微分方程(1-3)

1、1第9章微分方程與差分方程微分方程與差分方程第1節(jié)微分方程的基本概念微分方程的基本概念我們已經(jīng)知道，利用函數(shù)關(guān)系可以對(duì)客觀事物的規(guī)律性進(jìn)行研究.而在許多幾何，物理，經(jīng)濟(jì)和其他領(lǐng)域所提供的實(shí)際問題，即使經(jīng)過分析、處理和適當(dāng)?shù)暮喕?，我們也只是能列出含有未知函?shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式.這種含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式就是所謂的微分方微分方程.求出微分方程中的未知函數(shù)的過程就叫解微分方程解微分方程.本章主要介紹微分方程的一些基本概念和幾種常用的微分方

2、程的解法.實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)大多數(shù)是按等時(shí)間間隔周期統(tǒng)計(jì)的.因此，有關(guān)變量的取值是離散變化的，處理他們之間的關(guān)系和變化規(guī)律就是本章最后的內(nèi)容——差分方程差分方程.含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程微分方程.微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階.現(xiàn)實(shí)世界中的許多實(shí)際問題，例如，物體的冷卻，人口的增長，琴弦的振動(dòng)，電磁波的傳播等，都可以歸結(jié)為微分方程問題.這時(shí)微分方程也稱為所研究問題的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型.例9.1質(zhì)量

3、為的物體只受重力作用由靜止開始自由垂直降落.根據(jù)牛頓第二定律：m物體所受的力等于物體的質(zhì)量與物體運(yùn)動(dòng)的加速度的乘積，即.取物體降落FmFma?的鉛垂線為軸，其正向向下.下落的起點(diǎn)為原點(diǎn).記開始下落的時(shí)間，則物體下落x0t?的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系滿足xt()xxt?(9.1)22dxgdt?，其中為重力加速度常數(shù).這就是一個(gè)2階微分方程。g例9.2產(chǎn)品的月產(chǎn)量為時(shí)的邊際成本x(9.2)1()82cxx???，就是一個(gè)1階微分方程.在微分方

4、程中，若未知函數(shù)是一元函數(shù)就稱為常微分方程；若未知函數(shù)是多元函數(shù)，就稱為偏微分方程.本章只討論常微分方程。階微分方程的一般形式是n(9.3)()()0nFxyyyy?????，3數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相等的解為微分方程的通解（一般解）通解（一般解）.這里所說的相互獨(dú)立的任意常數(shù)相互獨(dú)立的任意常數(shù)，是指它們?nèi)〔煌闹禃r(shí)就得到不同的解.從而不能通過合并而使得通解中的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)減少.上面的解中，(a)和(c)分別是方程(9.1)和(9.

5、2)的特解，(b)和(d)分別是方程(9.1)和(9.2)的通解.在實(shí)際問題中通常都要求尋找滿足某些附加條件的解.此時(shí)，這類附加條件就可以用來確定通解中的任意常數(shù).這類附加條件稱為初始條件初始條件，也稱為定解條件定解條件.一般地，一階微分方程的初始條件為()yfxy??(9.6)00xxyy??其中都是已知常數(shù).00xy二階微分方程的初始條件為()yfxyy????(9.7)0000xxxxyyyy??????帶有初始條件的微分方程稱為

6、微分方程的初值問題初值問題.微分方程的解的圖形是一條曲線，稱為微分方程的積分曲線積分曲線.例9.4驗(yàn)證函數(shù)（為任意常數(shù)）是方程3()cosyxcx??c2tan3cos0dyyxxxdx???的通解，并求出滿足初始條件的特解.00xy??解要驗(yàn)證一個(gè)函數(shù)是否是微分方程的通解，只要將函數(shù)代入方程，驗(yàn)證是否恒等，再看函數(shù)式中所含的獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)是否與方程的階數(shù)相同.對(duì)，求一階導(dǎo)數(shù)3()cosyxcx??233cos()sindyxxx