概率論與統(tǒng)計學

1、2024/3/19,商學院,1,統(tǒng) 計 學statistics,李欣先 Email:lixinxian2005@126.comtongjxxx@163.com,2024/3/19,商學院,2,第5章 概率論概念縱覽 （a survey of probability concepts ）,第1節(jié) 什么是概率（ what is a probability） 第2節(jié) 概率求解方法（ approach to probabi

2、lity ） 第3節(jié) 幾個概率法則（ some rules of probability ） 第4節(jié) 樹形圖（tree diagrams ） 第5節(jié) 貝葉斯定理（Bayes’ theorem） 第6節(jié) 計數(shù)定理（principles of counting）,2024/3/19,商學院,3,,Managers often base their decisions on an analysis of uncertainties

3、 such as the following:1. What are the chances that sales will decrease if we increase prices?2. What is the likelihood a new assembly method will increase productivity?3. How likely is it that the project will be fin

4、ished on time?4. What is the chance that a new investment will be profitable?,2024/3/19,商學院,4,第1節(jié) 什么是概率（ what is a probability）,概率是對事件發(fā)生的可能性大小的度量，記為P(A)明天降水的概率是80%。這里的80%就是對降水這一事件發(fā)生的可能性大小的一種數(shù)值度量你購買一只股票明天上漲的可能性是30%，這

5、也是一個概率一個介于0和1之間的一個值,2024/3/19,商學院,5,試 驗(experiment),對試驗對象進行一次觀察或測量的過程 擲一顆骰子，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)從一副52張撲克牌中抽取一張，并觀察其結(jié)果(紙牌的數(shù)字或花色)試驗的特點可以在相同的條件下重復(fù)進行每次試驗的可能結(jié)果可能不止一個，但試驗的所有可能結(jié)果在試驗之前是確切知道的在試驗結(jié)束之前，不能確定該次試驗的確切結(jié)果,2024/3/19,商學院,6,事件

6、(event),事件：試驗的每一個可能結(jié)果(任何樣本點集合)擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)為3用大寫字母A，B，C，…表示隨機事件(random event)：每次試驗可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件擲一顆骰子可能出現(xiàn)的點數(shù),2024/3/19,商學院,7,事件(event),簡單事件(simple event) ：不能被分解成其他事件組合的基本事件拋一枚均勻硬幣，“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面” 必然事件(certain event)：每次試

7、驗一定出現(xiàn)的事件，用?表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)小于7不可能事件(impossible event)：每次試驗一定不出現(xiàn)的事件，用?表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)大于6,2024/3/19,商學院,8,樣本空間與樣本點,樣本空間(sample Space)一個試驗中所有結(jié)果的集合，用?表示例如：在擲一顆骰子的試驗中，樣本空間表示為：??{1,2,3,4,5,6}在投擲硬幣的試驗中，??{正面，反面}樣本點( sample poin

8、t)樣本空間中每一個特定的試驗結(jié)果用符號?表示,2024/3/19,商學院,9,第2節(jié) 概率求解方法（ approach to probability ）,The classical method of assigning probabilities is appropriate when all the experimental outcomes are equally likely.【例】擲骰子的例子，偶數(shù)面朝上的概率是多少?

9、,2024/3/19,商學院,10,,The relative frequency method of assigning probabilities is appropriate when data are available to estimate the proportion of the time the experimental outcome will occur if the experiment is repeated

10、a large number of times.,2024/3/19,商學院,11,,The subjective method of assigning probabilities is most appropriate when one cannot realistically assume that the experimental outcomes are equally likely and when little relev

11、ant data are available.,2024/3/19,商學院,12,互斥事件及其概率(mutually exclusive events),? 在試驗中，兩個事件有一個發(fā)生時，另一個就不能發(fā)生，則稱事件A與事件B是互斥事件,(沒有公共樣本點),互斥事件的文氏圖(Venn diagram),2024/3/19,商學院,13,互斥事件及其概率(例題分析),【例】在一所城市中隨機抽取600個家庭，用以確定擁有個人電腦的家庭

12、所占的比例。定義如下事件： A：600個家庭中恰好有265個家庭擁有電腦 B：恰好有100個家庭擁有電腦 C：特定戶張三家擁有電腦 說明下列各對事件是否為互斥事件，并說明你的理由 (1) A與B (2) A與C (3) B與 C,2024/3/19,商學院,14,互斥事件及其概率(例題分析),解：(1) 事件A與B是互斥事件。因為你觀察

13、 到恰好有265個家庭擁有電腦，就 不可能恰好有100個家庭擁有電腦 (2) 事件A與C不是互斥事件。因為張三 也許正是這265個家庭之一，因而事 件與有可能同時發(fā)生 (3) 事件B與C不是互斥事件。理由同(2),2024/3/19,商學院,15,互斥事件及其概率(例題分析),,【例】同時拋擲兩枚硬幣，并考察其結(jié)果。恰好有一

14、枚 正面朝上的概率是多少？,解：用H表示正面，T表示反面，下標1和2表示硬幣1 和硬幣2。該項試驗會有4個互斥事件之一發(fā)生 (1) 兩枚硬幣都正面朝上，記為H1H2 (2) 1號硬幣正面朝上而2號硬幣反面朝上，記為H1T2 (3) 1號硬幣反面朝上而2號硬幣正面朝上，記為T1H2 (4) 兩枚硬幣都是反面朝上，記為 T1T2,

15、2024/3/19,商學院,16,互斥事件及其概率(例題分析),解：由于每一枚硬幣出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面的概率都是1/2，當拋擲的次數(shù)逐漸增大時，上面的4個簡單事件中每一事件發(fā)生的相對頻數(shù)(概率)將近似等于1/4。因為僅當H1T2或T1H2發(fā)生時，才會恰好有一枚硬幣朝上的事件發(fā)生，而事件H1T2或T1H2又為互斥事件，兩個事件中一個事件發(fā)生或者另一個事件發(fā)生的概率便是1/2(1/4+1/4)。因此，拋擲兩枚硬幣，恰好有一枚出現(xiàn)正面的概率等

16、于H1T2或T1H2發(fā)生的概率，也就是兩種事件中每個事件發(fā)生的概率之和,2024/3/19,商學院,17,互斥事件的加法規(guī)則(addition law),? 加法規(guī)則若兩個事件A與B互斥，則事件A發(fā)生或事件B發(fā)生的概率等于這兩個事件各自的概率之和，即 P(A∪B) =P(A)+P(B)事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則有 P(A1∪A2 ∪…∪An) =P

17、(A1)+P(A2) +…+P(An),2024/3/19,商學院,18,互斥事件的加法規(guī)則 (例題分析),解：擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)(1，2，3，4，5，6)共有 6個互斥事件，而且每個事件出現(xiàn)的概率都為1/6 根據(jù)互斥事件的加法規(guī)則，得,【例】拋擲一顆骰子，并考察其結(jié)果。求出其點 數(shù)為1點或2點或3點或4點或5點或6點的概率,2024/3/19,商學院,19,概率的性質(zhì)(小結(jié)),非

18、負性對任意事件A，有 P ?1規(guī)范性一個事件的概率是一個介于0與1之間的值，即對于任意事件 A，有0 ? P ? 1必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。即P (? )=1； P(? )=0可加性若A與B互斥，則P(A∪B) =P(A)+P(B)推廣到多個兩兩互斥事件A1，A2，…，An，有 P(A1∪A2∪…∪An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An),2024/3/19,商學院,20,事件的補及其概率,?

19、 事件的補(complement) 事件A不發(fā)生的事件，稱為補事件A的補事件(或稱逆事件)，記為?A 。它是樣本空間中所有不屬于事件A的樣本點的集合,,A,?,? A,P(?A)=1- P(A),2024/3/19,商學院,21,廣義加法公式(general rule of addition),? 廣義加法公式 對任意兩個隨機事件A和B，它們和的概率為兩個事件分別概率的和減去兩個事件交的概率，即 P(

20、A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B),兩個事件的并,兩個事件的交,,,2024/3/19,商學院,22,廣義加法公式(事件的并或和),? 事件A或事件B發(fā)生的事件，稱為事件A與事件B的并。它是由屬于事件A或事件B的所有樣本點的集合，記為A∪B或A+B,2024/3/19,商學院,23,廣義加法公式(事件的交或積),? 事件A與事件B同時發(fā)生的事件，稱為事件A與事件B的交，它是由屬于事件A也屬于事件B的所有公共樣本點

21、所組成的集合，記為B∩A 或AB,2024/3/19,商學院,24,廣義加法公式(例題分析),解：設(shè) A =員工離職是因為對工資不滿意 B =員工離職是因為對工作不滿意 依題意有：P(A)=0.40；P(B)=0.30；P(AB)=0.15 P(AB)= P(A)+ P(B)+ P(AB)=0.40+0.30-0.15=0.55,【例】一家計算機軟件開發(fā)公司的人事部

22、門最近做了一項調(diào)查，發(fā)現(xiàn)在最近兩年內(nèi)離職的公司員工中有40%是因為對工資不滿意，有30%是因為對工作不滿意，有15%是因為他們對工資和工作都不滿意。求兩年內(nèi)離職的員工中，離職原因是因為對工資不滿意、或者對工作不滿意、或者二者皆有的概率,2024/3/19,商學院,25,條件概率與事件的獨立性,假設(shè)一個盒子里有10卷膠卷，且3卷是次品。從盒子拿出一卷，接著拿出第二卷，則第二卷是次品的概率是？,2024/3/19,商學院,26,條件概率(

23、conditional probability),? 在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為已知事件B時事件A的條件概率，記為P(A|B),2024/3/19,商學院,27,條件概率(例題分析),解：設(shè) A =顧客購買食品， B =顧客購買其他商品 依題意有：P(A)=0.80；P(B)=0.60；P(AB)=0.35,【例】一家超市所作的一項調(diào)查表明，有80%的顧客到超市是來購買食品，60%的人是來購買其他商品，

24、35%的人既購買食品也購買其他商品。求： (1)已知某顧客購買食品的條件下，也購買其他商品的概率 (2)已知某顧客購買其他的條件下，也購買食品的概率,2024/3/19,商學院,28,條件概率(例題分析),【例】一家電腦公司從兩個供應(yīng)商處購買了同一種計算機配件，質(zhì)量狀況如下表所示 從這200個配件中任取一個進行檢查，求 (1) 取出的一個為正品的概率

25、 (2) 取出的一個為供應(yīng)商甲的配件的概率 (3) 取出一個為供應(yīng)商甲的正品的概率 (4) 已知取出一個為供應(yīng)商甲的配件，它是正品的概率,,2024/3/19,商學院,29,條件概率(例題分析),解：設(shè) A = 取出的一個為正品 B = 取出的一個為供應(yīng)商甲供應(yīng)的配件 (1) (2)

26、 (3) (4),2024/3/19,商學院,30,,As an illustration of the application of conditional probability, consider the situation of the promotion status of male and femal

27、e officers of a major metropolitan police force in the eastern United States. The police force consists of 1200 officers, 960 men and 240 women. Over the past two years, 324 officers on the police force received promotio

28、ns. The specific breakdown of promotions for male and female officers is shown in Table 4.4.,2024/3/19,商學院,31,,After reviewing the promotion record, a committee of female officers raised a discrimination case on the basi

29、s that 288 male officers had received promotions but only 36 female officers had received promotions. The police administration argued that the relatively low number of promotions for female officers was due not to discr

30、imination, but to the fact that relatively few females are members of the police force. Let us show how conditional probability could be used to analyze the discrimination charge.,2024/3/19,商學院,32,,2024/3/19,商學院,33,,2024

31、/3/19,商學院,34,乘法公式(multiplicative law),用來計算兩事件交的概率以條件概率的定義為基礎(chǔ)設(shè)A，B為兩個事件，若P(B)>0，則 P(AB)=P(B)P(A|B) 或 P(AB)=P(A)P(B|A),2024/3/19,商學院,35,乘法公式(例題分析),【例】一家報紙的發(fā)行部已知在某社區(qū)有75%的住戶訂閱了該報

32、紙的日報，而且還知道某個訂閱日報的住戶訂閱其晚報的概率為50%。求某住戶既訂閱日報又訂閱晚報的概率,解：設(shè) A = 某住戶訂閱了日報 B = 某個訂閱了日報的住戶訂閱了晚報 依題意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50 P(AB)=P(A)· P(B|A)=0.75×0.5=0.375,2024/3/19,商學院,36,獨立事

33、件與乘法公式(例題分析),【例】從一個裝有3個紅球2個白球的盒子里摸球(摸出后球不放回)，求連續(xù)兩次摸中紅球的概率,解：設(shè) A = 第2次摸到紅球 B = 第1次摸到紅球 依題意有： P(B)=3/5；P(A|B)=2/4 P(AB)=P(A)· P(B|A)=3/5×2/4=0.3,2024/3/19,

34、商學院,37,獨立事件與乘法公式(independent events),若P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B) ，則稱事件A與B事件獨立，或稱獨立事件 若兩個事件相互獨立，則這兩個事件同時發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生的概率之積，即 P(AB)= P(A)· P(B)若事件A1,A2,?,An相互獨立，則 P(A1, A2, ?, An)= P(A1)· P

35、(A2) · ? · P(An),2024/3/19,商學院,38,獨立事件與乘法公式(例題分析),【例】一個旅游經(jīng)景點的管理員根據(jù)以往的經(jīng)驗得知，有80%的游客在古建筑前照相留念。求接下來的兩個游客都照相留念的概率,解：設(shè) A = 第一個游客照相留念 B = 第二個游客照相留念 兩個游客都照相留念是兩個事件的交。在沒 有其他信息的情況下，我們可以假定事件A

36、 和事件B是相互立的，所以有 P(AB)=P(A)· P(B)=0.80×0.80=0.64,2024/3/19,商學院,39,獨立事件與乘法公式(例題分析),【例】假定我們是從兩個同樣裝有3個紅球2個白球的盒子摸球。每個盒子里摸1個。求連續(xù)兩次摸中紅球的概率,解：設(shè) A = 從第一個盒子里摸到紅球 B = 從第二個盒子里摸到紅球

37、 依題意有：P(A)=3/5；P(B|A)=3/5 P(AB)=P(A)· P(B|A)=3/5×3/5=0.36,2024/3/19,商學院,40,全概公式與逆概公式,2024/3/19,商學院,41,全概公式,? 全概公式,完備事件組,2024/3/19,商學院,42,全概公式(例題分析),【例】假設(shè)在n張彩票中只有一張中獎獎券，那么第二個人摸到獎券的概率是多少？,解：設(shè) A =

38、 第二個人摸到獎券，B = 第一個人摸到獎券 依題意有：P(B)=1/n；P(?B)=(n-1)/n P(A|B)=0 P(A|?B)=1/n-1,2024/3/19,商學院,43,逆概公式,? 逆概公式(貝葉斯公式 ),P(Bi)被稱為事件Bi的先驗概率(prior probability)P(Bi|A)被稱為事件Bi的后驗概率(posterior pro

39、bability),2024/3/19,商學院,44,逆概公式(例題分析),【例】某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為1/2，而他不知道正確答案時猜對的概率應(yīng)該為1/4?？荚嚱Y(jié)束后發(fā)現(xiàn)他答對了，那么他知道正確答案的概率是多大呢？,解：設(shè) A = 該考生答對了 ，B = 該考生知道正確答案 依題意有：P(B)=1/2； P(?B)=1-1/2 = 1/2

40、 P(A|?B)=1/4 P(A|B)=1,2024/3/19,商學院,45,第4節(jié) 樹形圖（tree diagrams ）,A tree diagram is a graphical representation that helps in visualizing a multiple-stepexperiment.,2024/3/19,商學院,46,,,2024/3/19,商學院,47,,,2024/3/1

41、9,商學院,48,第6節(jié) 計數(shù)定理（principles of counting）,Combinations A useful counting rule allows one to count the number of experimental outcomes when the experiment involves selecting n objects from a (usually larger) set of N obj

42、ects. It is called the counting rule for combinations.,2024/3/19,商學院,49,,COUNTING RULE FOR COMBINATIONSThe number of combinations of N objects taken n at a time isWhere N! =N(N -1)(N -2) . . . (2)(1) n

43、!=n(n-1)(n-2) . . . (2)(1) and, by definition, 0! =1,2024/3/19,商學院,50,,Permutations A third counting rule that is sometimes useful is the counting rule forpermutations. It allows one to compute the number of experiment

44、al outcomes when n objects are to be selected from a set of N objects where the order of selection is important. The same n objects selected in a different order are considered a different experimental outcome.,2024/3/19

45、,商學院,51,,COUNTING RULE FOR PERMUTATIONSThe number of permutations of N objects taken n at a time is given by,2024/3/19,商學院,52,習題,1、某保險公司想通過因特網(wǎng)對60歲的男性提供壽險。生命表顯示60歲的男性再活1年的概率是0.98，如果對5名60歲男性提供該保單：a. 5個人都能活過今年的概率是多少？b. 至

46、少有1個人在今年去世的概率是多少？,2024/3/19,商學院,53,,2、為了減少偷竊事件，某公司對所有的雇員進行測謊檢驗。已知測謊儀正確的概率是90%。老板打算解雇所有沒通過測謊儀檢驗的人。假設(shè)5%的員工的確犯有偷竊罪。a.有多大比例的雇員會被解雇？b.被解雇的人中真正犯罪的比例是多少？c.沒被解雇的人中，多大比例的員工實際有罪？d.你認為老板的政策如何？,2024/3/19,商學院,54,,,Thanks,Question