電磁學(xué)第1章 1

1、,電磁場,,,,,,,二、場的基本概念,1.什么是場？ 重力場、溫度場、電磁場、…… a.從數(shù)學(xué)角度：場是給定區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)數(shù)值的集合，這些數(shù)值規(guī)定了該區(qū)域內(nèi)一個特定量的特性。 比如：T 是溫度場中的物理量，T 就是溫度場 b.從物理角度：場是遍及一個被界定的或無限擴(kuò)展的空間內(nèi)的，能夠產(chǎn)生某種物理效應(yīng)的特殊的物質(zhì)，場是具有能量的。,2.場的分類 a.

2、按物理量的性質(zhì)分： 標(biāo)量場：描述場的物理量是標(biāo)量。 矢量場：描述場的物理量是矢量。 b. 按場量與時間的關(guān)系分： 靜態(tài)場：場量不隨時間發(fā)生變化的場。 動態(tài)場：場量隨時間的變化而變化的場。 動態(tài)場也稱為時變場。,第1章 矢量分析,一、矢量和標(biāo)量的定義,二、矢量的運(yùn)算法則,三、矢量微分元：線元，面元，體元,

3、四、標(biāo)量場的梯度,六、矢量場的旋度,五、矢量場的散度,七、重要的場論公式,一、矢量和標(biāo)量的定義,1.標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量。,矢量表示為：,所以：一個矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。,其中： 為矢量的模，表示該矢量的大小。 為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1。,2.矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。,如:力 、速度 、電場 等,如：溫度 T、長度 L 等,,例1：

4、在直角坐標(biāo)系中， x 方向的大小為 6 的矢量如何表示？,圖示法：,,,,,,,,,力的圖示法：,二、矢量的運(yùn)算法則,1.加法: 矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四邊形規(guī)則。,a.滿足交換律：,b.滿足結(jié)合律：,,,,,,,,,,,,,,三個方向的單位矢量用 表示。,根據(jù)矢量加法運(yùn)算：,所以：,,,,,,在直角坐標(biāo)系下的矢量表示:,,,,,其中：,矢量：,?模的計算：,?單位矢量：,?方向角與方向余弦：,在

5、直角坐標(biāo)系中三個矢量加法運(yùn)算：,,,,2.減法：換成加法運(yùn)算,,,,,,逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互為逆矢量。,,,,,,,,,,,,,在直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算：,3.乘法：,（1）標(biāo)量與矢量的乘積：,（2）矢量與矢量乘積分兩種定義,a. 標(biāo)量積（點(diǎn)積）：,,,,,,在直角坐標(biāo)系中，已知三個坐標(biāo)軸是相互正交的，即,有兩矢量點(diǎn)積：,結(jié)論: 兩矢量點(diǎn)積等于對應(yīng)分量的乘積之和。,推論1：滿足交換律,推論2：滿足分

6、配律,推論3：當(dāng)兩個非零矢量點(diǎn)積為零,則這兩個矢量必正交。,推論1：不服從交換律：,推論2：服從分配律：,推論3：不服從結(jié)合律：,推論4：當(dāng)兩個非零矢量叉積為零，則這兩個矢量必平行。,b.矢量積（叉積）：,含義： 兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個矢量組成的平行四邊形的面積，方向為該面的法線方向，且三者符合右手螺旋法則。,在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：,兩矢量的叉積又可表示為：,（3）三重積：,三個矢量相乘有

7、以下幾種形式：,矢量，標(biāo)量與矢量相乘。,標(biāo)量，標(biāo)量三重積。,矢量，矢量三重積。,a. 標(biāo)量三重積,法則：在矢量運(yùn)算中,先算叉積,后算點(diǎn)積。,定義：,,含義： 標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積 。,注意：先后輪換次序。,推論：三個非零矢量共面的條件。,在直角坐標(biāo)系中：,b.矢量三重積：,例2：,解：,則：,設(shè),,,例3： 已知,求：確定垂直于 、 所在平面的單位矢量。,,,,,三、矢量微分元：線元、面元、

8、體元,例：,其中： 和 稱為微分元。,1. 直角坐標(biāo)系,空間任一點(diǎn)是三個坐標(biāo)面的交點(diǎn)：,線元：,面元：,體元：,2. 圓柱坐標(biāo)系,圓柱坐標(biāo)系,空間任一點(diǎn) 是如下三個坐標(biāo)面的交點(diǎn)： 的圓柱面 、包含z軸并與xz平面構(gòu)成夾角為 的半平面、 的平面。,2. 圓柱坐標(biāo)系,在圓柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，如圖，做一微分體

9、元。,線元：,面元：,體元：,3. 球坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系,空間任一點(diǎn) 是如下三個坐標(biāo)面的交點(diǎn)：球心在原點(diǎn)、半徑 的球面；頂點(diǎn)在原點(diǎn)、軸線與z軸重合且半頂角 的正圓錐面；包含z軸并與xz平面構(gòu)成夾角為 半平面。,線元：,面元：,體元：,球坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元,,,,,,,,,,,,,四、標(biāo)量場的梯度,1. 標(biāo)量場的等值面,可以看出：標(biāo)量場的函數(shù)是

10、單值函數(shù)，各等值面是互不 相交的。,以溫度場為例：,,,熱源,等溫面,,,,,b.梯度,定義：標(biāo)量場中某點(diǎn)梯度的大小為該點(diǎn)最大的方向?qū)?shù)， 其方向為該點(diǎn)所在等值面的法線方向。,數(shù)學(xué)表達(dá)式：,2. 標(biāo)量場的梯度,a.方向?qū)?shù)：,空間變化率，稱為方向?qū)?shù)。,為最大的方向?qū)?shù)。,標(biāo)量場的場函數(shù)為,計算：,在直角坐標(biāo)系中：,所以：,梯度也可表示：,在柱坐標(biāo)系中：,在球坐標(biāo)系中：,在任意正交曲線坐

11、標(biāo)系中：,在不同的坐標(biāo)系中，梯度的計算公式：,在直角坐標(biāo)系中：,五、矢量場的散度,1. 矢線（場線）：,在矢量場中，若一條曲線上每一點(diǎn)的切線方向與場矢量在該點(diǎn)的方向重合，則該曲線稱為矢線。,2. 通量：,定義：如果在該矢量場中取一曲面S， 通過該曲面的矢線量稱為通量。,表達(dá)式：,若曲面為閉合曲面：,,,,,,討論：,a. 如果閉合曲面上的總通量,說明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量，意味著閉合面內(nèi)存在正的通量源。,b

12、. 如果閉合曲面上的總通量,說明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢線在曲面內(nèi)終止了，意味著閉合面內(nèi)存在負(fù)源或稱溝。,c. 如果閉合曲面上的總通量,說明穿入的通量等于穿出的通量。,3. 散度：,a.定義：矢量場中某點(diǎn)的通量密度稱為該點(diǎn)的散度。,b.表達(dá)式：,c.散度的計算：,在直角坐標(biāo)系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個平面組成。,矢量場 表示為：,因為：,則：,在 x 方向上的總通量：,在 z 方向上,穿過 和

13、 面的總通量：,整個封閉曲面的總通量：,同理：在 y方向上,穿過 和 面的總通量：,該閉合曲面所包圍的體積：,通常散度表示為：,4.散度定理：,物理含義：穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分。,,散度定理是德國數(shù)學(xué)家高斯從純數(shù)學(xué)觀點(diǎn)導(dǎo)出的有關(guān)源發(fā)散的一個基本定理，又稱為高斯定理。對散度定理可證明如下：設(shè)將體積 分割成 N個體積元， 表示第 i個體積元,右邊表示在各微分體積元的表面上的面積分的代數(shù)和。因相鄰體積元

14、公共表面上的面元方向總是相反的，所以在累加過程中，相互抵消，最終僅剩下包圍體積 的外表面 上的面積分。,,,柱坐標(biāo)系中：,球坐標(biāo)系中：,正交曲線坐標(biāo)系中：,直角坐標(biāo)系中：,常用坐標(biāo)系中，散度的計算公式,,,六、矢量場的旋度,1. 環(huán)量：,在矢量場中，任意取一閉合曲線 ，將矢量沿該曲線積分稱之為環(huán)量。,可見：環(huán)量的大小與環(huán)面的方向有關(guān)。,,環(huán)量密度：環(huán)量是描述向量場的重要參數(shù)。某個區(qū)域中的環(huán)量不等于零，說明這個區(qū)域中的向量場表現(xiàn)出環(huán)繞某一

15、點(diǎn)或某一區(qū)域旋轉(zhuǎn)的特性。旋度則是局部地描述這一特性的方法。為了描述一個向量場在一點(diǎn)附近的環(huán)量，將閉合曲線收小，使它包圍的面元 的面積趨于零。向量場沿著 的環(huán)量和面元的比值在趨于零時候的極限值：就是的環(huán)量密度（或稱為環(huán)量強(qiáng)度） 。,定義：一矢量其大小等于某點(diǎn)最大環(huán)量密度，方向為該環(huán)量密度的法線方向，那么該矢量稱為該點(diǎn)矢量場的旋度。,表達(dá)式：,2. 旋度:,旋度計算：,以直角坐標(biāo)系為例，一旋度矢量可表示為：,場矢量：,其中：

16、 為x 方向的環(huán)量密度。,,,旋度可用符號表示：,其中：,可得：,同理：,所以：,,旋度公式：,為了便于記憶，將旋度的計算公式寫成下列形式:,,類似地，可以推導(dǎo)出在廣義正交坐標(biāo)系中旋度的計算公式：,對于柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)，已知其拉梅系數(shù)，代入公式即可寫出旋度的計算公式。,,,3. 斯托克斯定理：,物理含義： 一個矢量場旋度的面積分等于該矢量沿此曲面周界的曲線積分。,,,,,七、重要的場論公式,1. 兩個零恒等式,任何標(biāo)量