高中數(shù)學(xué)典型例題解析導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用

1、<p>　　高中數(shù)學(xué)典型例題分析</p><p>　　第十章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用</p><p>　　§10.1導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算</p><p><b>　　一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)</b></p><p>　　1.瞬時(shí)變化率：設(shè)函數(shù)在附近有定義，當(dāng)自變量在附近改變量為時(shí)，函數(shù)值相應(yīng)地改變，如果當(dāng)趨近于0時(shí)，平均變化率

2、趨近于一個(gè)常數(shù)c（也就是說(shuō)平均變化率與某個(gè)常數(shù)c的差的絕對(duì)值越來(lái)越小，可以小于任意小的正數(shù)），那么常數(shù)c稱為函數(shù)在點(diǎn)的瞬時(shí)變化率。</p><p>　　2.導(dǎo)數(shù)：當(dāng)趨近于零時(shí)，趨近于常數(shù)c?？捎梅?hào)“”記作：當(dāng)時(shí)，或記作，符號(hào)“”讀作“趨近于”。函數(shù)在的瞬時(shí)變化率，通常稱作在處的導(dǎo)數(shù)，并記作。</p><p>　　3.導(dǎo)函數(shù)：如果在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都是可導(dǎo)的，則稱在區(qū)間可導(dǎo)。這樣，對(duì)開區(qū)間內(nèi)

3、每個(gè)值，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)。于是，在區(qū)間內(nèi)，構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。記為或（或）。</p><p>　　4.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：1）函數(shù)和（或差）的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，則即，兩個(gè)函數(shù)的和（或差）的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（或差）。</p><p>　　2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，則即，兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第二個(gè)函數(shù)，加上

4、第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。</p><p>　　3）函數(shù)的商的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，，則</p><p>　　5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),函數(shù)在點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),且.</p><p>　　6.幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：</p><p>　　(1) (2)</p><p&

5、gt;　　(3) (4) </p><p>　　(5) (6) </p><p>　　(7) (8) </p><p>　　二、疑難知識(shí)導(dǎo)析 </p><p>　　1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是函數(shù)值相對(duì)于自變量的變化率</p>

6、;<p>　　2.運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,應(yīng)注意以下幾點(diǎn)</p><p>　?。?）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)后,要把中間變量換成自變量的函數(shù),層層求導(dǎo).</p><p>　　(2) 要分清每一步的求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，不能混淆，一直計(jì)算到最后，常出現(xiàn)如下錯(cuò)誤，如實(shí)際上應(yīng)是。</p><p>　　(3) 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于分清楚函數(shù)的復(fù)合

7、關(guān)系，選好中間變量，如選成，計(jì)算起來(lái)就復(fù)雜了。</p><p>　　3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義</p><p>　　導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通常指曲線的切線斜率.導(dǎo)數(shù)的物理意義，通常是指物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度。對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義的理解，有助于對(duì)抽象的導(dǎo)數(shù)定義的認(rèn)識(shí)，應(yīng)給予足夠的重視。</p><p><b>　　4.</b></p>

8、<p>　　表示處的導(dǎo)數(shù)，即是函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；表示函數(shù)在某給定區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，此時(shí)是在上的函數(shù)，即是在內(nèi)任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。</p><p>　　5.導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系</p><p>　　若函數(shù)在處可導(dǎo)，則此函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，但逆命題不成立，即函數(shù)</p><p>　　在點(diǎn)處連續(xù)，未必在點(diǎn)可導(dǎo)，也就是說(shuō)，連續(xù)性是函數(shù)具有可導(dǎo)性的必要條件，而不是充分條件。&l

9、t;/p><p>　　6.可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程</p><p>　　由于函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，表示曲線在點(diǎn)處切線的斜率，因</p><p>　　此，曲線在點(diǎn)處的切線方程可如下求得：</p><p>　　（1）求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點(diǎn)處切線的斜率。</p><p>　　（2）在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切

10、線方程為：，如果曲線在點(diǎn)的切線平行于軸（此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義可知，切線方程為.</p><p><b>　　三、經(jīng)典例題導(dǎo)講</b></p><p>　　[例1]已知,則 .</p><p>　　[例2]已知函數(shù)判斷f(x)在x=1處是否可導(dǎo)？</p><p>　　分析： 分段函數(shù)在“

11、分界點(diǎn)”處的導(dǎo)數(shù)，須根據(jù)定義來(lái)判斷是否可導(dǎo) . 左右極限是否存在且相等。</p><p>　　點(diǎn)評(píng)：函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，是一個(gè)極限值，即，△x→0，包括△x→0＋，與△x→0－，因此，在判定分段函數(shù)在“分界點(diǎn)”處的導(dǎo)數(shù)是否存在時(shí)，要驗(yàn)證其左、右極限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定這點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)，否則不存在導(dǎo)數(shù).</p><p>　　[例3]求在點(diǎn)和處的切線方程。</p>

12、<p>　　分析：點(diǎn)在函數(shù)的曲線上，因此過(guò)點(diǎn)的切線的斜率就是在處的函數(shù)值；</p><p>　　點(diǎn)不在函數(shù)曲線上，因此不能夠直接用導(dǎo)數(shù)求值，要通過(guò)設(shè)切點(diǎn)的方法求切線．</p><p>　　點(diǎn)評(píng)： 要注意所給的點(diǎn)是否是切點(diǎn)．若是，可以直接采用求導(dǎo)數(shù)的方法求；不是則需設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)．</p><p>　　[例4]求證：函數(shù)圖象上的各點(diǎn)處切線的斜率小于1，并求

13、出其斜率為0的切線方程.</p><p>　　分析： 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，要證函數(shù)的圖象上各點(diǎn)處切線的斜率都小于1，只要證它的導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值都小于1，因此，應(yīng)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，再進(jìn)行論證與求解. </p><p>　　[例5]（02年高考試題）已知，函數(shù)，，設(shè)，記曲線在點(diǎn)處的切線為 . </p><p>　?。?）求 的方程； </p><p&g

14、t;　?。?）設(shè) 與 軸交點(diǎn)為，求證： </p><p>　　① ；　　　　?、谌簦瑒t</p><p>　　分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用其求出切線斜率，導(dǎo)出切線方程 . </p><p>　　[例6]求拋物線 上的點(diǎn)到直線的最短距離. </p><p>　　分析：可設(shè) 為拋物線上任意一點(diǎn)，則可把點(diǎn)到直線的距離表示為自變量的函數(shù)，然后求

15、函數(shù)最小值即可，另外，也可把直線向靠近拋物線方向平移，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)的切點(diǎn)到直線的距離即為本題所求. </p><p><b>　　四、典型習(xí)題導(dǎo)練</b></p><p>　　1.函數(shù)在處不可導(dǎo)，則過(guò)點(diǎn)處，曲線的切線 （ D ） </p><p>　　A．必不存在　B．必定存在 C．必與x軸垂直　 D．不同于上面

16、結(jié)論</p><p>　　2.在點(diǎn)x=3處的導(dǎo)數(shù)是__-1/6__________.</p><p>　　3.已知，若，則的值為____________.</p><p>　　4.已知P（－1，1），Q（2，4）是曲線上的兩點(diǎn)，則與直線平行的曲線的切線方程是 _____________. </p><p>　　5.如果曲線的某一切線與直線平行

17、，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程.</p><p>　　6．若過(guò)兩拋物線和的一個(gè)交點(diǎn)為P的兩條切線互相垂直.求證：拋物線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).</p><p>　　§10.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用</p><p><b>　　一、 知識(shí)導(dǎo)學(xué)</b></p><p><b>　　1.可導(dǎo)函數(shù)的極值</b>&l

18、t;/p><p><b>　?。?）極值的概念</b></p><p>　　設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，且若對(duì)附近的所有的點(diǎn)都有（或），則稱為函數(shù)的一個(gè)極大（?。┲担Q為極大（?。┲迭c(diǎn).</p><p>　?。?）求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟:</p><p>　　①求導(dǎo)數(shù)。求方程的根. ②求方程的根.</p>&

19、lt;p>　?、蹤z驗(yàn)在方程的根的左右的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的右側(cè)附近為正，左側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值.</p><p>　　2.函數(shù)的最大值和最小值</p><p>　?。?）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值，可分兩步進(jìn)行.</p><p><b&

20、gt;　　①求在內(nèi)的極值.</b></p><p>　　②將在各極值點(diǎn)的極值與、比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.</p><p>　?。?）若函數(shù)在上單調(diào)增加，則為函數(shù)的最小值，為函數(shù)的最大值；若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則為函數(shù)的最大值，為函數(shù)的最小值.</p><p><b>　　二、疑難知識(shí)導(dǎo)析</b></p&

21、gt;<p>　　1.在求可導(dǎo)函數(shù)的極值時(shí)，應(yīng)注意：（以下將導(dǎo)函數(shù)取值為0的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是它的駐點(diǎn)，注意一定要是可導(dǎo)函數(shù)。例如函數(shù)在點(diǎn)處有極小值=0，可是這里的根本不存在，所以點(diǎn)不是的駐點(diǎn).</p><p>　　(1) 可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)可能是它的極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)。例如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)處有，即點(diǎn)是的駐點(diǎn)，但從在上為增函數(shù)可知，點(diǎn)不是的極值點(diǎn).</p><

22、;p>　　(2) 求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的極值時(shí)，常常把駐點(diǎn)附近的函數(shù)值的討論情況列成表格，這樣可使函數(shù)在各單調(diào)區(qū)間的增減情況一目了然.</p><p>　　(3) 在求實(shí)際問(wèn)題中的最大值和最小值時(shí)，一般是先找出自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域.如果定義域是一個(gè)開區(qū)間，函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)（其實(shí)只要是初等函數(shù)，它在自己的定義域內(nèi)必然可導(dǎo)），并且按常理分析，此函數(shù)在這一開區(qū)間內(nèi)應(yīng)該有最大（小）值（如果定義

23、域是閉區(qū)間，那么只要函數(shù)在此閉區(qū)間上連續(xù)，它就一定有最大（?。?記住這個(gè)定理很有好處），然后通過(guò)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)定義域內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，那么立即可以斷定在這個(gè)駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是最大（?。┲?。</p><p><b>　　三、經(jīng)典例題導(dǎo)講</b></p><p>　　[例1]已知曲線及點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)的曲線的切線方程.</p><p>　　[例2]已知函

24、數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍.</p><p>　　[例3]當(dāng) ，證明不等式.</p><p>　　點(diǎn)評(píng)：由題意構(gòu)造出兩個(gè)函數(shù)，.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而導(dǎo)出及是解決本題的關(guān)鍵.</p><p>　　[例4]設(shè)工廠到鐵路線的垂直距離為20km,垂足為B.鐵路線上距離B為100km處有一原料供應(yīng)站C,現(xiàn)要在鐵路BC之間某處D修建一個(gè)原料中轉(zhuǎn)車站,再由車站D向工廠

25、修一條公路.如果已知每千米的鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為3:5,那么,D應(yīng)選在何處,才能使原料供應(yīng)站C運(yùn)貨到工廠A所需運(yùn)費(fèi)最省?</p><p>　　[例5]（2006年四川）函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù).（1）對(duì)滿足－1≤≤1的一切的值，都有＜0，求實(shí)數(shù)的取值范圍；</p><p>　　（2）設(shè)＝－，當(dāng)實(shí)數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)＝的圖象與直線＝3只有一個(gè)公共點(diǎn).</p><p&

26、gt;　　[例6]若電燈B可在桌面上一點(diǎn)O的垂線上移動(dòng)，桌面上有與點(diǎn)O距離為的另一點(diǎn)A，問(wèn)電燈與點(diǎn)0的距離怎樣，可使點(diǎn)A處有最大的照度？（照度與成正比，與成反比）</p><p>　　分析：如圖，由光學(xué)知識(shí)，照度與成正比，與成反比，</p><p>　　即（是與燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)）要想點(diǎn)處有最</p><p>　　大的照度，只需求的極值就可以了.</p>

27、<p><b>　　四、典型習(xí)題導(dǎo)練</b></p><p>　　1．已知函數(shù)，若是的一個(gè)極值點(diǎn)，則值為 （ ）</p><p>　　A．2 B.-2 C. D.4</p><p>　　2.已知函數(shù)在處有極值為10，則= .</p&g

28、t;<p>　　3．給出下列三對(duì)函數(shù)：①②， </p><p>　?、郏?；其中有且只有一對(duì)函數(shù)“既互為反函數(shù)，又同是各自定義域上的遞增函數(shù)”，則這樣的兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別是 ， .</p><p>　　4．已知函數(shù)有極大值和極小值，求的取值范圍.</p><p>　　5．已知拋

29、物線，過(guò)其上一點(diǎn)引拋物線的切線，使與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積最小，求的方程.</p><p>　　6．設(shè)在上的最大值為，，</p><p>　?。?）求的表達(dá)式；（2）求的最大值.</p><p>　　§10.3定積分與微積分基本定理</p><p><b>　　一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)</b></p&g

30、t;<p>　　1．可微：若函數(shù)在的增量可以表示為的線性函數(shù)（是常數(shù)）與較高階的無(wú)窮小量之和:（1）,則稱函數(shù)在點(diǎn)可微，（1）中的稱為函數(shù)在點(diǎn)的微分，記作或.函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是函數(shù)在可導(dǎo)，這時(shí)（1）式中的等于.若函數(shù)在區(qū)間上每點(diǎn)都可微，則稱為上的可微函數(shù).函數(shù)在上的微分記作.</p><p>　　2．微積分基本定理：如果，且在上可積.則</p><p>　　.其中叫做的

31、一個(gè)原函數(shù).</p><p>　　由于，也是的原函數(shù)，其中為常數(shù).</p><p><b>　　二、疑難知識(shí)導(dǎo)析</b></p><p>　　1 .定積分的定義過(guò)程包括“分割、近似求和、取極限”這幾個(gè)步驟，這里包含著很重要的數(shù)學(xué)思想方法，只有對(duì)定積分的定義過(guò)程了解了，才能掌握定積分的應(yīng)用.</p><p>　　1）一般情

32、況下，對(duì)于區(qū)間的分割是任意的，只要求分割的小區(qū)間的長(zhǎng)度的最大者趨近于0，這樣所有的小區(qū)間的長(zhǎng)度才能都趨近于0，但有的時(shí)候?yàn)榱私忸}的方便，我們選擇將區(qū)間等份成份，這樣只要2其中的使就可以了.</p><p>　　2）對(duì)每個(gè)小區(qū)間內(nèi)的選取也是任意的，在解題中也可選取區(qū)間的左端點(diǎn)或是右端點(diǎn).</p><p>　　3）求極限的時(shí)候，不是，而是.</p><p>　　2．在微

33、積分基本定理中，原函數(shù)不是唯一的，但我們只要選取其中的一個(gè)就可以了，一般情況下選那個(gè)不帶常數(shù)的。因?yàn)?</p><p>　　3．利用定積分來(lái)求面積時(shí)，特別是位于軸兩側(cè)的圖形的面積的計(jì)算，分兩部分進(jìn)行計(jì)算，然后求兩部分的代數(shù)和.</p><p><b>　　三 、經(jīng)典例題導(dǎo)講</b></p><p>　　[例1]求曲線與軸在區(qū)間上所圍成陰影部分的

34、面積S.</p><p>　　分析：面積應(yīng)為各部分積分的代數(shù)和，也就是第二部分的積分不是陰影部分的面積，而是面積的相反數(shù)。所以不應(yīng)該將兩部分直接相加。</p><p>　　[例2]用微積分基本定理證明</p><p><b>　?。ǎ?lt;/b></p><p>　　分析：即尋找的原函數(shù)代入進(jìn)行運(yùn)算。</p>

35、<p>　　[例3]根據(jù)等式求常數(shù)的值。</p><p>　　1） 2）</p><p>　　分析：利用微積分基本定理，求出原函數(shù)代入求解</p><p>　　[例4]某產(chǎn)品生產(chǎn)x個(gè)單位時(shí)的邊際收入　　</p><p>　　（１）   求生產(chǎn)了50個(gè)單位時(shí)的總收入。</p>

36、;<p>　　（２）   如果已生產(chǎn)了100個(gè)單位時(shí)，求再生產(chǎn)100個(gè)單位時(shí)的總收入。</p><p>　　[例5]一個(gè)帶電量為的電荷放在軸上原點(diǎn)處，形成電場(chǎng)，求單位正電荷在電場(chǎng)力作用下沿軸方向從處移動(dòng)到處時(shí)電場(chǎng)力對(duì)它所作的功。</p><p>　　分析：變力做功的問(wèn)題就是定積分問(wèn)題在物理方面的應(yīng)用。</p><p>　　[例6]一

37、質(zhì)點(diǎn)以速度沿直線運(yùn)動(dòng)。求在時(shí)間間隔上的位移。</p><p>　　分析：變速求位移和變力求功一樣都可以用定積分解決。</p><p><b>　　四、典型習(xí)題導(dǎo)練</b></p><p><b>　　1. ( )</b></p><p>　　A. B. C. D.

38、</p><p><b>　　2．（ ）</b></p><p>　　A．0 B.2 C.-2 D.4 </p><p>　　3．，則 。</p><p>　　4．利用概念求極限：</p><p>&l