nèi)，解析函數(shù)的洛朗級數(shù)是唯一的。</p><p>　　3. 洛朗級數(shù)的兩個部分</p><p>　　洛朗級數(shù)的正冪部分稱為級數(shù)的解析部分，在圓內(nèi)收斂。</p>&

32、lt;p>　　洛朗級數(shù)的負(fù)冪部分稱為級數(shù)的主要部分，在無界區(qū)域內(nèi)收斂。</p><p>　　3 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法</p><p>　　將一個解析函數(shù)展為泰勒級數(shù)常用兩類方法，一是直接展開法，一是間接展開法。對于奇、偶函數(shù)而言，奇函數(shù)的泰勒級數(shù)只含的奇次冪項(xiàng)，偶函數(shù)的泰勒級數(shù)只含有的偶次冪項(xiàng)。</p><p>　　在展開為冪級數(shù)時，還要注意的是，函數(shù)是在

33、展開，還是在展開。兩者不僅冪級數(shù)的形式不同，收斂區(qū)域也不同。同時，要考察函數(shù)在指定點(diǎn)是否能展開，且能很好地歸納通項(xiàng)形式，使展開式的形式簡單明了。</p><p>　　在求一些初等函數(shù)的洛朗展式時，我們也往往不用通過洛朗系數(shù)公式</p><p>　　計算的直接法，而主要是用間接法，即根據(jù)洛朗展式的唯一性，通過利用已知的一些初等函數(shù)的泰勒展式來展開。所以把函數(shù)展開成洛朗級數(shù)，泰勒級數(shù)仍然是基礎(chǔ)

34、，下面主要介紹解析函數(shù)展為泰勒級數(shù)的常用方法。</p><p>　　3.1 直接展開法</p><p>　　直接算出各階導(dǎo)數(shù)后利用泰勒定理求得函數(shù)的泰勒級數(shù)的方法稱為直接展開法，即從已給的，求出，從而求出泰勒系數(shù)。把函數(shù)展開成的冪級數(shù)，可以按以下步驟進(jìn)行：</p><p>　　第一步 求出的各階導(dǎo)數(shù)，如果在處的某階導(dǎo)數(shù)不存在，就停止進(jìn)行，例如在處，的三階導(dǎo)數(shù)不存

35、在，它就不能展開為的冪級數(shù)；</p><p>　　第二步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在處的值：；</p><p>　　第三步 寫出冪級數(shù)，并求出收斂半徑；</p><p>　　第四步 考察當(dāng)在區(qū)間內(nèi)時余項(xiàng)的極限。</p><p>　　考察（在與之間）是否為零，如果為零，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的冪級數(shù)展開式為，[10-11]。</p>&l

36、t;p>　　然而，用直接展開法將函數(shù)展開成冪級數(shù)是十分麻煩的，首先要計算任意階導(dǎo)數(shù)，一般都很復(fù)雜，工作量大，有時甚至是比較困難的，其次要證明并不容易。因此，我們常常采取不直接求導(dǎo)的間接法，而是使用間接接展開法，巧妙地利用已知函數(shù)的展開式和冪級數(shù)的性質(zhì)，常能化難為易，簡化計算，收到事半功倍的效果。</p><p>　　3.2 間接展開法</p><p>　　間接展開法是以函數(shù)的冪級數(shù)

37、展開式具有唯一性作為依據(jù)，利用常用函數(shù)的冪級數(shù)展開</p><p>　　式（參見上節(jié)2.2），通過冪級數(shù)的運(yùn)算（包括四則運(yùn)算，逐項(xiàng)求導(dǎo)，逐項(xiàng)積分）以及變量代換等方法將所給出函數(shù)展開成冪級數(shù)。這樣做不但計算簡單，而且可以避免研究余項(xiàng)，它是最常用的將函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法。</p><p>　　間接展開法相比直接展開法更為簡捷，使用范圍也更廣泛，大體有以下幾種方法：</p>&l

38、t;p><b>　　（一）變量代換</b></p><p>　　將函數(shù)進(jìn)行分解、置換成已知展開式的函數(shù)形式，直接套用這些函數(shù)的冪級數(shù)展開式，利用這些已知展開式把所給函數(shù)展成冪級數(shù)。</p><p>　　其中用代換，是在冪級數(shù)展開式用得最多的一種代換，也是最為簡便的一種代換。使用時要特別注意到這一要求，當(dāng)用其它因式代換時，也必須滿足這一要求。</p>

39、<p><b>　?。ǘ┎糠址质椒?lt;/b></p><p>　　當(dāng)為有理分式函數(shù)時，一般先將分解為部分分式，然后再考慮應(yīng)用已知展開式，或是像利用二項(xiàng)展開式和等比級數(shù)將各項(xiàng)分別展開后再利用冪級數(shù)的加、減法運(yùn)算來求的冪級數(shù)展開式。</p><p><b>　?。ㄈ┪⒎址匠谭?lt;/b></p><p>　　利用被展

40、開函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系，建立關(guān)于函數(shù)的微分方程。在通過微分方程求得函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)，然后按定義寫出函數(shù)的冪級數(shù)展開式。利用微分方程將函數(shù)在展開成冪級數(shù)可以按如下步驟進(jìn)行：</p><p>　　第一步 利用被展開函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系建立關(guān)于函數(shù)的微分方程，使得函數(shù)是這個方程滿足某些初始條件的唯一解．</p><p>　　第二步 令，并將代人到微分方程中．</p><

41、p>　　第三步 比較方程的系數(shù)，得到確定的遞推公式．</p><p>　　第四步 將得到的的遞推公式代入到中，得出函數(shù)的冪級數(shù)展開式[12-14]．</p><p>　　這種方法一般適合于難以找到可利用的展開式，而其導(dǎo)數(shù)又保留原來函數(shù)因式的一些初等函數(shù)的冪級數(shù)展開，如類型或類型。此方法的優(yōu)點(diǎn)在于將被展開函數(shù)冪級數(shù)的系數(shù)求解問題轉(zhuǎn)化為求解方程系數(shù)問題，這種求解方式既簡單直觀，又便于

42、理解.</p><p>　?。ㄋ模┲痦?xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分法</p><p>　　當(dāng)函數(shù)本身不合乎已知展開式函數(shù)形式，而其導(dǎo)數(shù)合乎時，可以利用冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)逐項(xiàng)可導(dǎo)的性質(zhì)來求函數(shù)的冪級數(shù)展開式。當(dāng)所給函數(shù)為某已知展開式函數(shù)的積分時，可用逐項(xiàng)積分法求函數(shù)的冪級數(shù)展開式。</p><p><b>　?。ㄎ澹﹥缂墧?shù)乘法</b></p>&l

43、t;p>　　當(dāng)被積函數(shù)可以分解為幾個已知展開式的函數(shù)的乘積時，可以采用此方法。乘積項(xiàng)的確定一般用柯西乘積確定。缺點(diǎn)是不易寫出冪級數(shù)的通項(xiàng)，所以一般只寫出展開式的前四至五項(xiàng)。</p><p>　?。╅L除法（冪級數(shù)除法）</p><p>　　設(shè)在內(nèi)解析，在內(nèi)解析，且，則與都能在處展開為泰勒級數(shù)，而且得泰勒級數(shù)必有非零常數(shù)項(xiàng)。所以，在以為中心的某圓域內(nèi)能展開為泰勒級數(shù)。為了求得的泰勒展

44、開式，只要采用像兩個多項(xiàng)式相除那樣將與的泰勒展開式相除就可以了。通常依升冪排列相除。由于計算比較麻煩，僅在不得已時用之[15-16]。</p><p><b>　?。ㄆ撸┐ㄏ禂?shù)法</b></p><p>　　待定系數(shù)法是先將給定的函數(shù)表示成系數(shù)待定的冪級數(shù)：。由于，而且與的展開式是一直（或容易求得）的，將它們代入上式并將右端兩級數(shù)相乘后再比較等式兩端同次冪的系數(shù)，就

45、可以確定各待定系數(shù)，從而得到的冪級數(shù)展開式。</p><p>　?。ò耍┓崔D(zhuǎn)展開法[10]</p><p>　　例 設(shè)，求關(guān)于的展開式，其中是的反函數(shù)。</p><p><b>　　解 注意到，</b></p><p><b>　　從而有，</b></p><p><

46、;b>　　即</b></p><p><b>　　所以有</b></p><p>　　事實(shí)上，。從而，故有。</p><p>　　上述方法，一般稱為冪級數(shù)的反轉(zhuǎn)展開法，在大多數(shù)情況下是借助于冪級數(shù)的間接展開法。利用這種方法，可以求出一批冪級數(shù)的反轉(zhuǎn)展開式。這是數(shù)學(xué)研究的一個新領(lǐng)域，研究它的一般方法和基本理論對于擴(kuò)充冪級數(shù)展開內(nèi)

47、容具有重要的理論和實(shí)際意義。</p><p><b>　?。ň牛┙M合法</b></p><p>　　將兩個一起可以構(gòu)成一個復(fù)函數(shù)的函數(shù)，利用歐拉公式組合起來，在展開為冪級數(shù)，然后根據(jù)實(shí)部、虛部間對應(yīng)關(guān)系，求得所需展開式。</p><p><b>　　3.3 實(shí)例分析</b></p><p>　　實(shí)

48、際上，一個函數(shù)展開為冪級數(shù)的方法是多種多樣的，一題多解的情況更為常見。本節(jié)內(nèi)容主要是通過結(jié)合幾個實(shí)例對上節(jié)所說的一些冪級數(shù)展開法作些具體說明。</p><p>　　例1 將函數(shù)在處展開成冪級數(shù)。</p><p>　　解法1 直接展開法</p><p><b>　　第一步 </b></p><p><b>

49、　　第二步 </b></p><p>　　第三步 寫出冪級數(shù)</p><p>　　再求冪級數(shù)的收斂半徑，而時，常數(shù)項(xiàng)級數(shù)發(fā)散，故收斂域?yàn)椋?lt;/p><p>　　第四步 當(dāng)時，考察余項(xiàng)的極限。對任何有限的（介于與之間），</p><p><b>　　有；</b></p><p>　

50、　于是可得冪級數(shù)展開式為。</p><p>　　以下解法均為間接展開法：</p><p>　　解法2 利用展開式的結(jié)論展開</p><p>　　我們知道，此展開式在端點(diǎn)處的收斂性視的值而定。</p><p><b>　　此處視為，可得</b></p><p>　　解法3 利用冪級數(shù)的乘法運(yùn)算來

51、展開</p><p>　　解法4 利用變上限的定積分和逐項(xiàng)求導(dǎo)法</p><p><b>　　令，</b></p><p><b>　　顯然有，</b></p><p><b>　　而。故，</b></p><p><b>　　從而得到。&l

52、t;/b></p><p>　　解法5 逐項(xiàng)求導(dǎo)法</p><p><b>　　因?yàn)椋?lt;/b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　解法6 待定系數(shù)法</p>&l

53、t;p><b>　　設(shè)，則，</b></p><p><b>　　即有</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　比較等式兩邊的同次冪的系數(shù)可得：</p><p><b>　　，</b></p><p&g

54、t;<b>　　即有 ，所以。</b></p><p>　　解法7 冪級數(shù)復(fù)合法</p><p><b>　　因?yàn)椋?lt;/b></p><p><b>　　所以可得：</b></p><p>　　求麥克勞林級數(shù)。（寫出項(xiàng)為止）</p><p>　　解法1

55、 用冪級數(shù)乘法</p><p>　　由公式 ，</p><p><b>　　，</b></p><p>　　兩級數(shù)均在內(nèi)絕對收斂。故柯西積也絕對收斂。</p><p><b>　　因此。</b></p><p>　　解法2 將化為指數(shù)函數(shù)</p>

56、<p><b>　　因?yàn)?，由公式?lt;/b></p><p><b>　　由于，</b></p><p><b>　　代入上式得。</b></p><p>　　解法3 用直接展開法</p><p><b>　　因?yàn)?lt;/b></p>

57、<p><b>　　所以。</b></p><p>　　求在處的泰勒展開式到含的項(xiàng)。</p><p><b>　　解 用待定系數(shù)法</b></p><p>　　是離展開中心最近的一個奇點(diǎn)，所以它可以在區(qū)域內(nèi)展開為冪級數(shù)。設(shè)，而，故有</p><p>　　比較等式兩邊同次冪的系數(shù)得：&l

58、t;/p><p><b>　　所以 。</b></p><p>　　將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并求出它的收斂半徑。</p><p><b>　　解 由于，</b></p><p><b>　　而，</b></p><p><b>　　，<

59、/b></p><p><b>　　所以</b></p><p>　　根據(jù)冪級數(shù)的加法運(yùn)算性質(zhì)，右端冪級數(shù)的收斂半徑。又由泰勒展開定理，應(yīng)等于展開中心到的最近奇點(diǎn)的距離，故。</p><p><b>　　4 結(jié)束語</b></p><p>　　冪級數(shù)在解決各種實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，它既是

60、研究零點(diǎn)、奇點(diǎn)（特別是極點(diǎn)）的有力工具；也是微分方程中冪級數(shù)解法的理論基礎(chǔ)；冪級數(shù)簡單的結(jié)構(gòu)形式和良好的性質(zhì)也使之成為一種有效的計算工具。從古至今，許多專家學(xué)者都對函數(shù)的冪級數(shù)展開在理論上或是實(shí)際上的應(yīng)用做了研究。將函數(shù)展開成冪級數(shù)來計算近似值、求積分、求導(dǎo)數(shù)或是推導(dǎo)歐拉公式等，往往能使解題思路清晰、條理清楚、化難為易。隨著人們更深入的研究，一定能有效地推動數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展，其在各方面的應(yīng)用也將更加廣闊。</p><p

61、>　　本文從理論和應(yīng)用兩方面介紹了用直接法或間接法將解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù)。由于用直接法將函數(shù)展開成冪級數(shù)是十分麻煩的，為了避免對余項(xiàng)的討論，一般使用間接展開法，巧妙地利用已知函數(shù)的展開式和冪級數(shù)的性質(zhì)，常能化難為易，收到事半功倍的效果。很多函數(shù)都可以用多種方法展開，或者也可以多種方法結(jié)合運(yùn)用來展開。本文研究的是復(fù)變函數(shù)中的一部分內(nèi)容，讀者可以通過參考相關(guān)文獻(xiàn)，用于探索更多函數(shù)冪級數(shù)展開的方法以及復(fù)變函數(shù)方面的研究。</p&

62、gt;<p><b>　　6 參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 徐傳勝,中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想對冪級數(shù)理論的研究[J].西安電子科技大學(xué)學(xué)報(社會科學(xué)版).2006,16(2) :143-148.</p><p>　　[2] 孫清華,孫昊.復(fù)變函數(shù) 內(nèi)容、方法與技巧[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社,2003.</p><p&g

63、t;　　[3] 孫清華,夏敏學(xué),歐貴兵.復(fù)變函數(shù)與積分變換例題與習(xí)題解析[M].長沙:湖南大學(xué)出版社,2001.</p><p>　　[4] 焦紅偉,尹景本.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京:北京大學(xué)出版社,2007.</p><p>　　[5] James Ward Brown, Ruel V. Churchill. Complex Variables and Applications (

64、Seventh Edition) [M]: China Machine Press, 2004.</p><p>　　[6] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論（第三版）[M].北京:高等教育出版社,2004.</p><p>　　[7] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書[M].北京:高等教育出版社,1996.</p><p>　　[8] Lars V. Ahlfors. Complex

65、 Analysis (Third Edition)[M]: China Machine Press,2004.</p><p>　　[9] 鄭建華.復(fù)變函數(shù)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2005.</p><p>　　[10] 方汶銘.關(guān)于一個函數(shù)展開成冪級數(shù)的若干解法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2006,9(3):43-46.</p><p>　　[11] 林學(xué)文.將函

66、數(shù)展開為冪級數(shù)[J].青海師專學(xué)報.1990,(2):66-72.</p><p>　　[12] 吳鳳香,方曉華.函數(shù)展成冪級數(shù)方法探討[J].金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報.2003,3(4):40-42.</p><p>　　[13] 楊秀玲,李延.冪級數(shù)展開的微分方程法[J].高師理科學(xué)刊.2010,30(6):33-34.</p><p>　　[14] 李波.冪級數(shù)展

67、開的一種新途徑[J].安陽大學(xué)學(xué)報.2004,(2):58-60.</p><p>　　[15] 趙瑜.淺談冪級數(shù)在計算中的應(yīng)用[J].成功(教育版).2009, 8:282-283.</p><p>　　[16] 梁慧.函數(shù)冪級數(shù)的展開和應(yīng)用[J].中國新技術(shù)新產(chǎn)品.2009, 8:208-209.</p><p><b>　　文獻(xiàn)綜述</b>

68、;</p><p>　　復(fù)數(shù)域內(nèi)的函數(shù)冪級數(shù)展開及其應(yīng)用</p><p><b>　　一、前言部分</b></p><p>　　早在14世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家馬德哈瓦提出了有關(guān)函數(shù)展開成無窮級數(shù)的概念。眾多數(shù)學(xué)家，如格高利，泰勒、歐拉、高斯等均對級數(shù)理論做了重要貢獻(xiàn)。級數(shù)理論一經(jīng)產(chǎn)生就不斷在函數(shù)逼近論、微分方程、復(fù)變函數(shù)等理論中顯現(xiàn)了突出的應(yīng)用價值。

69、</p><p>　　自18世紀(jì)初至19世紀(jì)末，冪級數(shù)展開問題成為中國數(shù)學(xué)的一個非?；钴S的研究領(lǐng)域。的無窮級數(shù)表達(dá)式，即圓徑求周公式，是牛頓(Isaac Newton，1642-1727)1667年發(fā)現(xiàn)的。正弦和正矢的冪級數(shù)展開式，即弧背求正弦和弧背求正矢公式是英國數(shù)學(xué)家格雷戈里(J．Gregory，1638-1675)發(fā)現(xiàn)的。法國傳教士杜德美(P．Jartoux，1668-1720)1701年來華，把這三個公式

70、介紹給中國學(xué)者。著名數(shù)學(xué)家梅文鼎之孫梅玨成(1681-1763)將其收入《梅氏叢書輯要》的附錄《赤水遺珍》，并分別稱為“求周徑密率捷法”和“求弦矢捷法”，這三個公式也被稱為杜氏三術(shù)[1]。</p><p>　　其后明安圖(1692-1764)經(jīng)過30余年的不懈努力，他融會貫通了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)知識與剛剛傳入的西方數(shù)學(xué)知識，圓滿地證明了前三個公式，同時還得到另外六個公式，即為《割圓密率捷法》中的九個公式：“圓徑求周、弧

71、背求正弦、弧背求正矢、弧背求通弦、弧背求矢、通弦求弧背、正弦求弧背、正矢求弧背、矢求弧背”。由陳際新于1744年整理成書并于1839年出版。牛頓在1666年通過無窮級數(shù)逐項(xiàng)積分的方法推導(dǎo)出的冪級數(shù)展開式，而在1669年又用級數(shù)回求法給出這一公式。日本數(shù)學(xué)家建部賢弘(Katahiro Takebe)，在1722年采用與明安圖不同的分析方法得到了同一公式。1737年，歐拉(L．Euler，1707-1783)在給伯努利(J．Bernoull

72、i，1667-1748)的一封信中提出關(guān)于反正矢平方的冪級數(shù)展開式，但直到1817年這一公式才公開發(fā)表。</p><p>　　1819年春，董祜誠在北京朱鴻處見到明安圖的《割圓密率捷法》第一卷抄本以后，“反復(fù)尋繹，究其立法之原”。不僅為冪級數(shù)展開式的研究提供了有利的工具，同時也將中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的垛積術(shù)研究推進(jìn)了一大步。董祜誠的冪級數(shù)研究工作直接影響到項(xiàng)名達(dá)。項(xiàng)名達(dá)在京期間見到明安圖的《割圓密率捷法》和董祜誠的《割圓

73、連比例圖解》后，便開始研究弦矢問題，并創(chuàng)立了下列兩個公式，“知本度通弦求他度通弦”和“知本度矢求他度矢”：</p><p>　　其中為圓半徑，分別為圓內(nèi)某弧的倍、倍弧長，分別為相應(yīng)的中矢。由這兩個公式可推導(dǎo)出明安圖的九個公式和董祜誠的四個公式，其中包括正弦和反正弦的冪級數(shù)展開式，正矢和反正矢的冪級數(shù)展開式以及圓周率的無窮級數(shù)表達(dá)式等[1]。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)雖未進(jìn)入微積分的全面發(fā)展時代，但對冪級數(shù)的理論研究也是獨(dú)樹一幟

74、，碩果累累的。這些數(shù)學(xué)思想對今日的數(shù)學(xué)創(chuàng)造仍有著啟發(fā)意義。</p><p>　　19世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)的理論經(jīng)過法國數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）、德國數(shù)學(xué)家黎曼（Riemann）和魏爾斯特拉斯（Weierstrass）的巨大努力，形成了非常系統(tǒng)的理論，并且深刻地滲入到代數(shù)學(xué)、解析數(shù)論、微分方程、概論統(tǒng)計、計算數(shù)學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)等數(shù)學(xué)分支；同時，它在熱力學(xué)、流體力學(xué)和電學(xué)等方面也有很多的應(yīng)用。20世紀(jì)以來，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)

75、用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其他分支的聯(lián)系也日益密切。致使經(jīng)典的復(fù)變函數(shù)理論，如整函數(shù)與亞純函數(shù)理論、解析函數(shù)的邊值問題等有了新的發(fā)展和應(yīng)用。并且，還開辟了一些新的分支，如復(fù)變函數(shù)逼近論、黎曼曲面、單葉解析函數(shù)論、多復(fù)變函數(shù)論、廣義解析函數(shù)論和擬共形映射等。另外，在種種抽象空間的理論中，復(fù)變函數(shù)還常常為我們提供新思想的模型。</p><p>　　在數(shù)學(xué)中，冪級數(shù)是一類形式簡單而應(yīng)用廣泛的函數(shù)級

76、數(shù)，冪級數(shù)在理論上和實(shí)際中都有非常廣泛的應(yīng)用，它結(jié)構(gòu)簡單，通過冪級數(shù)的展開式可以表示函數(shù)，利用冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)，常常能夠解決數(shù)學(xué)分析中很多疑難問題。同高等數(shù)學(xué)中的實(shí)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一樣，復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)也是表示函數(shù)與研究函數(shù)的有力工具。復(fù)變函數(shù)論主要的研究對象是解析函數(shù)。從級數(shù)作為研究函數(shù)的工具這個意義上講，在各種有力的解析工具中按其簡單、靈活、明確以及使用的方便而言，毫無疑問第一位應(yīng)屬于函數(shù)級數(shù)，冪級數(shù)和解析函數(shù)存在著密切的聯(lián)系。&l

77、t;/p><p>　　本文基于復(fù)變函數(shù)中冪級數(shù)的一些基本知識，參考國內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)，就復(fù)變函數(shù)和冪級數(shù)的歷史背景，冪級數(shù)的概念、性質(zhì)及其斂散性的判定及函數(shù)的冪級數(shù)展開等相關(guān)基礎(chǔ)理論和在解決一些問題方面的應(yīng)用進(jìn)行綜述。</p><p><b>　　二、主題部分</b></p><p>　　函數(shù)冪級數(shù)的展開式一直是數(shù)學(xué)分析中的一個重點(diǎn)，冪級數(shù)的定義[2]

78、：由冪級數(shù)列所產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)</p><p><b>　　，</b></p><p>　　它稱為冪級數(shù)，是一類最簡單的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，從某種意義上說，它也可以看作是多項(xiàng)式函數(shù)的延伸。冪級數(shù)在理論上和實(shí)際上都有很多應(yīng)用，特別在應(yīng)用它表示函數(shù)方面，使我們對它的作用有許多新的認(rèn)識。文獻(xiàn)[2]著重討論了，即</p><p>　　的情形。一般情況下，只有少

79、數(shù)比較簡單的函數(shù)，其冪級數(shù)展開式能直接從定義出發(fā)，并根據(jù)定理（即設(shè)在點(diǎn)具有任意階導(dǎo)數(shù)，那么在區(qū)間內(nèi)等于它的泰勒級數(shù)的和函數(shù)的充分條件是：對一切滿足不等式的，有，這里是在的泰勒公式余項(xiàng)）來求得。更多的情況是從已知的展開式出發(fā)，通過變量代換、四則運(yùn)算或逐項(xiàng)求積等方法，間接地求得函數(shù)的冪級數(shù)展開式。熟悉某些初等函數(shù)的展開式，對于一些函數(shù)的冪級數(shù)展開是極為方便的。（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，2007）</p><p>　　要探

80、討復(fù)數(shù)域內(nèi)函數(shù)冪級數(shù)的展開及其應(yīng)用，我們首先要了解有關(guān)函數(shù)冪級數(shù)的基礎(chǔ)知識，文獻(xiàn)[3]-[11]中敘述了有關(guān)復(fù)變函數(shù)中冪級數(shù)的知識，主要概括為以下方面：</p><p>　　1、冪級數(shù)的斂散性[3-11]</p><p><b>　　定義1：具有</b></p><p><b>　?。?）</b></p>&

81、lt;p>　　形式的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為冪級數(shù)，其中和都是復(fù)常數(shù)。如果作變換，則以上冪級數(shù)還可以寫成如下形式（把仍改寫為）</p><p><b>　　.</b></p><p>　　定理1（阿貝爾（Abel）定理）：如果冪級數(shù)（1）在某點(diǎn)收斂，則它必在圓（即以為心，圓周通過的圓）內(nèi)絕對收斂且內(nèi)閉一致收斂。</p><p>　　推論1：若冪級

82、數(shù)（1）在某點(diǎn)發(fā)散，則它在以為心并通過的圓周外部發(fā)散。</p><p>　　對于一個形如（1）的冪級數(shù)，這一點(diǎn)總是收斂的。時，可能有三種情況：第一種，任意的，級數(shù)均發(fā)散；第二種，任意的，級數(shù)均收斂；第三種，存在一點(diǎn)，使收斂，另外又存在一點(diǎn)，使發(fā)散。在這種情況下，可以證明，存在一個有限正數(shù)，使得在圓周內(nèi)部絕對收斂，在圓周的外部發(fā)散。稱為此冪級數(shù)的收斂半徑；圓和圓周分別稱為它的收斂圓和收斂圓周。在第一種情形，約定；在

83、第二種情形，約定，并也稱它們?yōu)槭諗堪霃絒3]。</p><p>　　2、收斂半徑的求法、柯西-阿達(dá)馬（Hadamard）公式[3-11]</p><p>　　定理2：如果冪級數(shù)的系數(shù)合于</p><p>　　，（達(dá)朗貝爾（D’Alembert））或，（柯西）或，（柯西-阿達(dá)馬）</p><p>　　則冪級數(shù)的收斂半徑 </p>

84、<p>　　3、冪級數(shù)和的解析性[3-11]</p><p>　　定理3：1.冪級數(shù) (2)</p><p>　　的和函數(shù)在其收斂圓內(nèi)解析；2.在內(nèi)，冪級數(shù)②可以逐項(xiàng)求導(dǎo)至任意階，即 (3)</p><p>　　還有(2)與(3)的收斂半徑相同；3.。</p&

85、gt;<p>　　4、泰勒定理[3-11]</p><p>　　定理4.1（泰勒定理）：設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，，只要圓含于，則</p><p>　　在內(nèi)能展成冪級數(shù) ， 　(4)</p><p>　　其中系數(shù) . (5)<

86、;/p><p><b>　　且展式是唯一的。</b></p><p>　　定義4：(4)稱為在點(diǎn)的泰勒級數(shù)，(5)稱為其泰勒系數(shù)，而(4)等號右邊的級數(shù)，則稱為泰勒級數(shù)。</p><p>　　定理4.2：函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的充要條件為：在內(nèi)任一點(diǎn)的鄰域內(nèi)可展成的冪級數(shù)，即泰勒級數(shù)。</p><p>　　復(fù)變函數(shù)展為冪級數(shù)的條件

87、與實(shí)變函數(shù)情形相比較，相對要弱一些，表現(xiàn)為以下兩點(diǎn)：一是實(shí)變函數(shù)要求存在任意階導(dǎo)數(shù)，而這對于一般函數(shù)是難以達(dá)到的。復(fù)變函數(shù)只要求在的鄰域內(nèi)解析，而這是易于實(shí)現(xiàn)的。這是因?yàn)閷τ趶?fù)變函數(shù)來說，解析就能保證函數(shù)無限次可微與各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性。二是實(shí)變函數(shù)還要證明余項(xiàng)趨于零，復(fù)變函數(shù)則不必，證明余項(xiàng)趨向于零是比較困難和復(fù)雜的。正因?yàn)檫@兩點(diǎn)，所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級數(shù)的應(yīng)用范圍就比實(shí)變函數(shù)情形要大得多[4-9]。其它關(guān)于復(fù)變函數(shù)中冪級數(shù)的疑難問題與解

88、答這里就不一一敘述了。</p><p>　　冪級數(shù)求和是一類難度較大，技巧性較高的問題，一般要綜合運(yùn)用求導(dǎo)、求積分、拼湊、分解等技巧才能解決。徐鳳林，張秀麗[12]總結(jié)了四種求冪級數(shù)和函數(shù)的方法：一種方法是將待求級數(shù)分解成己知和函數(shù)的級數(shù)的運(yùn)算(一般是加減)表達(dá)形式：如果待求級數(shù)的通項(xiàng)系數(shù)是代表和的形式，則首先考慮將其分解成簡單一些的級數(shù)的代數(shù)和，再逐一計算新的級數(shù)；第二種方法是“先求導(dǎo)，再積分”或“先積分，再求

89、導(dǎo)”：若冪級數(shù)的通項(xiàng)系數(shù)是自然數(shù)或相鄰的自然數(shù)相乘的形式，可考慮用“先積分，再求導(dǎo)”的做法：若冪級數(shù)的通項(xiàng)系數(shù)是自然數(shù)的倒數(shù)或相鄰的自然數(shù)乘積的倒數(shù)，可考慮用“先求導(dǎo)，再積分”的做法；第三種方法是把待求級數(shù)用基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式表示出來：通過冪級數(shù)通項(xiàng)系數(shù)的分母是階乘表示式，可考慮用正弦、余弦、指數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)進(jìn)行計算；第四種方法是解微分方程的方法：利用冪級數(shù)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)的性質(zhì)，列寫出和函數(shù)滿足的微分方程，解此方程即得和函數(shù)。&l

90、t;/p><p>　　函數(shù)展開為冪級數(shù)方法一般有兩種：一是直接展開法，二是間接展開法。用直接展開法將函數(shù)展開成冪級數(shù)，工作量大，有時甚至是比較困難的，為了避免對余項(xiàng)的討論，經(jīng)常使用間接展開法，巧妙地利用已知函數(shù)的展開式和冪級數(shù)的性質(zhì)，常能化難為易，簡化計算，收到事半功倍的效果。我們就間接展開法探討了其解題方法與技巧可概括為幾個方面：</p><p>　　通過變量代換，直接套用這些函數(shù)的冪級數(shù)展

91、開式，把所給 函數(shù)展成冪級數(shù)[9-13]。</p><p>　　例1 將展開為的冪級數(shù)。</p><p>　　解：已知，因，只要將展開式中的替換成，即得展開式，所以</p><p>　　首先展開導(dǎo)函數(shù)，然后用逐項(xiàng)積分的方法求出原函數(shù)的冪級數(shù)展開式[9-13]。</p><p>　　例2 將展成冪級數(shù)。</p><p

92、><b>　　解：</b></p><p>　　利用逐項(xiàng)求導(dǎo)，把函數(shù)展開成冪級數(shù)[9-13]。</p><p>　　例3 將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。</p><p>　　解：利用待定系數(shù)法可求得</p><p><b>　　分析：，，</b></p><p><b&

93、gt;　　，</b></p><p><b>　　可知</b></p><p><b>　　已知，</b></p><p>　　對上式兩端求導(dǎo)兩次得</p><p><b>　　所以</b></p><p>　　上題化成了兩級數(shù)的和，它們成立

94、的區(qū)別分別是與。所以總的成立區(qū)間應(yīng)是它們的公共部分。</p><p>　　利用復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部展開冪級數(shù)[13]。</p><p>　　例4 將的展開冪級數(shù)。</p><p>　　解：因復(fù)數(shù)的實(shí)部就是，</p><p>　　為此，先求的展開式，只要在的展開式中用替代即可</p><p>　　比較上式兩端的實(shí)部，即得&

95、lt;/p><p>　　比較虛部，又可得到。</p><p>　　另外還有待定系數(shù)法，利用級數(shù)的乘、除運(yùn)算，微分方程法，部分分式與幾何級數(shù)結(jié)合法，代換法[9]。以上都是函數(shù)展成冪級數(shù)的間接法，這里不一一列舉。而展開一個函數(shù)并非只能用一種方法。有時，一個函數(shù)既可分別用多種方法展開，也可多種方法并用展開。如上面例3就可用待定系數(shù)法與逐項(xiàng)求導(dǎo)結(jié)合展開。</p><p>　　巧

96、妙地利用函數(shù)冪級數(shù)展開式及冪級數(shù)的性質(zhì)能夠把一個復(fù)雜的性質(zhì)以及一些不容易把握的函數(shù)表達(dá)成形式最簡單、性質(zhì)最好的級數(shù)形式，所以用它解題往往思路清晰、條理清楚，達(dá)到良好的解題效果。許多專家學(xué)者都對函數(shù)冪級數(shù)展開的實(shí)際應(yīng)用做了研究。利用冪級數(shù)的重要性質(zhì)，我們可歸納出冪級數(shù)在計算中的幾個應(yīng)用：一、冪級數(shù)在近似計算中的應(yīng)用：可用的冪級數(shù)展開式取近似計算，也可用的冪級數(shù)展開式取近似計算；二、冪級數(shù)在計算積分中的應(yīng)用：當(dāng)?shù)脑瘮?shù)不能用初等函數(shù)的有限形

97、式表示出來時，計算的定積分就遇到了困難。我們可以利用冪級數(shù)展開式取有限項(xiàng)的辦法近似計算這些定積分的值。具體計算時，要求被積函數(shù)能夠展成收斂的冪級數(shù)，且積分區(qū)間必須在冪級數(shù)的收斂域之內(nèi)，然后利用冪級數(shù)的逐項(xiàng)積分性質(zhì)來計算所求定積分的值；三、冪級數(shù)在求極限中的應(yīng)用：求函數(shù)極限的方法很多，冪級數(shù)法也是其中之一；四、冪級數(shù)在數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和中的應(yīng)用；五、冪級數(shù)應(yīng)用于推導(dǎo)歐拉公式；六、冪級數(shù)在求導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用；七、冪級數(shù)在組合概率計算中的應(yīng)用：定義設(shè)是

98、一個待定其值的數(shù)列，若存在一個函數(shù)，使得成立，則稱為數(shù)列的生成函數(shù)[14]。</p><p>　　利用函數(shù)的冪級數(shù)表示函數(shù)，冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)等，常常能解決許多較為復(fù)雜的問題：（一）復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)在三角級數(shù)求和中的應(yīng)用[15-16]</p><p>　　我們求與的和函數(shù)可以構(gòu)造復(fù)函數(shù)冪級數(shù)，設(shè)法的和函數(shù)，令，則有.比較上式左右兩端實(shí)部和虛部，則得到.</p><p&

99、gt;　　在求的和函數(shù)中，我們常常用到以下結(jié)論：</p><p><b>　　(6)</b></p><p><b>　　(7)</b></p><p><b>　　(8)</b></p><p>　　其中(6)中的滿足一切復(fù)數(shù)；(7)中的滿足；(8)中的滿足且</p&g

100、t;<p>　?。ǘ┠负瘮?shù)在組合問題中的應(yīng)用[15]</p><p>　　利用母函數(shù)可以解決排列組合中有關(guān)的排法種數(shù)的問題。.</p><p>　　例5 用1克,2克,4克,8克,16克五個砝碼，在天平秤上能秤哪幾種重量的物體？</p><p>　　解：設(shè)質(zhì)量為克的物體有種稱法，如果妒，就說明這幾個砝碼不能稱重為克的物體。因此，我們的問題是對哪幾個

101、，相應(yīng)的。那么數(shù)列的母函數(shù)是，只要將它展開成冪級數(shù)就行了，</p><p><b>　　由于</b></p><p><b>　　所以，即.</b></p><p>　　這說明凡重量不超過3l克的物體能用這五個砝碼稱出來，而且各只有一種稱法；而重量大于3l克的物體都小能用這五個砝碼稱。</p><p&g

102、t;　　（三）母函數(shù)在遞推關(guān)系中的應(yīng)用[15]</p><p>　　在遞推數(shù)列中，運(yùn)用母函數(shù)的方法可以方便地求得該數(shù)列的一般表達(dá)式．</p><p>　　例6 已知滿足線性遞歸關(guān)系，已知初始求的—般表達(dá)式。</p><p>　　解：設(shè)數(shù)列的母函數(shù)為，則有</p><p><b>　　以上三式相加即得，</b></

103、p><p>　　所以，為了求得的—般表達(dá)式，只要將展開成冪級數(shù)就行了。</p><p>　　設(shè)是方程的兩個根，則可以得到，即得.</p><p><b>　　又</b></p><p><b>　　所以，故</b></p><p>　　函數(shù)冪級數(shù)的展開一直是分析學(xué)研究的一個重點(diǎn)，

104、冪級數(shù)作為一種基礎(chǔ)工具用于解決高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)中問題，有待我們這些后人更深入的研究，進(jìn)一步擴(kuò)大它的應(yīng)用范圍。</p><p><b>　　三、總結(jié)部分</b></p><p>　　本文主要闡述了以下內(nèi)容：（1）復(fù)變函數(shù)和冪級數(shù)的歷史背景；（2）復(fù)變函數(shù)中的冪級數(shù)的概念、斂散性判定、收斂半徑的求法、和函數(shù)的求法及函數(shù)的冪級數(shù)展開；（3）歸納總結(jié)函數(shù)冪級數(shù)展開的一系列方

105、法；（4）函數(shù)冪級數(shù)展開主要在一些方面的應(yīng)用。</p><p>　　在復(fù)變函數(shù)論中，函數(shù)的冪級數(shù)展開無論在理論上還是在應(yīng)用上都占有非常重要的地位。冪級數(shù)在其和函數(shù)的解法，函數(shù)展成冪級數(shù)的方法技巧以及冪級數(shù)的展開或展開式在計算等數(shù)學(xué)問題的應(yīng)用前人已經(jīng)取得了許多重要成果。并且事物總在不斷地發(fā)展變化，隨著人們更深入的研究，筆者相信隨著人們更深入的研究，例如研究更多冪級數(shù)展開的途徑，或是洛朗展式的進(jìn)一步深入，又或是對雙曲

106、正弦和雙曲余弦函數(shù)的冪級數(shù)余項(xiàng)的研究等等，關(guān)于函數(shù)冪級數(shù)的理論和方法定會更趨完善，它所涉及的領(lǐng)域也會更廣。</p><p><b>　　四、參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 徐傳勝,中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想對冪級數(shù)理論的研究[J].西安電子科技大學(xué)學(xué)報(社會科學(xué)版).2006,16(2) :143-148.</p><p>　　[2] 華東

107、師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京:高等教育出版社,2007.</p><p>　　[3] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論（第三版）[M].北京:高等教育出版社,2004.</p><p>　　[4] 孫清華,孫昊.復(fù)變函數(shù) 內(nèi)容、方法與技巧[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社,2003.</p><p>　　[5] 焦紅偉,尹景本.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京:北京

108、大學(xué)出版社,2007.</p><p>　　[6] 鄭建華.復(fù)變函數(shù)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2005.</p><p>　　[7] 劉子瑞,梅家斌.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京:科學(xué)出版社,2007.</p><p>　　[8] 譚小江,伍勝鍵.復(fù)變函數(shù)簡明教程[M].北京:北京大學(xué)出版社,2006.</p><p>　　[9] 鐘玉

109、泉.復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書[M].北京:高等教育出版社,1996.</p><p>　　[10] Lars V. Ahlfors. Complex Analysis (Third Edition)[M]: China Machine Press,2004.</p><p>　　[11] James Ward Brown, Ruel V. Churchill. Complex Variables

110、 and Applications (Seventh</p><p>　　Edition) [M]: China Machine Press, 2004.</p><p>　　[12] 徐鳳林,張秀麗.冪級數(shù)和函數(shù)的解法綜述[J].山東輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版).2006,20(1):94-98.</p><p>　　[13] 吳鳳香,方曉華.函數(shù)展成冪級數(shù)方法探

111、討[J].金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報.2003,3(4):40-42.</p><p>　　[14] 趙瑜.淺談冪級數(shù)在計算中的應(yīng)用[J].成功(教育版).2009, 8:282-283.</p><p>　　[15] 梁慧.函數(shù)冪級數(shù)的展開和應(yīng)用[J].中國新技術(shù)新產(chǎn)品.2009, 8:208-209.</p><p>　　[16] 王欣.有限三角函數(shù)和的經(jīng)典分析方法[

112、D].博士學(xué)位論文,大連理工大學(xué).2007.</p><p><b>　　開題報告</b></p><p>　　復(fù)數(shù)域內(nèi)的函數(shù)冪級數(shù)展開及其應(yīng)用　 　</p><p>　　一、選題的背景、意義</p><p>　　函數(shù)冪級數(shù)的展開一直是分析學(xué)研究的一個重點(diǎn)，早在14世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家馬德哈瓦提出了有關(guān)函數(shù)展開成無窮級

113、數(shù)的概念。眾多數(shù)學(xué)家，如格高利，泰勒、歐拉、高斯等均對級數(shù)理論做了重要貢獻(xiàn)。自17世紀(jì)初至19世紀(jì)末，冪級數(shù)展開問題成為一個非?；钴S的研究領(lǐng)域。1667年，牛頓(Isaac Newton，1642-1727)發(fā)現(xiàn)了的無窮級數(shù)表達(dá)式，即圓徑求周公式。英國數(shù)學(xué)家格雷戈里(J．Gregory，1638-1675)發(fā)現(xiàn)了正弦和正矢的冪級數(shù)展開式。1701年，法國傳教士杜德美(P．Jartoux，1668-1720)來華，把這三個公式介紹給了中國

114、學(xué)者。著名數(shù)學(xué)家梅文鼎之孫梅玨成(1681-1763)將其收入《梅氏叢書輯要》的附錄《赤水遺珍》，并分別稱為“求周徑密率捷法”和“求弦矢捷法”。其后明安圖(1692-1764)經(jīng)過30余年的不懈努力，圓滿地證明了前三個公式，同時還得到另外六個公式.牛頓在1666年通過無窮級數(shù)逐項(xiàng)積分的方法，推導(dǎo)出的冪級數(shù)展開式，而在1669年又用級數(shù)回求法給出這一公式。日本數(shù)學(xué)家建部賢弘(Katahiro Takebe)，在1722年采用與明安圖不同的

115、分析方法得到了同一</p><p>　　在數(shù)學(xué)中，同高等數(shù)學(xué)中的實(shí)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一樣，復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)也是表示函數(shù)與研究函數(shù)的有力工具。從級數(shù)作為研究函數(shù)的工具這個意義上講，在各種有力的解析工具中按其簡單、靈活、明確以及使用的方便而言，毫無疑問第一位應(yīng)屬于函數(shù)級數(shù)。</p><p>　　函數(shù)冪級數(shù)展開的研究之所以如此至關(guān)重要，是因?yàn)樗诶碚撋虾蛯?shí)際中都有非常廣泛的應(yīng)用，它結(jié)構(gòu)簡單，通過冪級數(shù)的

116、展開式可以表示函數(shù)，利用冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)，常常能夠解決數(shù)學(xué)分析中很多疑難問題，尤其在近似計算中起著非常重要的作用。例如的值，小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)我們不可能全部記下，而通過其冪級數(shù)展開式，即，將代入，即可得到的值，無論小數(shù)點(diǎn)后多少位。復(fù)變函數(shù)中，我們對解析函數(shù)常常要通過將其展成冪級數(shù)來研究，因此復(fù)數(shù)域內(nèi)的函數(shù)冪級數(shù)展開是復(fù)變函數(shù)論研究的重要課題。</p><p>　　函數(shù)冪級數(shù)的展開式一直是數(shù)學(xué)分析中的一個重點(diǎn)，冪級

117、數(shù)的定義[2]：由冪級數(shù)列所產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)</p><p><b>　　，</b></p><p>　　它稱為冪級數(shù)，是一類最簡單的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，從某種意義上說，它也可以看作是多項(xiàng)式函數(shù)的延伸。冪級數(shù)在理論上和實(shí)際上都有很多應(yīng)用，特別在應(yīng)用它表示函數(shù)方面，使我們對它的作用有許多新的認(rèn)識。</p><p>　　函數(shù)展開為冪級數(shù)方法一般有兩種：一是