高中數(shù)學(xué)難題

1、1.已知函數(shù)f(x)=(4^xk2^x1)(4^x2^x1)（1）若對(duì)任意的x∈R，f(x)＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍（2）若f(x)的最小值為3，求實(shí)數(shù)k的值（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x1x2x3，均存在以f(x1)f(x2)f(x3)為三邊邊長(zhǎng)的三角形，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。1.可設(shè)2^x=tt0則令f（x）0對(duì)于x為R成立即為一個(gè)二次函數(shù)實(shí)根分布問題有k大于2按第一小題的思路可化簡(jiǎn)f（t）=1（k1）（t1t1）用基本不等式可解出最值，

2、再把3帶入可得k=11題意即為f（x）最大值與最小值minminmax可組成三角形（1）f（x）=（4^xk2^x1）（4^x2^x1））=（4^x（k1）2^x2^x1）（4^x2^x1）=1【（k1）2^x（4^x2^x1）】=1【（k1）（2^x12^（x））】＞0所以（k1）（2^x12^（x））＞1；k＞（2^x2^（x）），且2^x2^（x）＞=2（因?yàn)?^x＞0且2^（x）＞0），當(dāng)且僅當(dāng)2^x=2^（x）是取得等號(hào)所以k

3、＞2（2）f（x）=（4^xk2^x1）（4^x2^x1））=1【（k1）2^x（4^x2^x1）】=1【（k1）（2^x12^（x））】k＞1時(shí)，令分母（2^x12^（x））最大時(shí)，f（x）最小，但（2^x12^（x））最大為無窮，不合題意；k＜1時(shí)，令分母（2^x12^（x））最小時(shí)，f（x）最小，所以分母應(yīng)為3，可得1【（k1）3】=3所以k=11（3）由題意f（x1）f（x3）＜f（x2）＜f（x1）f（x3）且f（x1），f（

4、x2），f（x3）均大于零；f（x1）f（x3）的最大值為f（x）maxf（x）min；f（x1）f（x3）的最小值為2f（x）min；于是得f（x）maxf（x）min＜f（x）＜2f（x）min；f（x）maxf（x）min＜=f（x）min；f（x）max＜=2f（x）min；由于f（x）＞0，故，f（x）min一定存在，故f（x）max一定存在；故1【（k1）（2^x12^（x））】存在最大值，故k＞=1，此時(shí)f（x）max=1

5、（k1）3；f（x）min=1（因?yàn)榉帜?^x12^（x）可取無窮大，故f（x）在x趨于無窮大時(shí)，趨于1）于是，1（k1）3＜=2，即k＜=4又因?yàn)橐呀?jīng)知道k＞=1所以1＜=k＜=4?故兩根和=（fk）（f1）＞0，得：k＞1時(shí)，1＜f＜k；此時(shí)m=（k1）2，M=k，得：M＜2m，符合2＜k＜1時(shí)，k＜f＜1；此時(shí)m=（k1）2，M=1，得：M＜2m，符合k=1時(shí)，f（x）=1，也符合綜合得：k＞21）令t=2^x＞0，則f=（t^2

6、kt1）（t^2t1）=[（tk2）^21k^24]（t^2t1）因?yàn)榉帜竧^2t1＞001=1，故分子需恒大于0，k＞=0時(shí)顯然成立k＜0時(shí)，因?yàn)閠＞0，分子的最小值為當(dāng)t=k2時(shí)取得，為1k^24＞0，故有2＜k＜0綜合得：k＞22）同1），t^2kt1=ft^2ftf（f1）t^2t（fk）f1=0delta=（fk）^24（f1）^2=（2fk1）（1k）＞=0，f有最小值，則有f＞=（k1）2，1k＞0故有（k1）2=3，得：

7、k=53）依題意，表明f（x）恒大于0，且其最大值M小于最小值m的2倍由1）k＞2，由2）f＞=（k1）2同時(shí)，（f1）t^2t（fk）f1=0的兩根積=1，因此兩根須都為正根故兩根和=（fk）（f1）＞0，得：k＞1時(shí)，1＜f＜k；此時(shí)m=（k1）2，M=k，得：M＜2m，符合2＜k＜1時(shí)，k＜f＜1；此時(shí)m=（k1）2，M=1，得：M＜2m，符合k=1時(shí)，f（x）=1，也符合綜合得：k＞22.設(shè)外接圓半徑為R，則：(cosBsinC

8、)向量AB(cosCsinB)向量AC=2m向量AO可化為：(cosBsinC)(向量OB向量OA)(cosCsinB)(向量OCOA)=2m向量OA（）易知向量OB與OA的夾角為2∠C，向量OC與OA的夾角為2∠B，向量OA與OA的夾角為0，|向量OA|=|向量OB|＝|向量OC|=R則對(duì)()式左右分別與向量OA作數(shù)量積，可得：(cosBsinC)(向量OB向量OA－向量OA向量OA)(cosCsinB)(向量OC向量OA－向量OA向