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文檔簡介
1、<p> 2012屆本科畢業(yè)論文</p><p> 淺談冪級數(shù)展開式的應(yīng)用</p><p> 姓 名: </p><p> 系 別: 數(shù)學(xué)系 </p><p> 專 業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p> 學(xué) 號:
2、 </p><p> 指導(dǎo)教師: </p><p> 2012年2月16日</p><p><b> 目 錄</b></p><p> 摘要……………………………………………………………………………………………1</p><p> 關(guān)鍵詞………………
3、…………………………………………………………………………1</p><p> Abstract………………………………………………………………………………………1</p><p> Keywords﹒……………………………………………………………………………………1</p><p> 引言……………………………………………………………………………………………2
4、</p><p> 基本知識…………………………………………………………………………………2</p><p> 1.1.冪級數(shù)的性質(zhì)………………………………………………………………………… 2</p><p> 1.2. 冪級數(shù)的收斂區(qū)間…………………………………………………………………… 2</p><p> 二.冪級數(shù)的和函數(shù)……
5、……………………………………………………………………3</p><p> 三.冪級數(shù)的展開……………………………………………………………………………4</p><p> 四.冪級數(shù)的展開及其應(yīng)用…………………………………………………………………6</p><p> 4.1. 冪級數(shù)在近似計(jì)算的應(yīng)用………………………………………………………………6</p&
6、gt;<p> 4.2. 冪級數(shù)在計(jì)算積分得應(yīng)用………………………………………………………………6</p><p> 4.3. 冪級數(shù)在求極限中的應(yīng)用………………………………………………………………7</p><p> 4.4. 冪級數(shù)在數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和中的應(yīng)用………………………………………………………7</p><p> 4.5. 冪級數(shù)用于推導(dǎo)
7、歐拉公式………………………………………………………………8</p><p> 4.6. 冪級數(shù)在求導(dǎo)中的應(yīng)用…………………………………………………………………9</p><p> 4.7. 冪級數(shù)在不等式的中的應(yīng)用……………………………………………………………9</p><p> 4.8. 冪級數(shù)在組合中的應(yīng)用…………………………………………………………………
8、10</p><p> 參考文獻(xiàn)………………………………………………………………………………………11</p><p> 致謝……………………………………………………………………………………………11</p><p><b> 冪級數(shù)展開式的應(yīng)用</b></p><p><b> 摘 要</b&g
9、t;</p><p> 在數(shù)學(xué)中,冪級數(shù)是一類形式簡單而應(yīng)用廣泛的函數(shù)級數(shù)。冪級數(shù)在微積分中也是個(gè)重要的題材,許多重要的函數(shù)可表成冪級數(shù),而冪級數(shù)全體也代表了相當(dāng)廣泛的函數(shù)類別。 在本文中簡介了冪級數(shù)的簡單知識,注重探討了冪級數(shù)展開式各方面的應(yīng)用。</p><p><b> 關(guān)鍵詞</b></p><p> 冪級數(shù);展開式 ;應(yīng)用<
10、/p><p> Power series expansion of the type of application</p><p><b> Abstract</b></p><p> In mathematics, a power series is in a class of simple and widely used function
11、 series. Power series is also an important theme in the calculus, many important functions can be expressed as a power series, power series of all on behalf of a wide range of function categories. In this article introdu
12、ces the simple knowledge of the power series, focus on exploring the application of all aspects of the power series expansion</p><p><b> Keyword</b></p><p> Power series; expansion
13、; applicati</p><p><b> 引言:</b></p><p> 冪級數(shù)的展開式應(yīng)用廣泛,但是由于不同研究者用的方法不同以及研究結(jié)果沒有集中起來,現(xiàn)在用我粗淺的知識略把冪級數(shù)展開式的應(yīng)用搜集了一下,以便大家更方便的應(yīng)用﹑更好的學(xué)習(xí)。</p><p> 由冪級數(shù)列所產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)</p><p>
14、 ,稱為冪級數(shù),它是一類最簡單的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。從某種意義上說,可以看作是多項(xiàng)式的延伸。冪級數(shù)在理論和實(shí)際上有很多的應(yīng)用,尤其是在表示函數(shù)方面。特別地當(dāng),即是一種重要的情況。</p><p><b> 基本知識</b></p><p><b> 1.冪級數(shù)的性質(zhì)</b></p><p> ?。?). 冪級數(shù) 的和函數(shù)是
15、內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。</p><p> (2). 冪級數(shù)在收斂區(qū)間左(右)端點(diǎn)上收斂,則其和函數(shù)也在這一端上左(右)連續(xù)。</p><p> (3). 設(shè)冪級數(shù)在收斂區(qū)間上的和函數(shù)為,若為內(nèi)任意一點(diǎn),則</p><p><b> ?、。?、在可導(dǎo),且</b></p><p> ?、ⅲ?、在0與這個(gè)區(qū)間上可積,且</p&g
16、t;<p><b> 2.收斂區(qū)間</b></p><p> 設(shè)冪級數(shù)在的和函數(shù),則</p><p> ?。?). 在內(nèi)連續(xù),若冪級數(shù)在也收斂,則在處左連續(xù)(或在處右連續(xù))。</p><p> ?。?).在內(nèi)每一點(diǎn)都是可導(dǎo)的,且有可導(dǎo)公式:</p><p> 與原冪級數(shù)有相同的收斂半徑。</p&
17、gt;<p> (3). 在內(nèi)可以積分,且有逐項(xiàng)積分公式:</p><p> ,其中是內(nèi)任一點(diǎn),積分后的冪級數(shù)與原級數(shù)有相同的收斂半徑。</p><p><b> 二.冪級數(shù)的和函數(shù)</b></p><p> 冪級數(shù)的和函數(shù)在冪級數(shù)的計(jì)算中有著重要的作用,在計(jì)算過程中也有一定的難度,不過計(jì)算過程也要注意計(jì)算方法的使用。&l
18、t;/p><p> 例1:求冪級數(shù) 的和函數(shù)</p><p> 解: 易知級數(shù)的收斂域?yàn)?lt;/p><p><b> 令</b></p><p> 有冪級數(shù)的逐項(xiàng)可導(dǎo)性得</p><p><b> 對上式兩端積分得:</b></p><p> 例
19、2: 求級數(shù) 的和</p><p><b> 解:因?yàn)?lt;/b></p><p><b> =</b></p><p><b> =</b></p><p><b> 其中</b></p><p><b> 下面求
20、</b></p><p><b> 設(shè).顯然收斂域?yàn)?lt;/b></p><p><b> 逐項(xiàng)積分得:</b></p><p> 在次積分得: </p><p><b> 故 </b></p><p> =
21、 </p><p><b> 故原式=﹒+=</b></p><p> 有很多這樣的例題,上面的題中主要的方法是逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積。逐項(xiàng)可導(dǎo)與逐項(xiàng)可積是冪級數(shù)和函數(shù)在其收斂區(qū)間上的兩個(gè)主要分析性質(zhì)。在很多方面都有重要的應(yīng)用。在具體應(yīng)用時(shí),應(yīng)根據(jù)具體的問題具體分析,再決定用逐項(xiàng)求導(dǎo)或者逐項(xiàng)可積。</p><p><b>
22、三. 冪級數(shù)的展開</b></p><p> 函數(shù)的冪級數(shù)展開式有兩種形式,一種形如稱為一般(或叫做函數(shù)在的冪級數(shù)),另一種形如稱為標(biāo)準(zhǔn)式,即函數(shù)在0處得冪級數(shù)。若函數(shù)在U內(nèi)可以展成的冪級數(shù),那么這個(gè)冪級數(shù)一定是泰勒級數(shù)。當(dāng)時(shí)又稱為麥克勞林級數(shù)。具體展開式如下:</p><p> 在處的泰勒展開(冪級數(shù)的展開式):</p><p><b>
23、 (在與之間)</b></p><p> 令即為麥克勞林級數(shù)。</p><p> 冪級數(shù)的展開式中,是一種應(yīng)用廣泛的展開。</p><p><b> ?、牛蟪?,,</b></p><p> ?、疲问缴献饔脙缂墧?shù)</p><p><b> =</b>&l
24、t;/p><p> 當(dāng)時(shí),即為牛頓二項(xiàng)式定理。下面討論的情形。求出收斂半徑</p><p> ⑶.分析在收斂區(qū)間內(nèi),柯西余項(xiàng)</p><p><b> ,的極限。 因級數(shù)</b></p><p> 當(dāng)〈1時(shí)收斂(由比試判別法可得),故</p><p> 由于〉-1時(shí),有,且,。又由于〈1時(shí),
25、0<< 故0<<<,故有界</p><p> 綜上所述,當(dāng)<1,。所以</p><p> == 〈1 (*)</p><p> 級數(shù)(*)稱為二項(xiàng)式函數(shù)的冪級數(shù)展開式,又稱為二項(xiàng)式級數(shù)。</p><p> ?、龋畽z查時(shí),級數(shù)(*)是否收斂,是否單側(cè)連續(xù),從而確定收斂域。有超越幾何級數(shù)的斂散性可知
26、,二項(xiàng)式級數(shù)在處的斂散性與的取值有關(guān),當(dāng)時(shí),>0絕對收斂,-1<<0條件收斂, -1時(shí)發(fā)散。</p><p> 以-代替可得,當(dāng)時(shí)>0絕對收斂,<0發(fā)散.</p><p> 綜上可得: -1時(shí),收斂域?yàn)椋?lt;/p><p><b> 當(dāng)-1<<0時(shí),;</b></p><p>
27、; 當(dāng)>0時(shí),收斂域?yàn)椤?lt;/p><p> 四.冪級數(shù)的展開及其應(yīng)用</p><p> 1.冪級數(shù)在近似計(jì)算的應(yīng)用</p><p> 我們通過的近似計(jì)算來研究,利用冪級數(shù)進(jìn)行近似計(jì)算的方法??梢杂玫膬缂墧?shù)展開式取=近似計(jì)算。</p><p><b> = ,取得</b></p><
28、;p> 上式兩邊同乘以2得:</p><p><b> 它的部分和</b></p><p> 易計(jì)算<<0.001.就是說用s表示的近似值,其誤差小于0.001.經(jīng)計(jì)算≈3.14159利用此方法還可以計(jì)算其它數(shù)的近似值。</p><p> 2.冪級數(shù)在計(jì)算積分得應(yīng)用</p><p> 當(dāng)?shù)脑?/p>
29、數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示出來,計(jì)算的定積分就遇到了困難?,F(xiàn)在,我們可以利用冪級數(shù)展開式取有限項(xiàng)的辦法近似計(jì)算這些定積分的值。具體計(jì)算時(shí),要求被積函數(shù)能夠展成收斂的冪級數(shù)。且積分區(qū)間必須在冪級數(shù)的收斂域之內(nèi),然后利用冪級數(shù)的逐項(xiàng)積分性質(zhì)來計(jì)算所求定積分的值。</p><p><b> 例: 證明 </b></p><p> 證明:因?yàn)?</p&g
30、t;<p><b> 所以=</b></p><p><b> =</b></p><p><b> = (<</b></p><p> 3.冪級數(shù)在求極限中的應(yīng)用求函數(shù)極限的方法很多,冪級數(shù)法也是其中之一</p><p><b> 例:
31、求 </b></p><p><b> 解:因?yàn)?</b></p><p><b> ,</b></p><p><b> 所以</b></p><p><b> =</b></p><p> 4.冪級數(shù)在
32、數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和中的應(yīng)用</p><p><b> 例:求 </b></p><p><b> 解:設(shè) </b></p><p><b> =</b></p><p><b> =</b></p><p><b>
33、 =</b></p><p><b> 設(shè) ,則,</b></p><p><b> 且</b></p><p><b> 從而</b></p><p><b> 當(dāng)時(shí),</b></p><p><b
34、> 此時(shí),</b></p><p><b> 令,可得</b></p><p> 5.冪級數(shù)用于推導(dǎo)歐拉公式</p><p> 例: 試用冪級數(shù)的展開式來推導(dǎo)歐拉公式:</p><p><b> ,</b></p><p> 解:當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí),有指
35、數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開知 </p><p> 用純虛數(shù)代替是變量有</p><p><b> 因?yàn)?,,?</b></p><p><b> 所以</b></p><p><b> 即 (*)</b></p><p> 在(*)式中置換可得
36、 (**)</p><p> 由(*)和(**)式聯(lián)立解得:,</p><p> 6.冪級數(shù)在求導(dǎo)中的應(yīng)用</p><p> 例: 求 在的階導(dǎo)數(shù)</p><p><b> 解:因?yàn)楹瘮?shù)</b></p><p><b> 進(jìn)行兩次積分得:</b></p>
37、;<p><b> 則,即</b></p><p> 7.冪級數(shù)在不等式的中的應(yīng)用</p><p> 在證明不等式時(shí)可以巧妙利用函數(shù)冪級數(shù)展開式,能將問題化難為易。</p><p><b> 例:證明:當(dāng)時(shí),</b></p><p> 證明:有三角函數(shù)的冪級數(shù)展開式易知<
38、;/p><p><b> 且</b></p><p><b> 又 即</b></p><p><b> 則</b></p><p><b> 故當(dāng)時(shí)不等式成立。</b></p><p> 8.冪級數(shù)在組合中的應(yīng)用<
39、/p><p> 冪級數(shù)在組合恒等式中用重要的作用。</p><p><b> 例:證明 </b></p><p> 證明:由二項(xiàng)式函數(shù)的冪級數(shù)展開式得</p><p> 在上式的乘積中,的系數(shù)為,從展開式中知的系數(shù)為,因而得等式</p><p><b> 參考文獻(xiàn)</b>
40、;</p><p> [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社.2004</p><p> [2] 劉玉蓮. 數(shù)學(xué)分析講義[M]. 北京:高等教育出版社.2001.</p><p> [3] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M]. 北京:高等教育出版社.1983.</p><p> [4] 秦曾復(fù).
41、于躍年.高等數(shù)學(xué)講義[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1996.12</p><p> [5] 羅振聲.劉曉華.高等數(shù)學(xué)概論與方法[M].電子科技出版社,1996.12</p><p> [6] 吳迪光.張彬.微積分(下冊)[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,2003.11</p><p><b> 致 謝</b></p>&l
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