第4講--利用軸對(duì)稱破解最短路徑問(wèn)題

1、第一章第一章平移、對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)平移、對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)第4講利用軸對(duì)稱破解最短路徑問(wèn)題一、學(xué)習(xí)目標(biāo)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解“直線上同一側(cè)兩點(diǎn)與此直線上一動(dòng)點(diǎn)距離和最小”問(wèn)題通過(guò)軸對(duì)稱的性質(zhì)與作圖轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題求解。2.能將實(shí)際問(wèn)題或幾何問(wèn)題（對(duì)稱背景圖）中有關(guān)最短路徑（線段之差最大值）問(wèn)題借助軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，線段最短問(wèn)題分析與求解。二、基礎(chǔ)知識(shí)二、基礎(chǔ)知識(shí)輕松學(xué)輕松學(xué)與軸對(duì)稱有關(guān)的最短路徑問(wèn)題與軸對(duì)稱有關(guān)的最短路徑問(wèn)題關(guān)于最短

2、距離，我們有下面幾個(gè)相應(yīng)的結(jié)論：（1）在連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短（兩點(diǎn)之間，線段最短）；（2）三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（3）在三角形中，大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊。（4）垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；【精講精講】一般說(shuō)來(lái)，線段和最短的問(wèn)題，往往把幾條線段連接成一條線段，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”或者“三角形兩邊之和大于第三邊”加以證明，關(guān)鍵是找相關(guān)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”。另外，在平移線段的時(shí)

3、候，一般要用到平行四邊形的判定和性質(zhì)。（判定：如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形；性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等。）三、重難疑點(diǎn)三、重難疑點(diǎn)輕松破輕松破最短路徑問(wèn)題最短路徑問(wèn)題在平面圖形中要解決最短路徑問(wèn)題，自然離不開(kāi)構(gòu)建與轉(zhuǎn)化“兩點(diǎn)之間，線段最短”的數(shù)學(xué)公理，通常將涉及到的兩點(diǎn)中的任一點(diǎn)作出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，從而運(yùn)用兩點(diǎn)之間，線段最短解決實(shí)際問(wèn)題在日常生活、工作中，經(jīng)常會(huì)遇到有關(guān)行程路線的問(wèn)題?！白疃搪窂絾?wèn)題”

4、的原型來(lái)自于“飲馬問(wèn)題”、“造橋選址問(wèn)題”，出題通常以直線、角、等腰（邊）三角形、長(zhǎng)方形、正方形、坐標(biāo)軸等對(duì)稱圖形為背景。（1）“一線同側(cè)兩點(diǎn)一線同側(cè)兩點(diǎn)”問(wèn)題問(wèn)題例1如圖，點(diǎn)A、B在直線m的同側(cè)，點(diǎn)B′是點(diǎn)B關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)，AB′交m于點(diǎn)P（1）AB′與APPB相等嗎？為什么？轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題此類題往往需要利用對(duì)稱性、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以后還會(huì)學(xué)習(xí)一些線段轉(zhuǎn)化的方法變式2如圖，

5、兩個(gè)村莊A和B被一條河隔開(kāi)，現(xiàn)要在河上架設(shè)一座橋CD請(qǐng)你為兩村設(shè)計(jì)橋址，使由A村到B村的距離最小（假定兩河岸m、n是平行的，且橋要與河垂直）要求寫(xiě)出作法，并說(shuō)明理由（3）“一點(diǎn)兩線（相交）一點(diǎn)兩線（相交）”解決周長(zhǎng)最短問(wèn)題解決周長(zhǎng)最短問(wèn)題例3：如圖所示，∠ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，在BA、BC邊上各取一點(diǎn)P1、P2，使△PP1P2的周長(zhǎng)最小解析：依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可分別作點(diǎn)P關(guān)于AB，AC的對(duì)稱點(diǎn)，如圖，以BC為對(duì)稱軸作P的對(duì)稱點(diǎn)M，以BA

6、為對(duì)稱軸作出P的對(duì)稱點(diǎn)N，連MN交BA、BC于點(diǎn)P1、P2∴△PP1P2為所求作三角形點(diǎn)評(píng)：解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化“直線上同一側(cè)兩點(diǎn)與此直線上一動(dòng)點(diǎn)距離和最小”問(wèn)題（將軍飲馬問(wèn)題），其核心是化折為直（兩點(diǎn)之間線段最短）的思想，轉(zhuǎn)化技巧是能夠運(yùn)用軸對(duì)稱性質(zhì)及作圖求解問(wèn)題變式3城關(guān)中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會(huì)，桌子擺成兩直條（如圖中的AO，BO），AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C處，請(qǐng)你在下圖