平面向量的極化恒等式及其應(yīng)用

1、1平面向量的極化恒等式及其應(yīng)用平面向量的極化恒等式及其應(yīng)用一.極化恒等式的由來(lái)極化恒等式的由來(lái)定理：平行四邊形的對(duì)角線的平方和等于相鄰兩邊平方和的兩倍.證法1（向量法）設(shè)則.bADaAB??baDBbaAC????.?????????????????????????2222222222ADABbababaDBAC即.?????????22222ADABDBAC證法2（解析法）證法3（余弦定理）推論1：由知，?????????22222A

2、DABDBAC?????????2222222ADABOBAO即22ADAB?????????222OBAO推論2：極化恒等式極化恒等式.???????????????2241bababa即22OBAOADAB???推論3：在中，是邊的中點(diǎn)，則ABC?OBC極化恒等式的幾何意義極化恒等式的幾何意義.222241BCAOOBAOACAB?????亦即向量數(shù)量積的第二幾何意義.二.平行四邊形的一個(gè)重要結(jié)論平行四邊形的一個(gè)重要結(jié)論平行四邊形的

3、對(duì)角線的平方和等于相鄰兩邊平方和的兩倍..?????????22222ADABDBAC三.三角形中線的一個(gè)性質(zhì)三角形中線的一個(gè)性質(zhì)：.22ACAB?????????222OBAO推論1：.?2AO22221OBACAB????????推論2：.?2AO2224121BCACAB????????【應(yīng)用】已知點(diǎn)是直角三角形斜邊上中線的中點(diǎn)，則.PABCABCD???222PCPBPA3A.2B.3C.6D.8問(wèn)題3（2013浙江理7）在中，

4、是邊上一定點(diǎn)，滿足，且對(duì)于ABC?0PABABBP410?邊上任一點(diǎn)，恒有，則ABPCPBPPCPB00???A.B.C.D.2???ABC2???BACACAB?BCAC?【變式】（2008浙江理9題）已知是平面內(nèi)的兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足bac，則的最大值是（）A.1B.2C.D..????0????cbcac222問(wèn)題3已知直線與拋物線交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為拋物線上ABxy42?BAMABC一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若滿足，則下列一定成

5、立的是（）【B】0C??CBCABCAC???min00A.B.，其中是拋物線過(guò)點(diǎn)的切線ABMC?0lMC?0C.D.（2013年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題第5題）BCAC00?ABMC?0問(wèn)題4在正三角形中，是上的點(diǎn)，則ABC?DBC13??BDAB，????ADAB（2011年上海第11題）【】215問(wèn)題5在中，，是的中點(diǎn)，則.ABC?32??ACAB，DBC????BCAD（2007年天津文科第15題）【】25問(wèn)題6正方體的棱長(zhǎng)為，是

6、它內(nèi)切球的一條弦（把球面上任意1111DCBAABCD?2MN兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦），為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦最長(zhǎng)時(shí)，的最大值PPNPM?為.（2013年浙江省湖州市高三數(shù)學(xué)二模）【2】.問(wèn)題7點(diǎn)是棱長(zhǎng)為1的正方體的底面P1111DCBAABCD?上一點(diǎn)，則的取值范圍是.1111DCBAPCPA?（2013年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三數(shù)學(xué)二模）【】.??????121問(wèn)題8如圖，在平行四邊形中，已知，ABCD58??ADAB，，則.的值為.