初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽系列講座(8)　解一次方程（組）與一次不等式（組）

1、初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽系列講座(8)解一次方程（組）與一次不等式（組）一、知識(shí)要點(diǎn)1、一元一次方程方程中或者不含分母，或者分母中不含未知數(shù)，將它們經(jīng)過(guò)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等變形后，能化為最簡(jiǎn)形式ax=b(a≠0)，它只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，系數(shù)不等于0，我們把這一類方程叫做一元一次方程。解一元一次方程的一般步驟是：分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化成1。2、方程ax=b(a、b為常數(shù))的解的情形當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax

2、=b有唯一解abx?當(dāng)a=0，b=0時(shí)，方程ax=b有無(wú)數(shù)多個(gè)解，即方程的解為任何有理數(shù)。當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，方程ax=b無(wú)解。3、一次方程組解一次方程組的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加減消元法”4、不定方程不定方程(組)是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)的方程(組)。它的解往往有無(wú)窮多個(gè)，不能唯一確定，對(duì)于不定方程(組)，我們常常限定只求整數(shù)解或正整數(shù)解。定理：若整系數(shù)不定方程axby=c(a、b互質(zhì))有一組整數(shù)解為x0

3、，y0，則此方程的全部整數(shù)解可表示為：???????)k(00為任意整數(shù)這里kayykbxx5、一次不等式（組）只含一個(gè)未知數(shù)，而且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式稱為一元一次不等式，它的一般形式是axb或axb，那么bb，bc，那么ac(3)平移性如果ab，那么acbc(4)伸縮性如果ab，c0，那么acbc如果ab，c0，那么acbc不等式的同解原理1：不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得的不等式與原不等式是同解不等式

4、。不等式的同解原理2：不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù)，所得的不等式與原不等式是同解不等式。不等式的同解原理3：不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，并把不等號(hào)改變方向后，所得的不等式與原不等式是同解不等式。二、例題精講例1解方程????????1211213113???????xxxx(1)(4)得13x=4，則x=134(2)(4)得13y=8，則y=138(3)(4)得13z=14，則z=1314所以原方程組的解為????

5、????????1314138134zyx評(píng)注：解方程組時(shí)，應(yīng)對(duì)方程組的整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，從整體上把握解題方向。例4已知關(guān)于x，y的二元一次方程(a1)x(a2)y52a=0，當(dāng)a每取一個(gè)值時(shí)就有一個(gè)方程，而這些方程有一個(gè)公共解。你能求出這個(gè)公共解，并證明對(duì)任何a值它都能使方程成立嗎？分析1：將已知方程按a整理得(xy2)a=x2y5，要使這些方程有一個(gè)公共解，說(shuō)明這個(gè)解與a的取值無(wú)關(guān)，所以只須a的系數(shù)xy2=0即可。解法1：將方程按a

6、整理得：(xy2)a=x2y5，∵這個(gè)關(guān)于a的方程有無(wú)窮多個(gè)解，所以有???????????????1305202yxyxyx，解得由于x、y的值與a的取值無(wú)關(guān)，所以對(duì)于任何的a值，方程組有公共解??????13yx分析2：分別取a=1和2得方程3y3=0和3x9=0，因a取不同的值，所得方程有一個(gè)公共解，所以這個(gè)公共解就是方程組的解。????????093033xy解法2：令a=1，得：3y3=0令a=2，得：3x9=0解方程組得??

7、????13yx，則就是所求的公共解。????????093033xy??????13yx將x=3，y=1代入(a1)x(a2)y52a=0得：3(a1)(a2)52a=0整理得0?a=0，說(shuō)明無(wú)論a取什么值，方程總是成立。評(píng)注：本題兩種解法，第一種是將已知方程整理成關(guān)于a的形式，通過(guò)解與a無(wú)關(guān)，得出關(guān)于x、y的方程組，從而求出公共解。第二種是先探求公共解，再證明這個(gè)解與a無(wú)關(guān)。這兩種解法的思路正好相反。例5求不定方程4xy=3xy的一