大學數(shù)學解析幾何

1、緒 論Introduction,《解析幾何》,“解析幾何”又名“坐標幾何”,是幾何學的一個分支。,解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究幾何問題，它的基本方法是坐標法。即通過坐標把幾何問題表示成代數(shù)形式，然后通過代數(shù)方程來表示和研究曲線。,它包括“平面解析幾何”和“空間解析幾何”兩部分。 前一部分除研究直線的有關性質外，主要研究圓錐曲線（橢圓、拋物線、雙曲線）的有關性質。后一部分除研究平面、直線的有關性質外，主要研究

2、二次曲面（橢球面、拋物面、雙曲面等）的有關性質。,緒論 (Introduction),一、解析幾何發(fā)展簡史,二、本課程的主要內容及基本要求,三、主要參考書,四、學習要求,五、考核方式及成績評定,緒論 (Introduction),一、解析幾何發(fā)展簡史,1、解析幾何產生的實際背景和數(shù)學條件,2、解析幾何的創(chuàng)立,3、解析幾何創(chuàng)立的意義,4、解析幾何的發(fā)展和完善,5、解析幾何的進一步發(fā)展,解析幾何的實際背景更多的是來自對變量數(shù)學的需求。,1．

3、解析幾何產生的實際背景和數(shù)學條件,解析幾何產生數(shù)學自身的條件：一、幾何學已出現(xiàn)解決問題的乏力狀態(tài)；,二、代數(shù)已成熟到能足以有效地解決幾何問題的程度.,解析幾何的實際背景更多的是來自對變量數(shù)學的需求。從16世紀開始，歐洲資本主義逐漸發(fā)展起來，進入了一個生產迅速發(fā)展，思想普遍活躍的時代。生產實踐積累了大量的新經驗，并提出了大量的新問題?？墒牵瑢τ跈C械、建筑、水利、航海、造船、顯微鏡和火器制造等領域的許多數(shù)學問題，已有的常量數(shù)學已無能為力，

4、人們迫切地尋求解決變量問題的新數(shù)學方法。,解析幾何產生的實際背景,解析幾何產生前的幾何學,特點：靜態(tài)的幾何, 既不把曲線看成是一種動點的軌跡,更沒有給它以一般的表示方法.,平面幾何，立體幾何（歐幾里得的《幾何原本》）,圓錐曲線論（阿波羅尼斯的《圓錐曲線論》）,解析幾何產生的數(shù)學條件(一),16世紀以后,哥白尼提出日心說，伽利略得出慣性定律和自由落體定律，這些都向幾何學提出了用運動的觀點來認識和處理圓錐曲線及其他幾何曲線的課題．幾何學必須

5、從觀點到方法來一個變革，創(chuàng)立起一種建立在運動觀點上的幾何學．,幾何學出現(xiàn)解決問題的乏力狀態(tài),解析幾何產生的數(shù)學條件(二),16世紀代數(shù)的發(fā)展恰好為解析幾何的誕生創(chuàng)造了條件．,1591年法國數(shù)學家韋達第一個在代數(shù)中有意識地系統(tǒng)地使用了字母，他不僅用字母表示未知數(shù),而且用以表示已知數(shù)，包括方程中的系數(shù)和常數(shù)．這樣，代數(shù)就從一門以分別解決各種特殊問題的側重于計算的數(shù)學分支，成為一門以研究一般類型的形式和方程的學問．這就為幾何曲線建立代數(shù)方程鋪

6、平了道路．代數(shù)的符號化，使坐標概念的引進成為可能，從而可建立一般的曲線方程，發(fā)揮其具有普遍性的方法的作用．,Back,17世紀前半葉，解析幾何創(chuàng)立，其中法國數(shù)學家笛卡爾（Descartes，1596-1650)和費爾瑪（fermat，1601-1665）作出了最重要的貢獻，成為解析幾何學的創(chuàng)立者。,2．解析幾何的創(chuàng)立,1637年，笛卡爾發(fā)表哲學著作《更好地指導和尋求真理的方法論》（簡稱《方法論》），《幾何學》作為其附錄之一發(fā)表.,笛卡爾

7、的解析幾何有兩個基本思想：（１）用有序數(shù)對表示點的坐標；（２）把互相關聯(lián)的兩個未知數(shù)的代數(shù)方程，看成平面上的一條曲線。,2．解析幾何的創(chuàng)立,笛卡爾的《幾何》雖然不像現(xiàn)在的解析幾何那樣，給讀者展現(xiàn)出一個從建立坐標系和方程到研究方程的循序過程，但是他通過具體的實例，確定表達了他的新思想和新方法．這種思想和方法盡管在形式上沒有現(xiàn)在的解析幾何那樣完整，但是在本質上它卻是地道的解析幾何．,早在笛卡爾的《幾何學》發(fā)表以前，費爾瑪已經用解析幾何

8、的方法對阿波羅尼斯某些失傳的關于軌跡的證明作出補充．,費爾瑪是一位業(yè)余數(shù)學家，但他的數(shù)學成就在17世紀數(shù)學史上非常突出，為微積分、概率論和數(shù)論的創(chuàng)立和發(fā)展都作出了最重要的貢獻。,他通過引進坐標，以一種統(tǒng)一的方式把幾何問題翻譯為代數(shù)的語言——方程，從而通過對方程的研究來揭示圖形的幾何性質．,費爾瑪所用的坐標系與現(xiàn)在常用的直角坐標系不同，它是斜坐標，而且也沒有y 軸．,2．解析幾何的創(chuàng)立,Back,解析幾何溝通了數(shù)學內數(shù)與形、代數(shù)與幾何等最

9、基本對象之間的聯(lián)系，從此，代數(shù)與幾何這兩門學科互相吸取營養(yǎng)而得到迅速發(fā)展，并結合產生出許多新的學科，近代數(shù)學便很快發(fā)展起來了。,3．解析幾何創(chuàng)立的意義,恩格斯高度評價了笛卡爾的革新思想。他說：“數(shù)學中的轉折點是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學；有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了?！?Back,笛卡爾和費馬創(chuàng)立解析幾何，在數(shù)學史上具有劃時代的意義。,牛頓對二次和三次曲線理論進行了系統(tǒng)的研究，特別是，

10、得到了關于“直徑”的一般理論。,歐拉討論了坐標軸的平移和旋轉，對平面曲線作了分類。,拉格朗日把力、速度、加速度“算術化”，發(fā)展成“向量”的概念，成為解析幾何的重要工具。,18世紀的前半期，克雷洛和拉蓋爾將平面解析幾何推廣到空間，建立了空間解析幾何。,4．解析幾何的發(fā)展和完善,Back,解析幾何已經發(fā)展得相當完備，但這并不意味著解析幾何的活力已結束。經典的解析幾何在向近代數(shù)學的多個方向延伸。例如：,n 維空間的解析幾何學，無窮維空間的解析

11、幾何（希爾伯特空間幾何學）,20世紀以來迅速發(fā)展起來的兩個新的寬廣的數(shù)學分支——泛函分析和代數(shù)幾何，也都是古典解析幾何的直接延續(xù)。,微分幾何的內容在很大程度上吸收了解析幾何的成果。,5．解析幾何的進一步發(fā)展,關于解析幾何產生的歷史，可以查閱數(shù)學史方面的書，例如李文林的《數(shù)學史概論》（高等教育出版社），或上網查閱查關的內容，網址： www.0-100.com.cn/2/22/07/0641.htm,

12、Back,,本課程在中學平面向量和平面解析幾何的基礎上，進一步學習空間向量和空間解析幾何。主要內容有：　　　　第一章　向量與坐標　　第二章　軌跡與方程　　第三章　平面與空間直線　　第四章　柱面、錐面、旋轉曲面與二次曲面　　第五章　二次曲線的一般理論,在本課程中，向量這一有力工具得到充分的利用。,二、本課程的主要內容及基本要求,解析幾何是高等師范院校數(shù)學專業(yè)一門必修的基礎課.通過本課程的學習達到以下基本要求：掌握解析幾何的基

13、本知識和基本理論，善于運用坐標和向量為工具，把幾何問題轉化為代數(shù)方程以達到解決幾何問題的目的.培養(yǎng)用形數(shù)結合的方法來解決問題的能力；熟練地掌握一些幾何圖形的性質及其標準方程，熟練地進行某些幾何量的計算；會描繪一些常見的空間曲線和曲面的圖形，進一步提高空間想象能力。,二、本課程的主要內容及基本要求,Back,1.宋衛(wèi)東.解析幾何.北京：高等教育出版社，2003.72.楊文茂， 李全英編著.空間解析幾何.武漢：武漢大學出版社

14、，2003 3.朱鼎勛，陳紹菱.空間解析幾何學.北京:北京師范大學出版社，19844.陳鶚.解析幾何講義.北京:高等教育出版社，19835.朱德祥，朱紙宗.新編解析幾何學.重慶:西南師范大學出版社，19896.南開大學數(shù)學系編.空間解析幾何引論.北京:人民教育出版社，19787.方德植.解析幾何.北京:高等教育出版社，1986,三、主要參考書,Back,１、課前預習.,２、課上認真聽講，積極思考，記好筆記.,３、課后及時復習，

15、獨立認真地完成作業(yè).,４、課外適當閱讀課外參考書，拓寬知識面，加深對課本內容的理解.,四、學習要求,Back,總評成績＝平時成績×30%　　　　　+期末考試成績70%,考核方式：閉卷考試,五、考核方式及成績評定,向量與坐標vector and coordinate,《解析幾何》 －Chapter 1,Contents,§1　向量的概念,《解析幾何》 －Chapter 1,一、向量的概念,二、幾種特殊的

16、向量,Contents,定義1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量，或稱矢量，簡稱矢.,數(shù)量(標量)是在規(guī)定單位下,可用一個數(shù)值來描述的量.,2.數(shù)量(標量),1.向量,一、向量的概念,3.向量的幾何表示,4.向量的模,,有向線段的長度表示向量的大小，,有向線段的方向表示向量的方向.,用有向線段表示向量，有向線段的始點與終點分別叫做向量 的 始點與終點.,向量的大小叫做向量的模，也稱向量的長度.記做 .,Back,注：向量

17、之間不可比較大小,但是它們的模可以比較大小.,一、向量的概念,單位向量就是模為1的向量.,2.零向量,1.單位向量,（單位向量不惟一）,3.相等向量,模為0的向量叫做零向量.記做 .它是起點和終點重合的向量.,定義1.1.2 如果兩個向量的模相等且方向相同，那么叫做相等向量,所有的零向量都相等.向量 與 相等，記為 .,二、幾種特殊的向量,4.自由向量,兩個向量是否相等與它們的始點無關，只由它們的模和方向決定，,自由向量可

18、以任意平行移動，移動后的向量仍然代表原來的向量.,定義1.1.3 兩個模相等，方向相反的向量叫做互為反向量.,,,5.相反向量,的反向量記為,與 互為反向量,我們以后討論的向量均為自由向量.,這種始點可以任意選取，只由模和方向決定的向量，稱為自由向量.,二、幾種特殊的向量,定義1.1.4 平行于同一直線的一組向量叫做共線向量.零向量與任何共線的向量組共線.,定義1.1.5 平行于同一平面的一組向量叫做共面向量.零向量與任何共

19、面的向量組共面.,6.共線向量,7.共面向量,注：1.一組共線向量未必在一條直線上； 一組共面向量也未必在一個平面上.,2.一組共線向量一定是共面向量.,3.兩個向量一定是共面向量.,二、幾種特殊的向量,1.向量,4.自由向量,6.共線向量,7.共面向量,1.單位向量,5.相反向量,2.零向量,3.相等向量,4.向量的模,2.數(shù)量,3.向量的大小 向量的方向,一、向量的概念,二、幾種特殊的向量,,,1.1向量的概念(小結