不定積分與定積分部分典型例題

1、1不定積分與定積分部分典型例題不定積分與定積分部分典型例題例1驗證和是同一個函數的原函數并說2)ln1(21)(xxF??xxxGlnln21)(2??明兩個函數的關系.分析分析依原函數的定義若和的導數都是某個函數的原函數即有)(xF)(xG)(xf則和是的原函數.所以只需驗證和)()()(xfxGxF????)(xF)(xG)(xf)(xF的導數是否為同一個函數即可.)(xG解因為xxxxxFln11)ln1()(??????xxxx

2、xxGln111ln)(??????所以和是同一個函數的兩個原函數.2)ln1(21)(xxF??xxxGlnln21)(2??xxln1?且有21)(21lnln21)ln1(21)(22???????xGxxxxF說明兩個原函數之間僅相差一個常數.例2已知某曲線y=f(x)在點x處的切線斜率為且曲線過點試求曲線方程.x21)34(分析分析根據不定積分的幾何意義所求曲線方程為過點斜率是的積)34(xxf21)(?分曲線.解cxxxxx

3、fy??????d21d)(且曲線過點即得出)34(c??43143???c于是所求曲線方程為1??xy例3判斷下列等式是否正確.（1）xxxxd11d11d22????（2）cxxx?????cosd)(sin（3）21dlndde1??xxxx3=.cxxx???2221ln221（2）將被積函數變形為xxxxxx22sin1e)3()sine(3e????再利用積分公式和積分運算性質得????xxxxx)dsine(3e2???x

4、xxxdsin1de)3(2=cxx???cot13ln)e3((3)??????????2020dsindsindsinxxxxxx)]1(1[]11[coscos20?????????????xx.4?說明：本例在求積分的方法直接積分法.這種方法適用與那些只用到基本積分公式和積分運算性質或者對被積函數進行適當變形就可以運用積分公式求積分的題目.在解題中應該注意：1熟悉基本積分公式；2在解題中經常要對被積函數進行適當的的變形（例如（1

5、）中將二項和的平方展開；（2）中將乘到括號里邊去；（3）中將絕對值打開）變形的目的是使被積函數為積分xe基本公式中的函數或它們的線性組合.這些方法和技巧的掌握是基于平時的練習；3如果連續(xù)試探幾次進行不同的變形后仍無法達到目的則應考慮其它積分方法求解.例5計算下列積分：（1）；xxxd12??（2）xxxd)e(1e2??（3）xxxdlne12?（4）xxdsin203??分析分析注意到這幾個被積函數都是復合函數對于復合函數的積分問題一