求軌跡方程

1、求軌跡方程的十種技法1直接法根據(jù)公式如兩點間距離公式，點到直線的距離公式，直線的斜率公式等，直接列出動點滿足的等量關(guān)系式，從而求得軌跡方程。例1已知動點M到定點A（1，0）與到定直線L：x=3的距離之和等于4，求動點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線？解設(shè)M（xy）是軌跡上任意一點，作MN⊥L于N，由｜MA｜＋｜MN｜＝4，得4|3|22)1(?????xyx當x≧3時上式化簡為y2=－12(x4)當x≦3時上式化簡為y2=4x所以點M

2、的軌跡方程為y2=－12(x4)(3≦x≦4)和y2=4x(0≦x≦3).其軌跡是兩條拋物線弧。2定義法圓錐曲線是解析幾何中研究曲線和方程的典型問題，當動點符合圓錐曲線定義時，可直接寫出其軌跡方程。例2在相距離1400米的A、B兩哨所上，哨兵聽到炮彈爆炸聲的時間相差3秒，已知聲速是340米秒，問炮彈爆炸點在怎樣的曲線上？解因為炮彈爆炸點到A、B兩哨所的距離差為3340=1020米，若以A、B兩點所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立直角

3、坐標系，由雙曲線的定義知炮彈爆炸點在雙曲線上125102700225102???yx3轉(zhuǎn)移法若軌跡點P（xy）依賴于某一已知曲線上的動點Q（x0y0），則可先列出關(guān)于x、yx0、y0的方程組，利用x、y表示出x0、y0，把x0、y0代入已知曲線方程便得動點P的軌跡方程。OYxNMA例5如圖，給出定點A（a0）(a0)和直線L：x=－1B是直線L上的動點，∠BOA的平分線交AB于點C，求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系

4、。解設(shè)B（1，b），則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=－bx設(shè)C（xy），由點C到OA，OB的距離相等，得|y|=①21bybx??又點C在直線AB上，故有y=)(1axab???由xa≠0得b=－代入①化簡整理得y2[(1a)x22ax(1a)y2]=0axya??)1(若y≠0則(1a)x22ax(1a)y2=0(0xa)若y=0則b=0∠AOB=π得C（0，0）滿足上式，綜合得點C的軌跡方程為(1a)x22ax(1a)y2=

5、0(0≤xa)以下對a分類討論略6交軌法若動點是兩曲線的交點，可以通過這兩曲線的方程直接求出交點的方程，也可以解方程組先求出交點的參數(shù)方程，再化為普通方程。例6已知MN是橢圓中垂直于長軸的動弦，A、B是橢圓長軸的兩12222??byax個端點，求直線MA和NB的交點P的軌跡方程。解1:(利用點的坐標作參數(shù))令M(x1y1)，則N(x1y1)而A(a0)B(a0).設(shè)AM與NB的交點為P(xy)因為AMP共線.所以axyaxy???11因