模糊數(shù)學(xué)2009-6模糊關(guān)系、模糊關(guān)系合成

1、吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,1,第三章模糊關(guān)系與聚類分析,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,2,聚類分析,所謂聚類分析(clustering)，就是用數(shù)學(xué)方法對事物進(jìn)行分類聚類vs.分類模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生之前，聚類分析是數(shù)理統(tǒng)計(jì)多元分析的一個分支現(xiàn)實(shí)分類問題具有模糊性，例如“環(huán)境污染分類”、“巖石分類”等聚類分析是模糊關(guān)系的一個應(yīng)用什么是模糊關(guān)系？,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,3,3-1 模糊關(guān)系的定義和性質(zhì),吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)

2、與技術(shù)學(xué)院,4,什么是關(guān)系？,學(xué)生集合 U={張三，李四，王五}外語選修課程集合 V={英，法，德，日}R={ (張三, 英), (張三, 法), (李四, 德), (王五, 日), (王五, 英)},吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,5,關(guān)系——例,U={毛澤東，鄧小平，老布什}V={毛岸英，鄧樸方，小布什}父子關(guān)系={(毛澤東,毛岸英), （鄧小平,鄧樸方), (老布什,小布什)},吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,6,“經(jīng)典關(guān)系”

3、的定義,定義：集合A,B的直積A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}的一個子集R稱為A到B的一個二元關(guān)系，簡稱關(guān)系,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,7,關(guān)系——例,設(shè)X為橫軸，Y為縱軸直積X×Y是什么？其上的普通關(guān)系x>y是什么？,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,8,關(guān)系?模糊關(guān)系,“課程選擇”、“父子”——明確的關(guān)系客觀世界中，并非所有的關(guān)系都這么明確信任關(guān)系喜愛關(guān)系,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,9,

4、模糊關(guān)系的定義,以集合U,V的直積U×V為論域其上的一個模糊子集R稱為U,V的一個模糊關(guān)系。若U=V ，則稱為“U上的模糊關(guān)系R”其隸屬函數(shù)為： μR ： U×V ? [0,1],吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,10,模糊關(guān)系——例1,設(shè)X為橫軸，Y為縱軸，直積X×Y是整個平面，其上的模糊關(guān)系R=“x遠(yuǎn)大于y”，怎么表示？,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,11,當(dāng)x-y=1時，R(x,y)=0.0099

5、當(dāng)x-y=10時，R(x,y)=0.5當(dāng)x-y=100時，R(x,y)=0.99,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,12,模糊關(guān)系——例2,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,13,,,,,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,14,模糊關(guān)系——例2,X={ Ross, Joey, Chandler}Y={ Monica, Phoebe, Rachel}X×Y={(Ross, Monica), (Ross, Phoebe), (R

6、oss, Rachel), (Joey, Monica), (Joey, Phoebe), (Joey, Rachel), (Chandler, Monica), (Chandler, Phoebe), (Chandler, Rachel) }模糊關(guān)系R1: 朋友關(guān)系模糊關(guān)系R2: 戀人關(guān)系,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,15,模糊關(guān)系——例3,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,16,模糊關(guān)系的運(yùn)算,模糊關(guān)系就是模糊子集唯一特殊之處—

7、—論域是直積U×V模糊關(guān)系的運(yùn)算法則完全服從模糊集合的運(yùn)算法則,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,17,模糊關(guān)系的相等,設(shè)R,S都是X×Y上的模糊關(guān)系，則,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,18,模糊關(guān)系的包含,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,19,模糊關(guān)系的并,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,20,模糊關(guān)系的交,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,21,模糊關(guān)系的余,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,22,分解定理,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科

8、學(xué)與技術(shù)學(xué)院,23,λ截關(guān)系,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,24,3-2 模糊矩陣,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,25,模糊關(guān)系?模糊矩陣,論域若論域X×Y是有限集，模糊關(guān)系可以表示為模糊矩陣若論域X×Y是連續(xù)或無限的，則該論域上的(模糊)關(guān)系不能用(模糊)矩陣來表示什么是模糊矩陣？,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,26,模糊矩陣的定義,如果對于任意i=1,2,…,m, j=1,2,…,n,都有rij∈[0,1]

9、,則稱矩陣R=(rij)m×n為模糊矩陣。若rij∈{0,1}, 則模糊矩陣變成布爾矩陣模糊矩陣可以表示模糊關(guān)系,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,27,模糊矩陣－例,U={蘋果, 梨, 書, 乒乓球} ，它們的相似程度可以用模糊關(guān)系“相似” 來表示，記為R：,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,28,請給出下例的模糊矩陣,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,29,矩陣與關(guān)系,一個模糊矩陣對應(yīng)著什么？一個模糊關(guān)系一個布爾矩陣對應(yīng)著什么

10、？一個普通關(guān)系,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,30,模糊矩陣與普通矩陣,矩陣元素模糊矩陣的元素限制在[0,1]上普通矩陣的元素沒有限制矩陣運(yùn)算模糊矩陣的運(yùn)算完全不同與普通矩陣的運(yùn)算模糊矩陣運(yùn)算是模糊集合的運(yùn)算,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,31,模糊矩陣的相等、包含,設(shè)A、B為模糊矩陣，記A=(aij), B=(bij)，i=1,2,…,m,j=1,2,…,n, 則(1)相等：A=B ?對任意i,j 有 aij=bij

11、(2)包含：A?B ?對任意i,j 有 aij≤bij,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,32,模糊矩陣的交、并、余,設(shè)A、B為模糊矩陣，記A=(aij), B=(bij)，i=1,2,…,m, j=1,2,…,n, 則(1)并：A∪B ? (aij∨bij)m×n(2)交: A∩B ? (aij∧bij)m×n(3)余: Ac ? (1-aij) m×n,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,33,給

12、出如下模糊矩陣運(yùn)算結(jié)果,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,34,模糊矩陣的運(yùn)算性質(zhì),1）冪等律：A∪A＝A , A∩A=A;2）交換律：A∪B=B∪A, A∩B=B∩A;3）結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C);,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,35,模糊矩陣的運(yùn)算性質(zhì),4）吸收律：A∩(A∪B)= A, A∪(A∩B)=A;5

13、）分配律: (A∪B)∩C=( A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C= ( A∪C)∩(B∪C);,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,36,模糊矩陣的運(yùn)算性質(zhì),（7）復(fù)原律：(Ac)c=A;（8）對偶律：(A∪B)c= Ac∩Bc, (A∩B)c= Ac∪Bc.,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,37,3-3 模糊關(guān)系的對稱性

14、與自反性,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,38,轉(zhuǎn)置矩陣的定義,設(shè)R=(rij)∈μm×n,則稱RT=(rji)∈μn×m為R的轉(zhuǎn)置矩陣,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,39,轉(zhuǎn)置矩陣?轉(zhuǎn)置關(guān)系,定義.設(shè)R∈F(U×V),而RT∈F(V×U)則稱RT為R的轉(zhuǎn)置關(guān)系，即?(v,u)∈V×U，RT(v,u)=R(u,v),吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,40,轉(zhuǎn)置關(guān)系——例,設(shè)U={u1, u

15、2, u3}為三人集合，R表示U上的彼此熟悉關(guān)系，問R的轉(zhuǎn)置關(guān)系RT是什么？,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,41,對稱矩陣的定義,設(shè)R=(rij)∈μm×m,若R=RT，則稱R為對稱矩陣,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,42,是對稱矩陣嗎？,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,43,對稱矩陣?對稱關(guān)系,若R表示從U={u1, u2,…,um}到V ={v1, v2,…,vm}的模糊關(guān)系，并且R(ui, vj)= R(uj, vi)

16、則稱關(guān)系R為對稱關(guān)系若R是U×U上的模糊關(guān)系，則R是對稱關(guān)系?R(u,v)=R(v,u),吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,44,轉(zhuǎn)置關(guān)系的性質(zhì)1,2,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,45,轉(zhuǎn)置關(guān)系的性質(zhì)3,4,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,46,轉(zhuǎn)置關(guān)系的性質(zhì)5,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,47,性質(zhì)5說明什么？,凡是包含R的對稱矩陣都包含R∪RTR∪RT是包含R的最小對稱矩陣R的對稱閉包包含R的對稱矩陣被所有包含R

17、的對稱矩陣所包含R∪RT是R的對稱閉包,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,48,自反關(guān)系,若?(u,u)∈U×U, R(u,u)=1,則稱R為U上的自反關(guān)系自反關(guān)系對應(yīng)的矩陣是自反矩陣,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,49,恒等關(guān)系,若?(u,v)∈U×V,下面等式成立，則稱I為恒等關(guān)系：,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,50,自反關(guān)系與恒等關(guān)系,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,51,3-4 λ截矩陣,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與

18、技術(shù)學(xué)院,52,λ截集?λ截矩陣,模糊集合---- λ截集模糊矩陣---- λ截矩陣,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,53,λ截矩陣的定義,定義：設(shè)給定模糊矩陣R=(rij)m×n，對任意λ ∈[0,1]，稱Rλ=(rij (λ) )為R的λ截矩陣，其中,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,54,λ截矩陣——例,求模糊矩陣R在λ=0.5時的λ截矩陣,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,55,λ截矩陣的性質(zhì)1,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,

19、56,λ截矩陣的性質(zhì)2,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,57,課堂作業(yè)(3-1),,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,58,課堂作業(yè)(3-2),,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,59,課堂作業(yè)(3-3),,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,60,內(nèi)容回顧,普通關(guān)系?模糊關(guān)系有限論域上，布爾矩陣?模糊矩陣模糊關(guān)系（模糊矩陣）的運(yùn)算,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,61,3-5 模糊關(guān)系的合成,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,62,經(jīng)典關(guān)系的合成,X表

20、示人群兄弟關(guān)系Q：X?X，父子關(guān)系R：X?X，叔侄關(guān)系S：X?X問：Q,R,S這三個關(guān)系之間存在著什么關(guān)系？,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,63,叔侄關(guān)系,x,z存在叔侄關(guān)系（x是z的叔叔或伯伯）?？存在一個y，y是x的兄弟，且y是z父親xSz?存在y∈X,使xQy且yRz稱叔侄關(guān)系S是兄弟關(guān)系Q和父子關(guān)系R的合成，記為S=QоR,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,64,關(guān)系合成的定義,設(shè)Q∈P(U×V),R∈P(V&#

21、215;W), S∈P(U×W)若(u,w)∈S?存在v∈V,使(u,v)∈Q且(v,w)∈R，則稱關(guān)系S是由關(guān)系Q與關(guān)系R合成的，記作S=QоR,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,65,合成關(guān)系的表示,關(guān)系Q和關(guān)系R的合成可以表示為若用特征函數(shù)來表示合成關(guān)系， QоR(u,w)=?,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,66,經(jīng)典關(guān)系合成?模糊關(guān)系合成,設(shè)Q∈F(U×V),R∈F(V×W),所謂Q與R的合成，

22、就是從U到W的一個模糊關(guān)系，記作QоR，其隸屬函數(shù)為,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,67,R2=？,若R∈F(U×U),記R2 = RоRRn = Rn-1оR,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,68,模糊關(guān)系的合成——例1,設(shè)R1為X×Y上的模糊關(guān)系,其隸屬函數(shù)滿足 設(shè)R2為Y×Z上的模糊關(guān)系,其隸屬函數(shù)滿足試求R1、 R2的合成。,吉

23、林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,69,例1的答案,把y當(dāng)作變量，把x和z都當(dāng)作常量,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,70,例1的答案,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,71,模糊關(guān)系的合成——例2,設(shè)R為模糊關(guān)系“x遠(yuǎn)大于y”，其隸屬函數(shù)如下，則合成關(guān)系RоR是什么？“x遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y”試問其隸屬函數(shù)是什么？,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,72,例2答案,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,73,例2答案,同例1一樣，首先把y作為變量，x和z均當(dāng)作常

24、量，畫出對應(yīng)的曲線,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,74,例2答案,求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)z*求得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即為合成關(guān)系RоR的隸屬函數(shù),吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,75,模糊關(guān)系合成的矩陣表示,對于有限論域上的模糊關(guān)系，可表示稱模糊矩陣模糊關(guān)系的合成?模糊矩陣的合成,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,76,模糊矩陣合成,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,77,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,78,模糊矩陣的乘積,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院

25、,79,模糊矩陣乘積vs.經(jīng)典矩陣乘積,實(shí)數(shù)相乘“×” ? 實(shí)數(shù)取小“∧”實(shí)數(shù)相加“+” ? 實(shí)數(shù)取大“∨”,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,80,請計(jì)算：計(jì)算RоS,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,81,模糊關(guān)系合成的性質(zhì)1,2,(1)結(jié)合律 (QоR)оS=Qо(RоS)(2) 0-1律 0оR=Rо0=0IоR=RоI=R,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,82,模糊關(guān)系合成的性質(zhì)3,4,(3) Q?R?

26、QоS?RоS Q?R? Qm?Rm(4) 分配律（對∪分配）(Q∪R)оS=(QоS)∪(RоS)Sо(Q∪R) =(SоQ)∪(SоR),吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,83,請計(jì)算,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,84,模糊關(guān)系合成的性質(zhì),合成運(yùn)算的交運(yùn)算的分配律是否成立？(Q∩R)оS=(QоS) ∩(RоS),請思考,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,85,模糊關(guān)系合成的性質(zhì)5,6,(5) (QоR) λ= Q