應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)-(5) (1)

1、方差分析,1,方差分析,方差分析,2,方差分析簡(jiǎn)述,方差分析是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的一種，由英國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家：R.A.FISHER提出，也叫F檢驗(yàn)。 方差分析是將試驗(yàn)數(shù)據(jù)中存在的總的方差進(jìn)行分解，分析各部分對(duì)方差的貢獻(xiàn)。事實(shí)上，回歸分析也是建立在方差分析的基礎(chǔ)之上的。,方差分析,3,與一般統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)不同：方差分析用于檢驗(yàn)“多個(gè)正態(tài)總體的均值是否有顯著差異”。與回歸分析的比較：回歸分析能得到回歸函數(shù)，可進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制；但要求各因子必須數(shù)量化，

2、需要足夠多的試驗(yàn)次數(shù)。方差分析只能判斷各因子影響的顯著性；但不要求因子必須量化，可以是因子屬性等，需要的試驗(yàn)次數(shù)較少。,指標(biāo)：試驗(yàn)所要考察的結(jié)果。因子：試驗(yàn)中變化的因素，用A, B, C,…表示。水平：因子在試驗(yàn)中所處的不同狀態(tài)，如： A1,…,Ap,方差分析的幾個(gè)概念,單因子試驗(yàn)：在一項(xiàng)試驗(yàn)中，只有一個(gè)因子變化，其它因子保持不變。,方差分析,5,例1.1 不同電流強(qiáng)度下電解銅的雜質(zhì)率,,,方差分析,6,問題：判

3、斷電流強(qiáng)度對(duì)電解銅的雜質(zhì)率是否有顯著影響，即對(duì)于四個(gè)方差相同的正態(tài)總體，判斷其均值是否相同：H0: μ1=μ2=μ3=μ4,假設(shè)：(1) 各樣本來自正態(tài)分布(2) 各樣本是相互獨(dú)立的隨機(jī)樣本(3) 各樣本方差相等，即方差齊性，即,方差分析的基本思想：求出組間離差平方和與組內(nèi)離差平方和之比F, F越大，說明因子的影響越顯著；反之說明因子的影響不顯著。,主要符號(hào)及含義：,組內(nèi)離差平方和（誤差平方和）,組間離差平方和，因子水平不同產(chǎn)生

4、的結(jié)果差異,總離差平方和,§1 單因子試驗(yàn)方差分析（等重復(fù)試驗(yàn)）,1、問題的描述：,因子A的水平：A1, …,Ap,水平Aj下的總體：,在水平Aj下取大小為r的樣本：X1j,…,Xrj ，p個(gè)樣本相互獨(dú)立。即,假設(shè)檢驗(yàn)：H0: μ1=…=μp,,假設(shè)檢驗(yàn)：H0: δ1=…=δp,水平Aj的效應(yīng) 描述了μj對(duì)總平均μ所作的貢獻(xiàn),,2、單因子試驗(yàn)方差分析的理論依據(jù),(1) 符號(hào)及含義,方差分析,12,(2) Coc

5、hran分解定理 設(shè)X1,…,Xn 是n 個(gè)相互獨(dú)立的 N(0,1) 變量，Qj 是某些X1,…,Xn 線性組合的平方和，其自由度為fj, j=1,…,k, 如果 Q1+…+Qk~χ2(n), f1+…+fk=n, 則Qj~ χ2(fj), 且Q1，…, Qk相互獨(dú)立。,自由度的確定,方差分析,13,方差分析,14,(3) 統(tǒng)計(jì)量F的構(gòu)造,平方和分解公式: ST=SE+SA,統(tǒng)計(jì)量的分布,當(dāng)H0成立時(shí)，

6、 。（第一章，TH3.8）,由柯赫倫定理知，當(dāng)H0成立時(shí),當(dāng)H0成立時(shí)，,方差分析,15,3、方差分析表,,,,,,,,常用公式,3、單因子方差分析中的參數(shù)估計(jì),1、δj的估計(jì)：拒絕H0時(shí)，,3、兩個(gè)總體均值差μj-μk的區(qū)間估計(jì),例1.2 某化工廠在用鋇泥制取硝酸鋇試驗(yàn)中，考慮到溶鋇的溶出率隨酸度的增大而提高，今將酸度從PH=4降至PH=1，每次都作四次試驗(yàn)，測(cè)得廢水中硝酸鋇的含量如下表，問溶鋇

7、酸度對(duì)水中硝酸鋇的含量是否有顯著影響？,§2 雙因子試驗(yàn)方差分析,1、引例: 設(shè)兩個(gè)因子A、B各有2 個(gè)不同的水平，分別記作A1, A2 和B1, B2，對(duì)每種水平搭配 ( Ai, Bj ) 進(jìn)行了充分多次獨(dú)立試驗(yàn)，其平均結(jié)果（可作為理論值μij）見下表：,μij=μ+αi+βj, α1+α2=0, β1+β2=0,,無交互作用,Xij=μij+εij=μ+αi+βj+ εij,,一次試驗(yàn)數(shù)據(jù)模型,2、基本模型,因子A有p

8、個(gè)不同的水平：A1, …,Ap，因子B有q 個(gè)不同的水平：B1, …,Bq，對(duì)每種水平搭配 ( Ai, Bj ) 進(jìn)行一次獨(dú)立試驗(yàn)，得 Xij ，i=1,…,p, j=1,…,q,,,,,,,,,,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)分析,,因子A的水平效應(yīng):,,因子B的水平效應(yīng):,,,則有:,,,方差分析,22,3、雙因子方差檢驗(yàn)的檢驗(yàn)過程,檢驗(yàn)假設(shè) 判斷因子A影響是否顯著的檢驗(yàn)假設(shè)： H01: α1=…=αp=0 判斷因子B影響

9、是否顯著的檢驗(yàn)假設(shè)： H02: β1=…=βq=0,(2) 基本思想：將總離差平方和分解為因子A引起的離差平方和、因子B引起的離差平方和與試驗(yàn)的隨機(jī)誤差平方和之和，分析各部分所占的比重。,方差分析,23,方差分析,24,(3) 統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造,方差分析,25,(4) 方差分析表,,,,,,,,方差分析,26,(5) 常用公式,方差分析,27,(6) 參數(shù)估計(jì),方差分析,28,例題 為研究如何改善埋在地下的鋼管的抗腐蝕性, 將兩

10、種不同的鋼管在不同的土質(zhì)中埋了八年, 挖出后測(cè)得其被腐蝕掉的重量. 試問:不同土質(zhì)對(duì)鋼管腐蝕的差別是否顯著? 不同類型的鋼管腐蝕的差別是否顯著?,方差分析,29,§3 有交互作用的雙因子試驗(yàn)方差分析,一、交互作用及其在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的體現(xiàn),設(shè)因子A、B各有2 個(gè)水平A1, A2 和B1, B2，對(duì)每種水平搭配 ( Ai, Bj ) 進(jìn)行了充分多次獨(dú)立試驗(yàn)，其平均結(jié)果作為理論值μij列入下表：,Μij≠μ+αi+βj，即試驗(yàn)結(jié)果

11、不是各因子效應(yīng)的簡(jiǎn)單疊加。,方差分析,31,各因子不同水平的搭配所產(chǎn)生的新的影響叫做交互作用,有交互作用下的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：,方差分析,32,二、有交互作用的雙因子試驗(yàn)方差分 析的一般方法,1、假設(shè)及數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：設(shè)因子A有p 個(gè)不同的水平：A1, …,Ap，因子B有q 個(gè)不同的水平：B1, …,Bq，對(duì)每種水平搭配 ( Ai, Bj ) 進(jìn)行 r 次獨(dú)立試驗(yàn)。假設(shè)試驗(yàn)觀測(cè)值 Xijk ~ N(μij, σ2)，i=1,…,p, j