高中數(shù)學(xué)——導(dǎo)數(shù)難題

1、5.5.導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)——不等式不等式1.1.已知函數(shù)已知函數(shù)()exfxkxx???R，（Ⅰ）若（Ⅰ）若ek?，試確定函數(shù)，試確定函數(shù)()fx的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若（Ⅱ）若0k?，且對于任意，且對于任意x?R，()0fx?恒成立，試確定實(shí)數(shù)恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范的取值范圍；圍；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)（Ⅲ）設(shè)函數(shù)()()()Fxfxfx???，求證：，求證：12(1)(2)()(e2)()nnFFFnn?????N?分析：本小題主要

2、考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題、解決問題的能力。解：（Ⅰ）由ek?得()eexfxx??，所以()eexfx???由()0fx??得1x?，故()fx的單調(diào)遞增區(qū)間是(1)??，，由()0fx??得1x?，故()fx的單調(diào)遞減區(qū)間是(1)??，（Ⅱ）由()()fxfx??可知()fx是偶函數(shù)于是()0fx?對任意x?R成立等價(jià)于(

3、)0fx?對任意0x≥成立由()e0xfxk????得lnxk?①當(dāng)(01]k?，時(shí)，()e10(0)xfxkkx??????≥此時(shí)()fx在[0)??，上單調(diào)遞增故()(0)10fxf??≥，符合題意②當(dāng)(1)k???，時(shí)，ln0k?當(dāng)x變化時(shí)()()fxfx?，的變化情況如下表：x(0ln)k，lnk(ln)k??，()fx??0?()fx單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在[0)??，上，()(ln)lnfxfkkkk??≥當(dāng)0t?

4、時(shí)，由()0hx??，得13xt?，當(dāng)13()xx???，時(shí)，()0hx??，所以()hx在(0)??，內(nèi)的最小值是13()0ht?故當(dāng)0x?時(shí)，()()tfxgx≥對任意正實(shí)數(shù)t成立方法二：對任意固定的0x?，令232()()(0)3thtgxtxtt????，則11332()()3httxt????，由()0ht??，得3tx?當(dāng)30tx??時(shí)，()0ht??；當(dāng)3tx?時(shí)，()0ht??，所以當(dāng)3tx?時(shí)，()ht取得最大值331

5、()3hxx?因此當(dāng)0x?時(shí)，()()fxgx≥對任意正實(shí)數(shù)t成立（ii）方法一：8(2)(2)3tfg??由（i）得，(2)(2)ttgg≥對任意正實(shí)數(shù)t成立即存在正實(shí)數(shù)02x?，使得(2)(2)xtgg≥對任意正實(shí)數(shù)t成立下面證明0x的唯一性：當(dāng)02x?，00x?，8t?時(shí)，300()3xfx?，0016()43xgxx??，由（i）得，30016433xx??，再取30tx?，得30300()3xxgx?，所以303000016(