等腰三角形中的分類討論問題

1、關(guān)于等腰三角形中分類討論問題的探討關(guān)于等腰三角形中分類討論問題的探討所謂分類討論思想，就是在解答數(shù)學(xué)題時(shí)有時(shí)無法用同一種形式去解決，而需要選定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)將問題劃分成幾個(gè)能用不同形式去解決的小問題，將這些小問題一一解決，從而使問題得到解決，這就是分類討論的思想。對(duì)于分類討論問題，初中教學(xué)階段雖然沒有對(duì)此方面的教學(xué)要求，但是需要用分類討論的思想去解決的問題卻經(jīng)常遇見，華東師大版七年級(jí)下冊(cè)教材中典型的分類討論問題是在“等腰三角形”

2、一節(jié)中，主要有由于幾何圖形性質(zhì)不明確而需分類討論的問題和幾何圖形之間的位置關(guān)系不明確而需分類討論的問題。下面舉例簡(jiǎn)要論述這兩類問題：一、當(dāng)腰長(zhǎng)或底邊長(zhǎng)不能確定時(shí)，必須進(jìn)行分類討論例1、（1）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為8cm和10cm，求周長(zhǎng)。（2）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm和7cm，求周長(zhǎng)。分析：由等腰三角形的性質(zhì)可知我們?cè)诮獯祟}前，必須明確所給的邊的定義，在這里哪條邊是“腰”，哪條邊是“底”不明確，而且還要考慮到三條線段能夠構(gòu)成

3、三角形的前提，因此必須進(jìn)行分類討論。解（1）因?yàn)?810，10108，則在這兩種情況下都能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰長(zhǎng)為8時(shí)，周長(zhǎng)為8810=26；當(dāng)腰長(zhǎng)為10時(shí)，周長(zhǎng)為10108=28；故這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為26cm或28cm。解（2）當(dāng)腰長(zhǎng)為3時(shí)，因?yàn)?33，所以此時(shí)能構(gòu)成三角形，因此三角形的周長(zhǎng)為：773=17；故這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為17cm。注意：對(duì)于此類題目在進(jìn)行分類討論時(shí)，必須運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系來驗(yàn)證是否能構(gòu)成三角形。二、當(dāng)頂角或底角不

4、能確定時(shí)，必須進(jìn)行分類討論例2、等腰三角形的一個(gè)角是另一個(gè)角的4倍，求它的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；∴∠C=∠ABC=（1800∠A）2=57.50；②如圖3，高在△ABC外部時(shí)，∠ABD=250，圖2∴∠BAD=900∠ABD=900250=650，∴∠BAC=1800650=1150，∴∠ABC=∠C=（18001150）2=32.50故三角形各內(nèi)角為：650，650，500或650，650，57.50或1150，32.50，32.50。四、

5、由腰的垂直平分線所引起的分類討論圖3例5、在三角形ABC中，AB=AC，AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為400，求底角B的度數(shù)。分析：題目中AB邊上的垂直平分線與直線AC相交有兩種情形；圖4解：（1）如圖4，AB邊的垂直平分線與AC邊交于點(diǎn)D，∠ADE=400，則∠A=900∠ADE=500，∵AB=AC，∴∠B=（1800500）2=650。（2）如圖5，AB邊的垂直平分線與直線AC的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，∠ADE=

6、400，則∠DAE=500，圖5∴∠BAC=1300，∵AB=AC，∴∠B=（18001300）2=250，故∠B的大小為650或250。五、由腰上的中線引起的分類討論例6、等腰三角形底邊為5cm，一腰上的中線把其周長(zhǎng)分為兩部分的差為3cm，求腰長(zhǎng)。分析：如圖6，由于題目中的“一腰上的中線把其周長(zhǎng)分為兩部分的差為3cm”，沒有指明是“（ABAD）（BCCD）”還是“（BCCD）（ABAD）”的“差為3cm”，因此必須分兩種情況討論。圖6