求軌跡方程的常用方法(例題及變式)

1、求軌跡方程的常用方法：題型一題型一直接法直接法此法是求軌跡方程最基本的方法，根據(jù)所滿(mǎn)足的幾何條件，將幾何條件直接)(|MPM翻譯成的形式，然后進(jìn)行等價(jià)變換，化簡(jiǎn)，要注意軌跡方程yx0)(?yxf0)(?yxf的純粹性和完備性，即曲線上沒(méi)有坐標(biāo)不滿(mǎn)足方程的點(diǎn)，也就是說(shuō)曲線上所有的點(diǎn)適合這個(gè)條件而毫無(wú)例外（純粹性）；反之，適合條件的所有點(diǎn)都在曲線上而毫無(wú)遺漏（完備性）。例1過(guò)點(diǎn)任作互相垂直的兩直線和，分別交軸于點(diǎn)，求線段)32(AAMANy

2、xNM中點(diǎn)的軌跡方程。MNP解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及在軸上得，P)(yxPNM)20(yM)02(xN)(Ryx??ANAM??1???ANAMkk，化簡(jiǎn)得?120322230???????yx)1(?x01364???yx)1(?x當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)的中點(diǎn)它也滿(mǎn)足方程，1?x)30(M)02(NMN)231(P01364???yx所以中點(diǎn)的軌跡方程為。P01364???yx變式1已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)的距離的2倍。()Mxy

3、:4lx?(10)N（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；MC（2）過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于兩點(diǎn)。若是的中點(diǎn)，求直線的(03)PmCABAPBm斜率。題型二題型二定義法定義法圓錐曲線定義所包含的幾何意義十分重要，應(yīng)特別重視利用圓錐曲線的定義解題，包括用定義法求軌跡方程。例2動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)，且與圓相切，求動(dòng)圓圓心的軌跡M)04(?P08:22???xyxCM方程。解：根據(jù)題意，說(shuō)明點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為定值，4||||||??MPMCMPC、故點(diǎn)的軌跡

4、是雙曲線。M由①②解得…③?????????????123211212311yxyyxx又點(diǎn)在雙曲線上，…④Q122??yx?12121??yx③代入④，得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為P01222222?????yxyx變式變式3已知△ABC的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，求的重(30)(10)BC?，，，A2yx?ABC△心的軌跡方程G解：設(shè)，，由重心公式，得又()Gxy，00()Axy，003133xxyy????????????，，00323xx

5、yy??????，①∴②在拋物線上，③00()Axy，∵2yx?200yx?∴將①，②代入③，得，23(32)(0)yxy???即所求曲線方程是2434(0)3yxxy????題型四題型四參數(shù)法參數(shù)法選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，分別用參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，得出軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即得yx其普通方程，選參數(shù)時(shí)必須首先充分考慮到制約動(dòng)點(diǎn)的各種因素，然后在選取合適的參數(shù)，因?yàn)閰?shù)不同，會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算量的不同，常見(jiàn)的參數(shù)有截距、角度、斜率、線段長(zhǎng)度等。例4已

6、知線段，直線垂直平分于，在上取兩點(diǎn)，使有向線段2AAa??lAA?OlPP?，滿(mǎn)足，求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程O(píng)POP??????????，4OPOP???????????APAP??M解：如圖2，以線段所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)A?xAA?y設(shè)點(diǎn)，(0)(0)Ptt?，則由題意，得40Pt???????，由點(diǎn)斜式得直線的方程分別為APAP??，4()()tyxayxaata?????，兩式相乘，消去，得t22224