微分方程數(shù)值解

1、1微分方程數(shù)值解及其應(yīng)用微分方程數(shù)值解及其應(yīng)用緒論緒論自然界中的許多事物的運(yùn)動(dòng)和變化規(guī)律都可以用微分方程來描述，因此對(duì)工程和科學(xué)技術(shù)中的實(shí)際問題的研究中常常需要求解微分方程但往往只有少數(shù)較簡單和典型的微分方程可求出其解析解，在大多數(shù)情況下只能用近似法求解，數(shù)值解法是一類重要的近似方法本文主要討論一階常微分方程的初值問題的數(shù)值解法，探討這些算法在處理來自生活實(shí)際問題中的應(yīng)用，并結(jié)合MATLAB軟件，動(dòng)手編程予以解決１微分方程的初值問題微分

2、方程的初值問題[1]1.11.1預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)在對(duì)生活實(shí)際問題的研究中，通常需要考慮一階微分方程的初值問題（1）00()()dyfxydxyxy???????這里是矩形區(qū)域：上的連續(xù)函數(shù)??fxyR00xxayyb????對(duì)初值問題（1）需要考慮以下問題：方程是否一定有解呢若有解，有多少個(gè)解呢下面給出相關(guān)的概念與定理定義定義1條件：矩形區(qū)域：上的連續(xù)函數(shù)Lipschitz[1][2]R00xxayyb????若滿足：存在常數(shù)，使得不等

3、式對(duì)所有??fxy0L?????1212fxyfxyLyy???都成立，則稱在上關(guān)于滿足條件.????12xyxyR???fxyRyLipschitz定理定理1解的存在唯一性定理：設(shè)在區(qū)域上連[1][3]f????DxyaxbyR????續(xù)，關(guān)于滿足條件，則對(duì)任意的，常微分方程初值問題yLipschitz??00??xabyR（1）當(dāng)時(shí)存在唯一的連續(xù)解??xab???yx該定理保證若一個(gè)函數(shù)關(guān)于滿足條件，它所對(duì)應(yīng)的微分方程??fxyyL

4、ipschitz的初值問題就有唯一解.在解的存在唯一性得到保證的前提下，自然要考慮方程的求31()()()()nnnnnyxyxyxfxyh?????將初值問題（1）離散化，則問題（1）可化為，1()nnnnyyhfxy????0nxxnh???（3）此方法稱為歐拉法.歐拉方法的幾何意義在數(shù)值計(jì)算公式中體現(xiàn)了出來.在平面上，一階微分方xy程的解稱作它的積分曲線.積分曲線上一點(diǎn)的切線斜率等于函數(shù)??yyx???xy，按函數(shù)在平面上建立一個(gè)

5、方向場，那么，積分曲線上每一點(diǎn)的??fxy??fxyxy切線方向均與方向場在該點(diǎn)的方向相一致.基于上述幾何解釋，從初始點(diǎn)出發(fā)，先依方向場在該點(diǎn)的方向上推進(jìn)000()Pxy到上一點(diǎn)，再從依方向場的方向推進(jìn)到上一點(diǎn)，循環(huán)前進(jìn)便作出1xx?1P1P2xx?2P一條折線，因此歐拉方法又稱為折線法.若初值已知，則由（3）式可逐012PPP?0y步算出10002111()()yyhfxyyyhfxy???????為了分析計(jì)算公式的精確度，通?？捎锰?/p>

6、勒展開將在處展開，則有??1nyx?nx????????????211.2?????????nnnnnnnnhyxyxhyxyxhyxx??在的前提下，可得歐拉法（3）的誤差為??nnyyx?????????.nnnnnfxyfxyxyx?????????2211.22nnnnhhyxyyyx??????????容易看出，歐拉法（3）式具有一階精度.2）向后歐拉方法：如果對(duì)微分方程（1）從到積分，得nx1nx?，????????11nn