《信號(hào)與系統(tǒng)》第二章

1、第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析,系統(tǒng)分析討論的主要問(wèn)題是，在給定的激勵(lì)（輸入）作用下，系統(tǒng)將產(chǎn)生什么樣的響應(yīng)（輸出）。為了確定一個(gè)連續(xù)線性時(shí)不變（Linear Time Invariant，LTI）系統(tǒng)對(duì)給定激勵(lì)的響應(yīng)，就要建立描述該系統(tǒng)的微分方程，并求出其給定初始狀態(tài)的解，即完全響應(yīng)。本章所述的分析方法都是在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行，不涉及任何數(shù)學(xué)變換，通常稱為時(shí)域分析，它是學(xué)習(xí)各種變換域方法的基礎(chǔ)。本章討論連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的兩種時(shí)域分析

2、方法，即微分方程法和卷積積分法。,2.1 引言,第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析,2.1 引言,連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性微分方程。因此，本章首先復(fù)習(xí)微分方程經(jīng)典解法，即先求齊次解和特解，再由初始條件求待定系數(shù)。為了理解系統(tǒng)的物理特性，通常將系統(tǒng)的完全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。對(duì)于僅取決于起始狀態(tài)的零輸入響應(yīng)，可通過(guò)求解齊次微分方程得到。零狀態(tài)響應(yīng)的求解則除了用經(jīng)典方法求解外，還可以用卷積方法。沖激響應(yīng)和

3、階躍響應(yīng)是兩種很重要的零狀態(tài)響應(yīng)，它們?cè)谇蠼庀到y(tǒng)響應(yīng)和進(jìn)行系統(tǒng)特性分析、連續(xù)系統(tǒng)的各種變換域分析中都起到了很重要的作用，是本章介紹的重要概念。,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.1 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立,一個(gè)線性連續(xù)LTI系統(tǒng)，可以用下面一般形式的微分方程來(lái)描述。,或者,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.1 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立,根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物理特性列寫(xiě)系

4、統(tǒng)的微分方程。 對(duì)于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程。,元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四端元件互感的初、次級(jí)電壓與電流的關(guān)系等等。,網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系,KCL，KVL。這些內(nèi)容在電路分析中已有介紹，這里介紹一種簡(jiǎn)單方便的算子法列寫(xiě)電路的微分方程。,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.1

5、 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立,用 p 表示微分算子，即有,1/p 表示積分算子，即有,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.1 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立,有了算子，電路微分方程的建立就像代數(shù)方程的建立一樣方便簡(jiǎn)單。如果把 看成電阻、電感、電容的算子阻抗，方程的列寫(xiě)更簡(jiǎn)單。,由此可以得到電阻、電感、電容的算子伏安關(guān)系：,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.1

6、 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立,根據(jù)電路微分算子運(yùn)算模型，列寫(xiě)回路方程，得,例2-2-1：,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.1 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立,象解代數(shù)方程組那樣，使用克萊姆法則解此方程，得,則微分方程可表示為,,代入元件參數(shù)，可得,,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解法,一個(gè)線性系統(tǒng)，其激勵(lì)信號(hào) 與響應(yīng)信號(hào) 之

7、間的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程式來(lái)描述,若系統(tǒng)為時(shí)不變的，則a，b均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的n階線性常微分方程。方程的階次由獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)決定。,微分方程所表示系統(tǒng)的完全解,可表示為,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解法——齊次解,齊次微分方程,特征方程,特征根,齊次解形式：（和特征根有關(guān)）,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.2 連續(xù)LT

8、I系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解法——齊次解,微分方程的齊次解形式,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解法——齊次解,例2-2-2：,求微分方程,的齊次解。,微分方程的特征方程為,,特征根為,，,。因此，微分方程的齊次解為,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解法——齊次解,例2-2-3：,求微分方程,的齊次解。,微分方程的特征方

9、程為,,其特征根為共軛復(fù)根,。因此，微分方程的齊次解為,,,,,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解法——特解,特 解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系 數(shù)的特解函數(shù)式→代入原方程，比較系數(shù) 定出特解。根據(jù)下表可以由微分方程右端函數(shù)假設(shè)特解形式。,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程

10、的經(jīng)典解法——特解,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解法——特解,例2-2-4：,求微分方程,的特解。,已知激勵(lì) ，,不為微分方程的特征根，則,代入系統(tǒng)微分方程，有,已知激勵(lì) ，且,方程的特解形式為,,整理后比較方程兩端，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)相等，從而確定待定系數(shù),,,所以,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方

11、程模型的建立和求解,2.2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解法——完全解,完全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解中的待定系數(shù)。,,,若微分方程的特征根均為單根，則微分方程的完全解形式為,若特征根 均為 重根，而其余 個(gè)根均為單根時(shí)，則微分方程的完全解形式為,,,,,、,由初始條件確定。,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解法——完全解,

12、例2-2-5：,求當(dāng) 、 、 時(shí)的完全解。,已知微分方程,,,,,,微分方程的特征方程為,,得特征根為 、,，,。因此，微分方程的齊次解為,,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解法——完全解,,將代入系統(tǒng)微分方程，得,,整理后比較方程兩端，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)相等

13、，確定待定系數(shù) 。,因此，特解為,,,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解法——完全解,,因此，完全解可表示為,其一階導(dǎo)數(shù)為,,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.3 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),,,【一】零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的概念,【定義一】激勵(lì)為零，即微分方程右端為零，僅由系統(tǒng)起始狀態(tài)引起的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)。解的形式與齊次解相同

14、，待定系數(shù)的確定直接由 條件下的值來(lái)定，因?yàn)檫@時(shí)肯定不存在跳變的問(wèn)題。,,【定義二】系統(tǒng)起始狀態(tài)（ 條件下）為零，僅由輸入或激勵(lì)引起的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)。若直接由微分方程求解，仍要考慮 到 跳變的問(wèn)題，但可由后面介紹的卷積積分法或變換域方法求解。,【一】零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的概念,【說(shuō)明】由LTI系統(tǒng)的疊加定理我們知道，系統(tǒng)的完全響應(yīng)可以由各個(gè)激勵(lì)單獨(dú)作用下的響應(yīng)之疊加得到，并且我

15、們可將系統(tǒng)的起始狀態(tài)看成是一種特殊的激勵(lì)作用。根據(jù)前面零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的概念，系統(tǒng)的完全響應(yīng)為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之疊加。由此我們得到下面重要關(guān)系：其中 為系統(tǒng)的完全響應(yīng) 為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),,【一】零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的概念,【說(shuō)明續(xù)】或者說(shuō)LTI系統(tǒng)的線性性包含下面三個(gè)方面含義：,,?響應(yīng)的可分解性：系統(tǒng)響應(yīng)可分

16、解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，即：,?零輸入線性：當(dāng)激勵(lì)為零時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對(duì)于個(gè)起始狀態(tài)呈線性，稱為零輸入線性。,?零狀態(tài)線性：當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對(duì)于各激勵(lì)信號(hào)呈線性，稱為零狀態(tài)線性。,【二】求解零輸入響應(yīng),,零輸入響應(yīng)求解非常簡(jiǎn)單，首先步驟如下：,?寫(xiě)出系統(tǒng)的特征方程,?求系統(tǒng)的特征根,?寫(xiě)出零輸入響應(yīng)解的形式為齊次解的形式，即,?由 條件定待定系數(shù),【二】求解零輸入響應(yīng),,【零輸入響應(yīng)例題】,?,已知系統(tǒng)

17、微分方程相應(yīng)的齊次方程為,?,?,起始條件為：,起始條件為：,起始條件為：,【二】求解零輸入響應(yīng),,【零輸入相應(yīng)求解? 題】,?系統(tǒng)的特征方程：,?系統(tǒng)的特征根：,?零輸入響應(yīng)的形式：,?由起始條件定待定系數(shù)：,,,【二】求解零輸入響應(yīng),,【零輸入相應(yīng)求解?題】,?特征方程：,?特征根：,?零輸入響應(yīng)的形式：,?由起始條件定待定系數(shù)：,,,【二】求解零輸入響應(yīng),,【零輸入相應(yīng)求解?題】,?特征方程：,?特征根：,?零輸入響應(yīng)的形式：,?

18、由起始條件定待定系數(shù)：,,,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.3 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),,即在,的瞬間,,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.3 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),,例2-2-6：,,首先易得,,,,,所以,求零輸入響應(yīng),2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.3 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),,,零輸入等效電路,,,,,,,其微分方程,,零輸入初始值等效電路

19、,,,,又,,所以,求零輸入響應(yīng),,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.3 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),,將初始條件代入上面兩式，則求出待定系數(shù),,,因此，零輸入響應(yīng)為,,求零輸入響應(yīng),2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.3 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),,求零狀態(tài)響應(yīng),,,,,零狀態(tài)等效電路,,其微分方程,,其中,,,易求得零狀態(tài)響應(yīng)中的特解為常數(shù)6。于是，零狀態(tài)響應(yīng)可表示為,,,2.2

20、連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.3 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),,求零狀態(tài)響應(yīng),,零狀態(tài)初始值等效電路,,又因,,,,所以,,,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.3 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),,求零狀態(tài)響應(yīng),將初始條件代入上面兩式，則求出待定系數(shù),,,,因此，零狀態(tài)響應(yīng)為,完全響應(yīng)為,,2.2 連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.3 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),,2.2 連續(xù)LT

21、I系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解,2.2.3 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),,如果將LTI系統(tǒng)的響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，則可以對(duì)LTI系統(tǒng)的線性性進(jìn)一步有如下理解：（1）響應(yīng)的可分解性：系統(tǒng)的完全響應(yīng)可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)；（2） 零輸入線性性：當(dāng)外加激勵(lì)信號(hào)為零時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對(duì)于各起始狀態(tài)呈線性關(guān)系，稱為零輸入線性；（3）零狀態(tài)線性性：當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對(duì)于各個(gè)外加激勵(lì)信號(hào)呈線性關(guān)系，稱為零狀態(tài)

22、線性。,2.3 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng),2.3.1 沖激響應(yīng),,,系統(tǒng)在單位沖激信號(hào) 作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，一般用h(t)表示。,2.3 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng),2.3.1 沖激響應(yīng),,一般地，若描述一個(gè)連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程式為,根據(jù)定義，為了求沖激響應(yīng)，令 ，則,所以有,2.3 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng),2.3.1 沖激響應(yīng),,為了保證上式的等號(hào)兩

23、端各奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡,2.3 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng),2.3.1 沖激響應(yīng),,設(shè)特征根為簡(jiǎn)單根（無(wú)重根的單根）,②與n, m相對(duì)大小有關(guān),①與特征根有關(guān),2.3 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng),2.3.1 沖激響應(yīng),,例2-3-1：,某線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程為,,試求其沖激響應(yīng),,2.3 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng),2.3.1 沖激響應(yīng),,,,代入系統(tǒng)微分方程兩端并整理，得,,,,,,,,,所以,,2.3 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng),2.3.1

24、 沖激響應(yīng)（總結(jié)）,,沖激響應(yīng)的求解至關(guān)重要。,沖激響應(yīng)的定義零狀態(tài)；單位沖激信號(hào)作用下，系統(tǒng)的響應(yīng)為沖激響應(yīng)。,沖激響應(yīng)說(shuō)明：在時(shí)域，對(duì)于不同系統(tǒng)，零狀態(tài)情況下加同樣的激勵(lì) ，看響應(yīng) ， 不同，說(shuō)明其系統(tǒng)特性不同，沖激響應(yīng)可以衡量系統(tǒng)的特性。,用變換域(拉氏變換)方法求沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)簡(jiǎn)捷方便，但時(shí)域求解方法直觀、物理概念明確。,2.3 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng),2.3.2 階躍響應(yīng),,系統(tǒng)在單位階躍信

25、號(hào) 作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)，簡(jiǎn)稱階躍響應(yīng)，用 表示 。,,,,,2.3 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng),2.3.2 階躍響應(yīng),,,易得求解階躍響應(yīng)的微分方程表達(dá)式,特解為,2.3 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng),2.3.2 階躍響應(yīng),,,例2-3-2：,某線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程為,試求其階躍響應(yīng),2.3 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng),2.3.2 階躍響應(yīng),,,,,代入系統(tǒng)微分方程兩端并整理，得,,,,,所以,,,,

26、2.3 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng),2.3.2 階躍響應(yīng),,,,,,階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系,2.3 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng),2.3.2 階躍響應(yīng),,,例2-3-3：,,,,,易得特解為,,完全解為,,,2.3 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng),2.3.2 階躍響應(yīng),,,,,,可得,,,所以,,,2.4 卷積積分及其應(yīng)用,2.4.1 卷積積分的定義,,,2.4 卷積積分及其應(yīng)用,2.4.2 卷積求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng),,,,,,,,,,,

27、,,即,,2.4 卷積積分及其應(yīng)用,2.4.2 卷積求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng),,,例2-4-1：,某線性時(shí)不變系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為,系統(tǒng)的輸入為,，求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。,,,2.4 卷積積分及其應(yīng)用,2.4.3 卷積運(yùn)算的圖解法,,,2.4 卷積積分及其應(yīng)用,2.4.3 卷積運(yùn)算的圖解法,,,例2-4-2：,,,2.4 卷積積分及其應(yīng)用,2.4.3 卷積運(yùn)算的圖解法,,,兩波形沒(méi)有公共處，二者乘積為0，即積分為0,,2.4

28、 卷積積分及其應(yīng)用,2.4.3 卷積運(yùn)算的圖解法,,,,,2.4 卷積積分及其應(yīng)用,2.4.3 卷積運(yùn)算的圖解法,,,,,,2.4 卷積積分及其應(yīng)用,2.4.3 卷積運(yùn)算的圖解法,,,,,,,2.4 卷積積分及其應(yīng)用,2.4.3 卷積運(yùn)算的圖解法,,,,,,兩波形沒(méi)有公共處，二者乘積為0，即積分為0,,,2.4 卷積積分及其應(yīng)用,2.4.3 卷積運(yùn)算的圖解法,,,,,2.4 卷積積分及其應(yīng)用,2.4.3

29、 卷積運(yùn)算的圖解法,,,積分上下限和卷積結(jié)果區(qū)間的確定,上限取小，下限取大,(1)積分上下限,(2)卷積結(jié)果區(qū)間,2.4 卷積積分及其應(yīng)用,2.4.4 卷積運(yùn)算的性質(zhì)——卷積代數(shù),,,1．交換律,卷積結(jié)果與交換兩函數(shù)的次序無(wú)關(guān)。因?yàn)榈怪?與倒置 積分面積與t無(wú)關(guān)。,一般選簡(jiǎn)單函數(shù)為移動(dòng)函數(shù)。如矩形脈沖或?(t)。,證明：,2.4 卷積積分及其應(yīng)用,2.4.4 卷積運(yùn)算的性質(zhì)——卷積代數(shù),,,2．結(jié)合律,

30、,結(jié)論：時(shí)域中，子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，總的沖激響應(yīng)等于子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。,2.4 卷積積分及其應(yīng)用,2.4.4 卷積運(yùn)算的性質(zhì)——卷積代數(shù),,,,,3．分配律,,結(jié)論：子系統(tǒng)并聯(lián)時(shí)，總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。,2.4 卷積積分及其應(yīng)用,2.4.4 卷積運(yùn)算的性質(zhì)——時(shí)移性質(zhì),,,設(shè),則,2.4 卷積積分及其應(yīng)用,2.4.4 卷積運(yùn)算的性質(zhì)——微分與積分性質(zhì),,,f(t)的積分,積分性質(zhì)：,微分性質(zhì)：,推廣

31、：,,2.4 卷積積分及其應(yīng)用,2.4.4 卷積運(yùn)算的性質(zhì)——微分與積分性質(zhì),,,微分性質(zhì)積分性質(zhì)聯(lián)合使用,對(duì)于卷積很方便，特別是下面這個(gè)公式。,微分n次，積分m次,m=n, 微分次數(shù)＝積分次數(shù),,2.4 卷積積分及其應(yīng)用,2.4.4 卷積運(yùn)算的性質(zhì)——與沖激信號(hào)的卷積,,,,推廣：,2.4 卷積積分及其應(yīng)用,2.4.4 卷積運(yùn)算的性質(zhì),,,,例2-4-3：,,2.4 卷積積分及其應(yīng)用,2.4.4 卷積運(yùn)算的性質(zhì)