3流體運動學1

1、第三章 流體運動學,流體運動學主要研究流場中各個運動參數(shù)的變化規(guī)律,以及這些運動參數(shù)之間的關(guān)系等問題。由于這些問題并不涉及這些運動參量與力之間的關(guān)系,因此流體運動學中的結(jié)論對于理想流體和實際流體均適用.,第一節(jié) 描述流體運動的兩種方法,流體質(zhì)點：物理點。是構(gòu)成連續(xù)介質(zhì)的流體的基本單位流體分子，宏觀上無窮?。w積非常微小，其幾何尺寸可忽略），微觀上無窮大（包含許許多多的流體分子，體現(xiàn)了許多流體分子的統(tǒng)計學特性）。空間點：幾何點，

2、表示空間位置。,流體質(zhì)點是流體的組成部分，在運動時，一個質(zhì)點在某一瞬時占據(jù)一定的空間點（x，y，z）上，具有一定的速度、壓力、密度、溫度等標志其狀態(tài)的運動參數(shù)。拉格朗日法以流體質(zhì)點為研究對象，而歐拉法以空間點為研究對象。,一、拉格朗日法（跟蹤法、質(zhì)點法）Lagrangian method,1、定義：以運動著的流體質(zhì)點為研究對象，跟蹤觀察個別流體質(zhì)點在不同時間其位置、流速和壓力的變化規(guī)律，然后把足夠的流體質(zhì)點綜合起來獲得整個流場的運動規(guī)律

3、。2、拉格朗日變數(shù)：取初始時刻t=t0時，以每個質(zhì)點的空間坐標位置為（a，b，c）作為區(qū)別該質(zhì)點的標識， a，b，c，t 稱為拉格朗日變數(shù)。,3、方程：設任意時刻t，質(zhì)點坐標為(x，y，z) ，則： x = x(a,b,c,t) y = y(a,b,c,t) z = z(a,b,c,t)

4、4、適用情況：流體的振動和波動問題。5、優(yōu)點： 可以描述各個質(zhì)點在不同時間參量變化，研究流體運動軌跡上各流動參量的變化。 缺點：不便于研究整個流場的特性。,,二、歐拉法（站崗法、流場法）Eulerian method,1、定義：以流場內(nèi)的空間點為研究對象，研究質(zhì)點經(jīng)過空間點時運動參數(shù)隨時間的變化規(guī)律，把足夠多的空間點綜合起來得出整個流場的運動規(guī)律。2、歐拉變數(shù)：空間坐標（x，y，z）,t稱為歐拉變數(shù)。

5、,3、方程：因為歐拉法是描寫流場內(nèi)不同位置的質(zhì)點的流動參量隨時間的變化，則流動參量應是空間坐標和時間的函數(shù)。 位置： x = x(x,y,z,t) y = y(x,y,z,t) z = z(x,y,z,t) 速度： ux=ux（x,y,z,t） uy=uy（x,y,z,t

6、） uz=uz（x,y,z,t）,,,同理： p=p（x,y,z,t） ， ρ=ρ(x,y,z,t)說明：x、y、z也是時間t的函數(shù)。,加速度： 全加速度＝當?shù)丶铀俣龋w移加速度當?shù)丶铀俣龋涸谝欢ㄎ恢蒙?，流體質(zhì)點速度隨時間的變化率。遷移加速度：流體質(zhì)點所在的空間位置的變化而引起的速度變化率。 說明：兩種方法具有互換性。但由于歐拉法較簡單

7、，且本書著重討論流場的整體運動特性。所以，采用歐拉法研究問題。,,,,,第二節(jié) 流動的分類,一、理想流體和實際流體理想液體：指無粘性、不可壓縮的液體。實際流體：需考慮粘性、可壓縮性的影響 可以從研究理想流體入手，將得出的結(jié)論做相應的補充和修正，得到實際流體運動的基本規(guī)律。 可壓縮性影響程度很小。密度可以認為是常數(shù)。實際流體研究中，只考慮粘性的影響,二、穩(wěn)定流動和不穩(wěn)定流動,運動流體中，質(zhì)點的

8、運動參數(shù)都是空間坐標（x,y,z）和時間t的連續(xù)函數(shù)。 液體流動時，若液體中任何一點的壓力，流速和密度都不隨時間變化，這種流動稱為穩(wěn)定流動。如變化，則為不穩(wěn)定流動,穩(wěn)定流動：設A為穩(wěn)定流場中任一物理量,或者,速度場可描述為:,不穩(wěn)定流動：,二、一元流、二元流與三元流,按液流運動要素所含空間坐標變量的個數(shù)分：1、一元流 流體在一個方向流動最為顯著，其余兩個方向的流動可忽略不計，即流動流體的運

9、動要素是一個空間坐標的函數(shù)。若考慮流道（管道或渠道）中實際液體運動要素的斷面平均值，則運動要素只是曲線坐標s的函數(shù)，這種流動屬于一元流動。,,速度場可描述為:,2、 二元流 流體主要表現(xiàn)在兩個方向的流動，而第三個方向的流動可忽略不計，即流動流體的運動要素是二個空間坐標（不限于直角坐標）函數(shù)。  如實際液體在圓截面（軸對稱）管道中的流動。,,速度場可描述為:,3、三元流 流動流體的運動要素

10、是三個空間坐標函數(shù)。例如水在斷面形狀與大小沿程變化的天然河道中流動，水對船的繞流等等，這種流動屬于三元流動。,,速度場可描述為:,對于工程實際問題，在滿足精度要求的情況下，將三維流動簡化為二維、甚至一維流動，可以使得求解過程盡可能簡化。,二元流動→一元流動,三元流動→二元流動,機翼擾流問題,管內(nèi)流速分布問題,第三節(jié) 流體運動學的基本概念,1.跡線,跡線：流體質(zhì)點在某段時間內(nèi)運動的軌跡稱為跡線。,拉格朗日跡線方程:消t即可,,歐拉跡線方

11、程:,式中，ux,uy,uz 均為時空t,x,y,z的函數(shù)，且t是自變量。,2、流線,流線：運動流體中，流體質(zhì)點瞬時運動方向的曲線稱為流線。是用來描述流場中各點流動方向的曲線,即矢量場中的矢量線,流線是某一瞬時在流場中所作的一條曲線，在這條曲線上的各流體質(zhì)點的速度方向都與該曲線相切，因此流線是同一時刻，不同流體質(zhì)點所組成的曲線，如圖所示。 流線可以形象地給出流場的流動狀態(tài)。通過流線，可以清楚地看出某時刻流場中各點的速度方向，由

12、流線的密集程度，也可以判定出速度的大小。流線的引入是歐拉法的研究特點。例如在流動水面上同時撤一大片木屑，這時可看到這些木屑將連成若干條曲線，每一條曲線表示在同一瞬時各水點的流動方向線就是流線。,1、在穩(wěn)定流動時，流線和跡線相重合。 在定常流動時，因為流場中各流體質(zhì)點的速度不隨時間變化，所以通過同一點的流線形狀始終保持不變，因此流線和跡線相重合。而在非定常流動時，一般說來流線要隨時間變化，故流線和跡線不相重合。2、通

13、過某一空間點在給定瞬間只能有一條流線，一般情況流線不能相交和分支。 因為根據(jù)流線定義，在交點的液體質(zhì)點的流速向量應同時與這兩條流線相切，即一個質(zhì)點不可能同時有兩個速度向量。3、流線不能突然折轉(zhuǎn)，是一條光滑的連續(xù)曲線。（因為流體是連續(xù)介質(zhì)，各運動要素是空間的連續(xù)函數(shù)）4、流線密集的地方，表示流場中該處的流速較大，稀疏的地方，表示該處的流速較小。 因為對不可壓縮流體，元流的流速與其過水斷面面積成反比,流線的性質(zhì)：,

14、流線是流體運動質(zhì)點的歐拉描述跡線是流體運動質(zhì)點的拉格朗日描述,流線微分方程cy412 現(xiàn)由矢量分析法導出流線微分方程。設在某一空間點上流體質(zhì)點的速度矢量 ，通過該點流線上的微元線段 。由流線的定義知，空間點上流體質(zhì)點的速度與流線相切。根據(jù)矢量分析，這兩個矢量的矢量積應等于零，即

15、 展開矩陣即 上式又可寫成,,,,,上式即為流線微分方程式中時間t是個參變量,【例3-1】 有一流場，其流速分布規(guī)律為：u= -ky，v= kx，w=0，試求其流線方程。 【解】 由于w=0，所以是二維流動， 二維流動的流線方程微分為 將兩個分速度代入流線微分方程，得到 即

16、 xdx+ydy=0 積分上式得到 x2+y2=c 即流線簇是以坐標原點為圓心的同心圓。,,,【例3-2】已知：設速度場為 ux = t+1 ,vy = 1，t = 0時刻流體 質(zhì)點A位于原點。求：（1）質(zhì)點A的跡線方程； （2）t = 0時刻過原點的流線方程；,解：(1)由歐拉跡線方程式，跡線方程組為,由上兩式分別積分可得,t = 0時質(zhì)點A 位于x =

17、y =0，得c1= c2= 0。質(zhì)點A的跡線方程為:,消去參數(shù)t得A點的跡線方程為：,（2）由流線微分方程：,,積分可得：,在 t = 0時刻，流線通過原點 x = y = 0，可得C = 0，相應的流線方程為：,,跡線與流線的比較：,3、流管（stream tube） 、流束和總流,在流場中任取一條不是流線的封閉曲線，通過曲線上各點作流線，這些流線組成一個管狀表面，稱之為流管。在流管內(nèi)的流體稱為流束。液流的整體稱為總流，可

18、以認為總流是由流束組成，也可以認為是微小面積dA擴大到運動流體的邊界形成的液流。,注意：流管與流線只是流場中的一個幾何面和幾何線，而流束不論大小，都是由流體組成的。,4、有效/過流斷面、流量,1)、過流斷面A 垂直于流線的橫截面稱為過流斷面?？善矫婵汕妗?2)、流量 單位時間內(nèi)通過過流斷面的流體量稱為流量①體積流量Q。 單位時間內(nèi)通過過流截面的流體體積稱為體積流量，簡稱流量，以Q表示。其

19、單位為m3/s.②質(zhì)量流量Qm 單位時間內(nèi)通過過流截面的流體質(zhì)量稱為質(zhì)量流量,以Qm表示，其單位為kg/s.③關(guān)系：,5、斷面平均流速,平均流速為流量與過流斷面通流面積之比。實際上由于液體具有粘性，液體在管道內(nèi)流動時，通流截面上各點的流速是不相等的。管道中心處流速最大；越靠近管壁流速越??；管壁處的流速為零。為方便起見，以后所指流速均為平均流速。 v=Q/A,管軸截面各點速度分布,第四節(jié) 連

20、續(xù)性方程,連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學中的應用。我們認為流體是連續(xù)介質(zhì)，它在流動時連續(xù)地充滿整個流場。在這個前提下，當研究流體經(jīng)過流場中某一任意指定的空間封閉曲面時，可以斷定：若在某一定時間內(nèi)，流出的流體質(zhì)量和流入的流體質(zhì)量不相等時，則這封閉曲面內(nèi)一定會有流體密度的變化，以便使流體仍然充滿整個封閉曲面內(nèi)的空間；如果流體是不可壓縮的，則流出的流體質(zhì)量必然等于流入的流體質(zhì)量。上述結(jié)論可以用數(shù)學分析表達成微分方程，稱為連續(xù)性方程。,系統(tǒng)

21、與控制體,一、系統(tǒng)： 所謂系統(tǒng)，就是確定物質(zhì)的集合。系統(tǒng)以外的物質(zhì)稱為環(huán)境。系統(tǒng)與環(huán)境的分界面稱為邊界。系統(tǒng)具有如下的特點：1 系統(tǒng)始終包含著相同的流體質(zhì)點；2 系統(tǒng)的形狀和位置可以隨時間變化；3 邊界上可有力的作用和能量的交換，但不能有質(zhì)量的交換。 物理上的3大守恒定律都是針對系統(tǒng)而言的。但由于流體的流動性，導致系統(tǒng)的位置形狀不固定，故引入控制體概念。,二、控制體： 所謂控制體，是指

22、根據(jù)需要所選擇的具有確定位置和體積形狀的流場空間?？刂企w的表面稱為控制面。 控制體具有以下的特點：1 控制體內(nèi)的流體質(zhì)點是不固定的；2 控制體的 位置和形狀不會隨時間變化；3 控制面上不僅可以有力的作用和能量交換，而且還可以有質(zhì)量交換。 流體力學中的流動方程的建立，就是把適用于系統(tǒng)的物理定律改寫成適于控制體的數(shù)學表達式。,二、一元穩(wěn)定流的連續(xù)性方程,連續(xù)性方程為：,不可壓縮流體連續(xù)性方程為：,可壓縮流體非定常三維

23、流動的連續(xù)性方程可壓縮流體定常三維流動的連續(xù)性方程不可壓縮流體三維流動的連續(xù)性的方程,三、空間運動的連續(xù)性方程,（要求記憶）,一、空間運動的連續(xù)性微分方程式推導 設在流場中任取一個微元平行六面體，其邊長分別為dx、dy和dz，如圖3-12所示。 假設微元平行六面體形心的坐標為x、y、z，在某一瞬時t經(jīng)過形心的流體質(zhì)點沿各坐標軸的速度分量為u、v、w，流體的密度為ρ。現(xiàn)討論流體經(jīng)六面體

24、各面的流動情況。 先分析x軸方向，由于u和ρ都是坐標和時間的連續(xù)函數(shù)，即u=u (x，y，z，t)和ρ = ρ (x，y，z，t)。根據(jù)泰勒級數(shù)展開式，略去高于一階的無窮小量，得在dt時間內(nèi)，沿x軸方向從左邊微元面積dydz流入的流體質(zhì)量為,,,,,,,,,,,,圖 3-12 流場中的微元平行六面體,,,,同理可得在dt時間內(nèi)從右邊微元面積dydz流出的流體質(zhì)量為

25、 (3-22) 上述兩者之差為在dt時間內(nèi)沿x軸方向流體質(zhì)量的變化，即 (3-23),,,,,同理可得，在dt時間內(nèi)沿y軸和z軸方向流體質(zhì)量的變化分別為

26、： 因此，在dt時間內(nèi)經(jīng)過微元六面體的流體質(zhì)量總變化為 (3-24) 由于流體是作為連續(xù)介質(zhì)來研究的，所以式(3-24)所表示的六面體內(nèi)流體質(zhì)量的總變化，唯一的可能是因為六面體內(nèi)流體密度的變化而引起的。因此式(3-24)應和由于流體密

27、度的變化而產(chǎn)生的六面體內(nèi)的流體質(zhì)量變化相等。 設開始瞬時流體的密度為ρ，經(jīng)過dt時間后的密度為,,,,,則可求出在dt時間內(nèi)，六面體內(nèi)因密度的變化而引起的質(zhì)量變化為 (3-25) 根據(jù)連續(xù)性條件，式(3-24)和式(3-25)應相等

28、，經(jīng)簡化得到 (3-26) 式（3-26）為可壓縮流體非定常三維流動的連續(xù)性方程。 若流體是定常流動，則 ，上式成為

29、 (3-27) 式（3-27）為可壓縮流體定常三維流動的連續(xù)性方程。 若流體是不可壓縮的，不論是定?；蚍嵌ǔＡ鲃应丫?,,,,,為常數(shù)，故式(3-27)成為 (3-28)

30、 式（3-28）為不可壓縮流體三維流動的連續(xù)性的方程。它的物理意義是：在同一時間內(nèi)通過流場中任一封閉表面的體積流通量等于零，也就是說，在同一時間內(nèi)流入的體積流量與流出的體積流量相等。 在流體力學中時常討論所謂平面（二維）流動，即平行任何一個坐標平面的流動。若這種流動的流動參數(shù)（如速度、壓強）只沿x、y兩個坐標軸方向發(fā)生變化，則式（3-28）可以寫成

31、 (3-29) 由于在推導上述連續(xù)性方程時，沒有涉及作用力的問題，所以不論是對理想流體還是實際流體都是適用的。,,,,【例3-4】 假設有一不可壓縮流體三維流動，其速度分布規(guī)律為）U=3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。試分析該流動是否連續(xù)。 【解】 根據(jù)式（3-28

32、） 所以 故此流動不連續(xù)。不滿足連續(xù)性方程的流動是不存在的,,,【例3-5】 有一不可壓縮流體平面流動，其速度分布規(guī)律為u=x2siny，v=2xcosy，試分析該流動是否連續(xù)。 【解】 根據(jù)式（3-29） 所以 故此流動是連續(xù)的。,

33、,,第五節(jié) 流體微團運動分析,一、流體微團運動的分解,剛體的運動是由于平移和繞某瞬時軸的轉(zhuǎn)動兩部分組成。,流體質(zhì)點的運動，一般除了平移、轉(zhuǎn)動外，還要發(fā)生變形（角變形和線變形）,,,,,各式加減相同項，做恒等變換,,,,令,,則有,——亥姆霍茲速度分解定理,二、微團運動的組成分析,1．平移運動速度ux，uy，uz,由于微團平移在各點引起的速度,2．線變形速度εxx，εyy，εzz,單位時間微團沿x、y或z方向的相對線變形量，稱為該方向的

34、線變形速度 。,,,,3．角變形速度εxy，εyz，εzx,單位時間微團在xOy面、yOz面或xOz面上的角變形（變形前后，角分線O'C的指向不變 ）,,,4．旋轉(zhuǎn)角速度ωx，ωy，ωz,角變形前后，若角分線O‘C的指向變化，表示該微團旋轉(zhuǎn)。單位時間旋轉(zhuǎn)角度的變化。,,,,旋轉(zhuǎn)角速度矢量的方向為沿微團旋轉(zhuǎn)方向按右手定則確定。,三、有旋運動和無旋運動,有旋流（Vortex）：亦稱“渦流”，流體質(zhì)點（微團）在運動中不僅發(fā)生平動（或

35、變形），而且繞著自身的瞬時軸線作旋轉(zhuǎn)運動,,,,,,,特征：ωx、ωy、ωz 三者之中，至少有一個不為零。,無旋流（Potential Flow）亦稱“勢流”，流體在運動中，它的微團只有平動或變形，但流體質(zhì)點不繞其自身任意軸轉(zhuǎn)動。,,,,,特征,自然界和工程中大多為有旋流動，如大氣中的龍卷風、管道中的流體運動、繞流物體表面的邊界層及其尾部后面的流動等。一般存在于有粘性實際流體中。無旋流一般存在于無粘性理想流體中。根據(jù)粘性力是否起顯著

36、作用決定是否采用理想流體模型。工程中的流體主要為水和空氣（粘性很?。?，如果流動過程中沒有受到邊壁摩擦的顯著作用，可當作理想流體。,無旋流和有旋流決定于流體質(zhì)點本身是否旋轉(zhuǎn)，而與運動軌跡無關(guān)。,總結(jié)：,50,故此流動不連續(xù)。不滿足連續(xù)性方程的流動是不存在的,所以,【解】 根據(jù)連續(xù)性方程：,【例】 假設有一不可壓縮流體三維流動，其速度分布規(guī)律為）ux=3（x+y3)， uy =4y+z2， uz =x+y+2z。試分析該流動是否連續(xù)