求軌跡方程_第1頁(yè)
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1、求軌跡方程的十種技法1直接法根據(jù)公式如兩點(diǎn)間距離公式,點(diǎn)到直線的距離公式,直線的斜率公式等,直接列出動(dòng)點(diǎn)滿足的等量關(guān)系式,從而求得軌跡方程。例1已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)A(1,0)與到定直線L:x=3的距離之和等于4,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線?解設(shè)M(xy)是軌跡上任意一點(diǎn),作MN⊥L于N,由|MA|+|MN|=4,得4|3|22)1(?????xyx當(dāng)x≧3時(shí)上式化簡(jiǎn)為y2=-12(x4)當(dāng)x≦3時(shí)上式化簡(jiǎn)為y2=4x所以點(diǎn)M

2、的軌跡方程為y2=-12(x4)(3≦x≦4)和y2=4x(0≦x≦3).其軌跡是兩條拋物線弧。2定義法圓錐曲線是解析幾何中研究曲線和方程的典型問題,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)符合圓錐曲線定義時(shí),可直接寫出其軌跡方程。例2在相距離1400米的A、B兩哨所上,哨兵聽到炮彈爆炸聲的時(shí)間相差3秒,已知聲速是340米秒,問炮彈爆炸點(diǎn)在怎樣的曲線上?解因?yàn)榕趶棻c(diǎn)到A、B兩哨所的距離差為3340=1020米,若以A、B兩點(diǎn)所在直線為x軸,AB的中垂線為y軸建立直角

3、坐標(biāo)系,由雙曲線的定義知炮彈爆炸點(diǎn)在雙曲線上125102700225102???yx3轉(zhuǎn)移法若軌跡點(diǎn)P(xy)依賴于某一已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)Q(x0y0),則可先列出關(guān)于x、yx0、y0的方程組,利用x、y表示出x0、y0,把x0、y0代入已知曲線方程便得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。OYxNMA例5如圖,給出定點(diǎn)A(a0)(a0)和直線L:x=-1B是直線L上的動(dòng)點(diǎn),∠BOA的平分線交AB于點(diǎn)C,求點(diǎn)C的軌跡方程,并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系

4、。解設(shè)B(1,b),則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=-bx設(shè)C(xy),由點(diǎn)C到OA,OB的距離相等,得|y|=①21bybx??又點(diǎn)C在直線AB上,故有y=)(1axab???由xa≠0得b=-代入①化簡(jiǎn)整理得y2[(1a)x22ax(1a)y2]=0axya??)1(若y≠0則(1a)x22ax(1a)y2=0(0xa)若y=0則b=0∠AOB=π得C(0,0)滿足上式,綜合得點(diǎn)C的軌跡方程為(1a)x22ax(1a)y2=

5、0(0≤xa)以下對(duì)a分類討論略6交軌法若動(dòng)點(diǎn)是兩曲線的交點(diǎn),可以通過這兩曲線的方程直接求出交點(diǎn)的方程,也可以解方程組先求出交點(diǎn)的參數(shù)方程,再化為普通方程。例6已知MN是橢圓中垂直于長(zhǎng)軸的動(dòng)弦,A、B是橢圓長(zhǎng)軸的兩12222??byax個(gè)端點(diǎn),求直線MA和NB的交點(diǎn)P的軌跡方程。解1:(利用點(diǎn)的坐標(biāo)作參數(shù))令M(x1y1),則N(x1y1)而A(a0)B(a0).設(shè)AM與NB的交點(diǎn)為P(xy)因?yàn)锳MP共線.所以axyaxy???11因

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