數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科畢業(yè)論文-淺談冪級數(shù)展開式的應(yīng)用

1、<p>　　2012屆本科畢業(yè)論文</p><p>　　淺談冪級數(shù)展開式的應(yīng)用</p><p>　　姓 名： </p><p>　　系 別： 數(shù)學(xué)系 </p><p>　　專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　學(xué) 號：

2、 </p><p>　　指導(dǎo)教師： </p><p>　　2012年2月16日</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　摘要……………………………………………………………………………………………1</p><p>　　關(guān)鍵詞………………

3、…………………………………………………………………………1</p><p>　　Abstract………………………………………………………………………………………1</p><p>　　Keywords﹒……………………………………………………………………………………1</p><p>　　引言……………………………………………………………………………………………2

4、</p><p>　　基本知識…………………………………………………………………………………2</p><p>　　1.1．冪級數(shù)的性質(zhì)………………………………………………………………………… 2</p><p>　　1.2. 冪級數(shù)的收斂區(qū)間…………………………………………………………………… 2</p><p>　　二．冪級數(shù)的和函數(shù)……

5、……………………………………………………………………3</p><p>　　三．冪級數(shù)的展開……………………………………………………………………………4</p><p>　　四．冪級數(shù)的展開及其應(yīng)用…………………………………………………………………6</p><p>　　4.1. 冪級數(shù)在近似計(jì)算的應(yīng)用………………………………………………………………6</p&

6、gt;<p>　　4.2. 冪級數(shù)在計(jì)算積分得應(yīng)用………………………………………………………………6</p><p>　　4.3. 冪級數(shù)在求極限中的應(yīng)用………………………………………………………………7</p><p>　　4.4. 冪級數(shù)在數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和中的應(yīng)用………………………………………………………7</p><p>　　4.5. 冪級數(shù)用于推導(dǎo)

7、歐拉公式………………………………………………………………8</p><p>　　4.6. 冪級數(shù)在求導(dǎo)中的應(yīng)用…………………………………………………………………9</p><p>　　4.7. 冪級數(shù)在不等式的中的應(yīng)用……………………………………………………………9</p><p>　　4.8. 冪級數(shù)在組合中的應(yīng)用…………………………………………………………………

8、10</p><p>　　參考文獻(xiàn)………………………………………………………………………………………11</p><p>　　致謝……………………………………………………………………………………………11</p><p><b>　　冪級數(shù)展開式的應(yīng)用</b></p><p><b>　　摘 要</b&g

9、t;</p><p>　　在數(shù)學(xué)中，冪級數(shù)是一類形式簡單而應(yīng)用廣泛的函數(shù)級數(shù)。冪級數(shù)在微積分中也是個(gè)重要的題材，許多重要的函數(shù)可表成冪級數(shù)，而冪級數(shù)全體也代表了相當(dāng)廣泛的函數(shù)類別。 在本文中簡介了冪級數(shù)的簡單知識，注重探討了冪級數(shù)展開式各方面的應(yīng)用。</p><p><b>　　關(guān)鍵詞</b></p><p>　　冪級數(shù)；展開式 ；應(yīng)用<

10、/p><p>　　Power series expansion of the type of application</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　In mathematics, a power series is in a class of simple and widely used function

11、 series. Power series is also an important theme in the calculus, many important functions can be expressed as a power series, power series of all on behalf of a wide range of function categories. In this article introdu

12、ces the simple knowledge of the power series, focus on exploring the application of all aspects of the power series expansion</p><p><b>　　Keyword</b></p><p>　　Power series; expansion

13、; applicati</p><p><b>　　引言：</b></p><p>　　冪級數(shù)的展開式應(yīng)用廣泛，但是由于不同研究者用的方法不同以及研究結(jié)果沒有集中起來，現(xiàn)在用我粗淺的知識略把冪級數(shù)展開式的應(yīng)用搜集了一下，以便大家更方便的應(yīng)用﹑更好的學(xué)習(xí)。</p><p>　　由冪級數(shù)列所產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)</p><p>

14、　　，稱為冪級數(shù)，它是一類最簡單的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。從某種意義上說，可以看作是多項(xiàng)式的延伸。冪級數(shù)在理論和實(shí)際上有很多的應(yīng)用，尤其是在表示函數(shù)方面。特別地當(dāng)，即是一種重要的情況。</p><p><b>　　基本知識</b></p><p><b>　　1.冪級數(shù)的性質(zhì)</b></p><p>　?。?）. 冪級數(shù) 的和函數(shù)是

15、內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。</p><p>　　（2）. 冪級數(shù)在收斂區(qū)間左（右）端點(diǎn)上收斂，則其和函數(shù)也在這一端上左（右）連續(xù)。</p><p>　　(3). 設(shè)冪級數(shù)在收斂區(qū)間上的和函數(shù)為，若為內(nèi)任意一點(diǎn)，則</p><p><b>　?、。?、在可導(dǎo)，且</b></p><p>　?、ⅲ?、在0與這個(gè)區(qū)間上可積，且</p&g

16、t;<p><b>　　2.收斂區(qū)間</b></p><p>　　設(shè)冪級數(shù)在的和函數(shù)，則</p><p>　?。?）. 在內(nèi)連續(xù)，若冪級數(shù)在也收斂，則在處左連續(xù)（或在處右連續(xù)）。</p><p>　?。?）.在內(nèi)每一點(diǎn)都是可導(dǎo)的，且有可導(dǎo)公式：</p><p>　　與原冪級數(shù)有相同的收斂半徑。</p&

17、gt;<p>　　（3）. 在內(nèi)可以積分，且有逐項(xiàng)積分公式：</p><p>　　，其中是內(nèi)任一點(diǎn)，積分后的冪級數(shù)與原級數(shù)有相同的收斂半徑。</p><p><b>　　二．冪級數(shù)的和函數(shù)</b></p><p>　　冪級數(shù)的和函數(shù)在冪級數(shù)的計(jì)算中有著重要的作用，在計(jì)算過程中也有一定的難度，不過計(jì)算過程也要注意計(jì)算方法的使用。&l

18、t;/p><p>　　例1：求冪級數(shù) 的和函數(shù)</p><p>　　解： 易知級數(shù)的收斂域?yàn)?lt;/p><p><b>　　令</b></p><p>　　有冪級數(shù)的逐項(xiàng)可導(dǎo)性得</p><p><b>　　對上式兩端積分得：</b></p><p>　　例

19、2： 求級數(shù) 的和</p><p><b>　　解：因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　下面求

20、</b></p><p><b>　　設(shè)．顯然收斂域?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　逐項(xiàng)積分得：</b></p><p>　　在次積分得： </p><p><b>　　故 </b></p><p>　　=

21、 </p><p><b>　　故原式=﹒+=</b></p><p>　　有很多這樣的例題，上面的題中主要的方法是逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積。逐項(xiàng)可導(dǎo)與逐項(xiàng)可積是冪級數(shù)和函數(shù)在其收斂區(qū)間上的兩個(gè)主要分析性質(zhì)。在很多方面都有重要的應(yīng)用。在具體應(yīng)用時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體的問題具體分析，再決定用逐項(xiàng)求導(dǎo)或者逐項(xiàng)可積。</p><p><b>　　

22、三. 冪級數(shù)的展開</b></p><p>　　函數(shù)的冪級數(shù)展開式有兩種形式，一種形如稱為一般（或叫做函數(shù)在的冪級數(shù)），另一種形如稱為標(biāo)準(zhǔn)式，即函數(shù)在0處得冪級數(shù)。若函數(shù)在U內(nèi)可以展成的冪級數(shù)，那么這個(gè)冪級數(shù)一定是泰勒級數(shù)。當(dāng)時(shí)又稱為麥克勞林級數(shù)。具體展開式如下：</p><p>　　在處的泰勒展開（冪級數(shù)的展開式）：</p><p><b>

23、　　（在與之間）</b></p><p>　　令即為麥克勞林級數(shù)。</p><p>　　冪級數(shù)的展開式中，是一種應(yīng)用廣泛的展開。</p><p><b>　?、牛蟪?，，</b></p><p>　?、疲问缴献饔脙缂墧?shù)</p><p><b>　　=</b>&l

24、t;/p><p>　　當(dāng)時(shí)，即為牛頓二項(xiàng)式定理。下面討論的情形。求出收斂半徑</p><p>　　⑶．分析在收斂區(qū)間內(nèi)，柯西余項(xiàng)</p><p><b>　　，的極限。 因級數(shù)</b></p><p>　　當(dāng)〈1時(shí)收斂（由比試判別法可得），故</p><p>　　由于〉-1時(shí)，有，且，。又由于〈1時(shí)，

25、0<< 故0<<<，故有界</p><p>　　綜上所述，當(dāng)<1，。所以</p><p>　　== 〈1 (*)</p><p>　　級數(shù)(*)稱為二項(xiàng)式函數(shù)的冪級數(shù)展開式，又稱為二項(xiàng)式級數(shù)。</p><p>　?、龋畽z查時(shí)，級數(shù)(*)是否收斂，是否單側(cè)連續(xù)，從而確定收斂域。有超越幾何級數(shù)的斂散性可知

26、，二項(xiàng)式級數(shù)在處的斂散性與的取值有關(guān)，當(dāng)時(shí)，>0絕對收斂，-1<<0條件收斂， -1時(shí)發(fā)散。</p><p>　　以-代替可得，當(dāng)時(shí)>0絕對收斂，<0發(fā)散.</p><p>　　綜上可得: -1時(shí),收斂域?yàn)椋?lt;/p><p><b>　　當(dāng)-1<<0時(shí)，；</b></p><p>

27、;　　當(dāng)>0時(shí)，收斂域?yàn)椤?lt;/p><p>　　四．冪級數(shù)的展開及其應(yīng)用</p><p>　　1.冪級數(shù)在近似計(jì)算的應(yīng)用</p><p>　　我們通過的近似計(jì)算來研究，利用冪級數(shù)進(jìn)行近似計(jì)算的方法?？梢杂玫膬缂墧?shù)展開式取=近似計(jì)算。</p><p><b>　　= ，取得</b></p><

28、;p>　　上式兩邊同乘以2得：</p><p><b>　　它的部分和</b></p><p>　　易計(jì)算<<0.001.就是說用s表示的近似值，其誤差小于0.001.經(jīng)計(jì)算≈3.14159利用此方法還可以計(jì)算其它數(shù)的近似值。</p><p>　　2.冪級數(shù)在計(jì)算積分得應(yīng)用</p><p>　　當(dāng)?shù)脑?/p>

29、數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示出來，計(jì)算的定積分就遇到了困難?，F(xiàn)在，我們可以利用冪級數(shù)展開式取有限項(xiàng)的辦法近似計(jì)算這些定積分的值。具體計(jì)算時(shí)，要求被積函數(shù)能夠展成收斂的冪級數(shù)。且積分區(qū)間必須在冪級數(shù)的收斂域之內(nèi)，然后利用冪級數(shù)的逐項(xiàng)積分性質(zhì)來計(jì)算所求定積分的值。</p><p><b>　　例： 證明 </b></p><p>　　證明：因?yàn)?</p&g

30、t;<p><b>　　所以=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　= （＜</b></p><p>　　3.冪級數(shù)在求極限中的應(yīng)用求函數(shù)極限的方法很多，冪級數(shù)法也是其中之一</p><p><b>　　例：

31、求 </b></p><p><b>　　解：因?yàn)?</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　4.冪級數(shù)在

32、數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和中的應(yīng)用</p><p><b>　　例：求 </b></p><p><b>　　解：設(shè) </b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>

33、　　=</b></p><p><b>　　設(shè) ，則，</b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　從而</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，</b></p><p><b

34、>　　此時(shí)，</b></p><p><b>　　令，可得</b></p><p>　　5.冪級數(shù)用于推導(dǎo)歐拉公式</p><p>　　例： 試用冪級數(shù)的展開式來推導(dǎo)歐拉公式：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　解：當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，有指

35、數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開知 </p><p>　　用純虛數(shù)代替是變量有</p><p><b>　　因?yàn)?，，?</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　即 （*）</b></p><p>　　在（*）式中置換可得

36、 （**）</p><p>　　由（*）和（**）式聯(lián)立解得：，</p><p>　　6.冪級數(shù)在求導(dǎo)中的應(yīng)用</p><p>　　例: 求 在的階導(dǎo)數(shù)</p><p><b>　　解：因?yàn)楹瘮?shù)</b></p><p><b>　　進(jìn)行兩次積分得：</b></p>

37、;<p><b>　　則，即</b></p><p>　　7.冪級數(shù)在不等式的中的應(yīng)用</p><p>　　在證明不等式時(shí)可以巧妙利用函數(shù)冪級數(shù)展開式，能將問題化難為易。</p><p><b>　　例：證明：當(dāng)時(shí)，</b></p><p>　　證明：有三角函數(shù)的冪級數(shù)展開式易知<

38、;/p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　又 即</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　故當(dāng)時(shí)不等式成立。</b></p><p>　　8.冪級數(shù)在組合中的應(yīng)用<

39、/p><p>　　冪級數(shù)在組合恒等式中用重要的作用。</p><p><b>　　例：證明 </b></p><p>　　證明：由二項(xiàng)式函數(shù)的冪級數(shù)展開式得</p><p>　　在上式的乘積中，的系數(shù)為，從展開式中知的系數(shù)為，因而得等式</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b>

40、;</p><p>　　[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社.2004</p><p>　　[2] 劉玉蓮. 數(shù)學(xué)分析講義[M]. 北京：高等教育出版社.2001.</p><p>　　[3] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M]. 北京：高等教育出版社.1983.</p><p>　　[4] 秦曾復(fù).

41、于躍年.高等數(shù)學(xué)講義[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1996.12</p><p>　　[5] 羅振聲.劉曉華.高等數(shù)學(xué)概論與方法[M].電子科技出版社，1996.12</p><p>　　[6] 吳迪光.張彬.微積分（下冊）[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2003.11</p><p><b>　　致 謝</b></p>&l