平面向量的極化恒等式及其應用

1、1平面向量的極化恒等式及其應用平面向量的極化恒等式及其應用一.極化恒等式的由來極化恒等式的由來定理：平行四邊形的對角線的平方和等于相鄰兩邊平方和的兩倍.證法1（向量法）設則.bADaAB??baDBbaAC????.?????????????????????????2222222222ADABbababaDBAC即.?????????22222ADABDBAC證法2（解析法）證法3（余弦定理）推論1：由知，?????????22222A

2、DABDBAC?????????2222222ADABOBAO即22ADAB?????????222OBAO推論2：極化恒等式極化恒等式.???????????????2241bababa即22OBAOADAB???推論3：在中，是邊的中點，則ABC?OBC極化恒等式的幾何意義極化恒等式的幾何意義.222241BCAOOBAOACAB?????亦即向量數量積的第二幾何意義.二.平行四邊形的一個重要結論平行四邊形的一個重要結論平行四邊形的

3、對角線的平方和等于相鄰兩邊平方和的兩倍..?????????22222ADABDBAC三.三角形中線的一個性質三角形中線的一個性質：.22ACAB?????????222OBAO推論1：.?2AO22221OBACAB????????推論2：.?2AO2224121BCACAB????????【應用】已知點是直角三角形斜邊上中線的中點，則.PABCABCD???222PCPBPA3A.2B.3C.6D.8問題3（2013浙江理7）在中，

4、是邊上一定點，滿足，且對于ABC?0PABABBP410?邊上任一點，恒有，則ABPCPBPPCPB00???A.B.C.D.2???ABC2???BACACAB?BCAC?【變式】（2008浙江理9題）已知是平面內的兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足bac，則的最大值是（）A.1B.2C.D..????0????cbcac222問題3已知直線與拋物線交于點，點為的中點，為拋物線上ABxy42?BAMABC一個動點，若滿足，則下列一定成

5、立的是（）【B】0C??CBCABCAC???min00A.B.，其中是拋物線過點的切線ABMC?0lMC?0C.D.（2013年浙江省高中數學競賽試題第5題）BCAC00?ABMC?0問題4在正三角形中，是上的點，則ABC?DBC13??BDAB，????ADAB（2011年上海第11題）【】215問題5在中，，是的中點，則.ABC?32??ACAB，DBC????BCAD（2007年天津文科第15題）【】25問題6正方體的棱長為，是

6、它內切球的一條弦（把球面上任意1111DCBAABCD?2MN兩點之間的線段稱為球的弦），為正方體表面上的動點，當弦最長時，的最大值PPNPM?為.（2013年浙江省湖州市高三數學二模）【2】.問題7點是棱長為1的正方體的底面P1111DCBAABCD?上一點，則的取值范圍是.1111DCBAPCPA?（2013年北京市朝陽區(qū)高三數學二模）【】.??????121問題8如圖，在平行四邊形中，已知，ABCD58??ADAB，，則.的值為.