數(shù)學難題

1、世界近代三大數(shù)學難題之一四色猜想四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業(yè)于倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色?！边@個結(jié)論能不能從數(shù)學上加以嚴格證明呢？他和在大學讀書的弟弟格里斯研究一直沒有進展。1852年10月，他的弟弟就這個問題的證明請教他的老師、著名數(shù)學家德.摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，于是寫信向

2、自己的好友、著名數(shù)學家哈密爾頓爵士請教。直到1865年哈密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。1872年，英國當時最著名的數(shù)學家凱利正式向倫敦數(shù)學學會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學界關(guān)注的問題。1878～1880年兩年間，著名的律師兼數(shù)學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。11年后，即1890年，數(shù)學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。于是，人們開始認識到

3、，這個貌似容易的題目實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。1913年，伯克霍夫在肯普的基礎(chǔ)上引進了一些新技巧，美國數(shù)學家富蘭克林于1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國推進到35國。1960年，有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨后又推進到了50國?？磥磉@種推進仍然十分緩慢。電子計算機問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人

4、機對話的出現(xiàn)，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數(shù)學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。四色猜想的計算機證明，轟動了世界。它不僅解決了一個歷時100多年的難題，而且有可能成為數(shù)學史上一系列新思維的起點。不過也有不少數(shù)學家并不滿足于計算機取得的成就，他們還在尋找一種簡捷明快的書面證明方法。世界近代三大數(shù)學難題之一費馬最后定理費馬是十七世紀最

5、卓越的數(shù)學家之一，他在數(shù)學許多領(lǐng)域中都有極大的貢獻，本行是專業(yè)的律師，為了表彰他的數(shù)學造詣，世人冠以「業(yè)余王子」之美稱，在三百六十多年前的某一天，費馬正在閱讀一本古希臘數(shù)學家戴奧芬多斯的數(shù)學書時，突然心血來潮在書頁的空白處，寫下一個看起來很簡單的定理這個定理的內(nèi)容是有關(guān)一個方程式x2y2=z2的正整數(shù)解的問題，當n=2時就是我們所熟知的畢氏定理（中國古代又稱勾股弦定理）：x2y2=z2，此處z表一直角形之斜邊而x、y為其之兩股，也就是一

6、個直角三角形之斜邊的平方等於它的兩股的平方和，這個方程式當然有整數(shù)解（其實有很多）。費馬聲稱當n2時，就找不到滿足xnyn=zn的整數(shù)解，例如：方程式x3y3=z3就無法找到整數(shù)解。當時費馬并沒有說明原因，他只是留下這個敘述并且也說他已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這個定理的證明妙法，只是書頁的空白處不夠無法寫下。始作俑者的費馬也因此留下了千古的難題，三百多年來無數(shù)的數(shù)學家嘗試要去解決這個難題卻都徒勞無功。這個號稱世紀難題的費馬最后定理也就成了數(shù)學界的心頭大患

7、，極欲解之而后快。十九世紀時法國的法蘭西斯數(shù)學院曾經(jīng)在一八一五年和一八六0年兩度懸賞金質(zhì)獎?wù)潞腿俜ɡ山o任何解決此一難題的人，可惜都沒有人能夠領(lǐng)到獎賞。德國的數(shù)學家佛爾夫斯克爾（PWolfskehl）在1908年提供十萬馬克，給能夠證明費馬最后定理是正確的人，有效期間為100年。其間由於經(jīng)濟大蕭條的原因，此筆獎額已貶值至七千五百馬克，雖然如此仍然吸引不少的「數(shù)學癡」。二十世紀電腦發(fā)展以后，許多數(shù)學家用電腦計算可以證明這當k為奇數(shù)時求(1

8、1)^k（12）^k(13)^k(14)^k(15)^k…（1n）^k=歐拉已求出：(11)^2（12）^2(13)^2(14)^2(15)^2…（1n）^2=（π^2）6并且當k為偶數(shù)時的表達式。2、eπ的超越性此題為希爾伯特第7問題中的一個特例。已經(jīng)證明了e^π的超越性，卻至今未有人證明eπ的超越性。3、素數(shù)問題。證明：ζ(s)=1(12)^s(13)^s(14)^s(15)^s…(s屬于復數(shù)域)所定義的函數(shù)ζ(s)的零點，除負整實

9、數(shù)外，全都具有實部12。此即黎曼猜想。也就是希爾伯特第8問題。美國數(shù)學家用計算機算了ζ(s)函數(shù)前300萬個零點確實符合猜想。希爾伯特認為黎曼猜想的解決能夠使我們嚴格地去解決歌德巴赫猜想（任一偶數(shù)可以分解為兩素數(shù)之和）和孿生素數(shù)猜想（存在無窮多相差為2的素數(shù)）。引申的問題是：素數(shù)的表達公式？素數(shù)的本質(zhì)是什么？4、存在奇完全數(shù)嗎？所謂完全數(shù)，就是等于其因子的和的數(shù)。前三個完全數(shù)是：6=12328=124714496=12481631621

10、24248目前已知的32個完全數(shù)全部是偶數(shù)。1973年得到的結(jié)論是如果n為奇完全數(shù)，則：n10^505、除了8=2^39=3^2外，再沒有兩個連續(xù)的整數(shù)可表為其他正整數(shù)的方冪了嗎？這是卡塔蘭猜想（1842）。1962年我國數(shù)學家柯召獨立證明了不存在連續(xù)三個整數(shù)可表為其它正整數(shù)的方冪。1976年，荷蘭數(shù)學家證明了大于某個數(shù)的任何兩個正整數(shù)冪都不連續(xù)。因此只要檢查小于這個數(shù)的任意正整數(shù)冪是否有連續(xù)的就行了。但是，由于這個數(shù)太大，有500多位

11、，已超出計算機的計算范圍。所以，這個猜想幾乎是正確的，但是至今無人能夠證實。6、任給一個正整數(shù)n，如果n為偶數(shù)，就將它變?yōu)閚2如果除后變?yōu)槠鏀?shù)，則將它乘3加1（即3n1）。不斷重復這樣的運算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1嗎？這角古猜想（1930）。人們通過大量的驗算，從來沒有發(fā)現(xiàn)反例，但沒有人能證明。三希爾伯特23問題里尚未解決的問題。1、問題1連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。全體正整數(shù)（被稱為可數(shù)集）的基數(shù)和實數(shù)集合（被稱為連續(xù)統(tǒng)）的基數(shù)c之間沒有其它基