高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題及解答

1、<p>　　新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題</p><p><b>　　類型一：圓的方程</b></p><p>　　例1 求過兩點(diǎn)、且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)與圓的關(guān)系．</p><p>　　分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，只須看點(diǎn)與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大

2、于半徑，則點(diǎn)在圓外；若距離等于半徑，則點(diǎn)在圓上；若距離小于半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi)．</p><p>　　解法一：（待定系數(shù)法）</p><p><b>　　設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．</b></p><p><b>　　∵圓心在上，故．</b></p><p><b>　　∴圓的方程為．</b&g

3、t;</p><p><b>　　又∵該圓過、兩點(diǎn)．</b></p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　解之得：，．</b></p><p>　　所以所求圓的方程為．</p><p>　　解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）<

4、;/p><p>　　因?yàn)閳A過、兩點(diǎn)，所以圓心必在線段的垂直平分線上，又因?yàn)?，故的斜率?，又的中點(diǎn)為，故的垂直平分線的方程為：即．</p><p>　　又知圓心在直線上，故圓心坐標(biāo)為</p><p><b>　　∴半徑．</b></p><p><b>　　故所求圓的方程為．</b></p>

5、<p><b>　　又點(diǎn)到圓心的距離為</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　∴點(diǎn)在圓外．</b></p><p>　　說明：本題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個(gè)關(guān)鍵的量，然后根據(jù)圓心與定點(diǎn)之間的距離和半徑的大小關(guān)系來判定點(diǎn)

6、與圓的位置關(guān)系，若將點(diǎn)換成直線又該如何來判定直線與圓的位置關(guān)系呢？</p><p>　　例2 求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程．</p><p>　　分析：根據(jù)問題的特征，宜用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解．</p><p>　　解：則題意，設(shè)所求圓的方程為圓．</p><p>　　圓與直線相切，且半徑為4，則圓心的坐標(biāo)為或．</p>

7、;<p>　　又已知圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為3．</p><p><b>　　若兩圓相切，則或．</b></p><p>　　(1)當(dāng)時(shí)，，或(無解)，故可得．</p><p>　　∴所求圓方程為，或．</p><p>　　(2)當(dāng)時(shí)，，或(無解)，故．</p><p>　　∴所求圓

8、的方程為，或．</p><p>　　說明：對(duì)本題，易發(fā)生以下誤解：</p><p>　　由題意，所求圓與直線相切且半徑為4，則圓心坐標(biāo)為，且方程形如．又圓，即，其圓心為，半徑為3．若兩圓相切，則．故，解之得．所以欲求圓的方程為，或．</p><p>　　上述誤解只考慮了圓心在直線上方的情形，而疏漏了圓心在直線下方的情形．另外，誤解中沒有考慮兩圓內(nèi)切的情況．也是不全面

9、的．</p><p>　　例3 求經(jīng)過點(diǎn)，且與直線和都相切的圓的方程．</p><p>　　分析：欲確定圓的方程．需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過定點(diǎn)，故只需確定圓心坐標(biāo)．又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上．</p><p>　　解：∵圓和直線與相切，</p><p>　　∴圓心在這兩條直線的交角平分線上，</p&g

10、t;<p>　　又圓心到兩直線和的距離相等．</p><p><b>　　∴．</b></p><p>　　∴兩直線交角的平分線方程是或．</p><p><b>　　又∵圓過點(diǎn)，</b></p><p>　　∴圓心只能在直線上．</p><p><b&g

11、t;　　設(shè)圓心</b></p><p>　　∵到直線的距離等于，</p><p><b>　　∴．</b></p><p><b>　　化簡(jiǎn)整理得．</b></p><p><b>　　解得：或</b></p><p>　　∴圓心是，半徑為或

12、圓心是，半徑為．</p><p>　　∴所求圓的方程為或．</p><p>　　說明：本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是過定點(diǎn)且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法．</p><p>　　例4、 設(shè)圓滿足：(1)截軸所得弦長(zhǎng)為2；(2)被軸分成兩段弧，其弧長(zhǎng)的比為，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線

13、的距離最小的圓的方程．</p><p>　　分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．滿足兩個(gè)條件的圓有無數(shù)個(gè)，其圓心的集合可看作動(dòng)點(diǎn)的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點(diǎn)到直線的距離公式，通過求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定圓的半徑，求出圓的方程．</p><p>　　解法一：設(shè)圓心為，半徑為．</p><p>

14、　　則到軸、軸的距離分別為和．</p><p>　　由題設(shè)知：圓截軸所得劣弧所對(duì)的圓心角為，故圓截軸所得弦長(zhǎng)為．</p><p><b>　　∴</b></p><p>　　又圓截軸所得弦長(zhǎng)為2．</p><p><b>　　∴．</b></p><p><b>　

15、　又∵到直線的距離為</b></p><p><b>　　∴</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)，此時(shí)．</p><p><b>　　這時(shí)有</b></p><p><b>　　∴或</b></p><p><b>　

16、　又</b></p><p><b>　　故所求圓的方程為或</b></p><p>　　解法二：同解法一，得</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　∴．</b></p><p><b>　　∴．<

17、;/b></p><p><b>　　將代入上式得：</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　上述方程有實(shí)根，故</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b&

18、gt;　　∴．</b></p><p><b>　　將代入方程得．</b></p><p><b>　　又　　∴．</b></p><p><b>　　由知、同號(hào)．</b></p><p>　　故所求圓的方程為或．</p><p>　　說明：

19、本題是求點(diǎn)到直線距離最小時(shí)的圓的方程，若變換為求面積最小呢？</p><p>　　類型二：切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程</p><p>　　例5　已知圓，求過點(diǎn)與圓相切的切線．</p><p><b>　　解：∵點(diǎn)不在圓上，</b></p><p>　　∴切線的直線方程可設(shè)為</p><p>

20、<b>　　根據(jù)</b></p><p>　　∴ </p><p>　　解得 </p><p>　　所以 </p><p>　　即

21、</p><p>　　因?yàn)檫^圓外一點(diǎn)作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在．易求另一條切線為．</p><p>　　說明：上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補(bǔ)回漏掉的解．</p><p>　　本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0解決（也要注意漏解）．還可以運(yùn)用，求出切點(diǎn)坐標(biāo)、的值來解決，此時(shí)沒有漏解．</p>

22、;<p>　　例6 兩圓與相交于、兩點(diǎn)，求它們的公共弦所在直線的方程．</p><p>　　分析：首先求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線的方程，但是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過程太繁．為了避免求交點(diǎn)，可以采用“設(shè)而不求”的技巧．</p><p>　　解：設(shè)兩圓、的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為，則有：</p><p><b>　?、?lt;/b></p>

23、;<p><b>　?、?lt;/b></p><p><b>　　①－②得：．</b></p><p>　　∵、的坐標(biāo)滿足方程．</p><p>　　∴方程是過、兩點(diǎn)的直線方程．</p><p>　　又過、兩點(diǎn)的直線是唯一的．</p><p>　　∴兩圓、的公共弦所

24、在直線的方程為．</p><p>　　說明：上述解法中，巧妙地避開了求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒有去求它，而是利用曲線與方程的概念達(dá)到了目標(biāo)．從解題的角度上說，這是一種“設(shè)而不求”的技巧，從知識(shí)內(nèi)容的角度上說，還體現(xiàn)了對(duì)曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對(duì)直線方程是一次方程的本質(zhì)認(rèn)識(shí)．它的應(yīng)用很廣泛．</p><p>　　例7、過圓外一點(diǎn)，作這個(gè)圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別是、，求

25、直線的方程。</p><p><b>　　練習(xí)：</b></p><p>　　1．求過點(diǎn)，且與圓相切的直線的方程．</p><p>　　解：設(shè)切線方程為，即，</p><p>　　∵圓心到切線的距離等于半徑，</p><p><b>　　∴，解得， </b></p&g

26、t;<p><b>　　∴切線方程為，即，</b></p><p>　　當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，圓心到此直線的距離等于半徑，</p><p><b>　　故直線也適合題意。</b></p><p>　　所以，所求的直線的方程是或．</p><p>　　2、過坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓

27、相切的直線的方程為 </p><p>　　解：設(shè)直線方程為，即.∵圓方程可化為，∴圓心為（2，-1），半徑為.依題意有，解得或，∴直線方程為或.</p><p>　　3、已知直線與圓相切，則的值為 .</p><p>　　解：∵圓的圓心為（1，0），半徑為1，∴，解得或.</p><p>　　類型三：弦長(zhǎng)、弧問題<

28、;/p><p>　　例8、求直線被圓截得的弦的長(zhǎng).</p><p>　　例9、直線截圓得的劣弧所對(duì)的圓心角為 </p><p>　　解：依題意得，弦心距，故弦長(zhǎng)，從而△OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對(duì)的圓心角為.</p><p>　　例10、求兩圓和的公共弦長(zhǎng)</p><p>　　類型四：直線與圓的位置關(guān)系<

29、;/p><p>　　例11、已知直線和圓，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系.</p><p>　　例12、若直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.</p><p>　　解：∵曲線表示半圓，∴利用數(shù)形結(jié)合法，可得實(shí)數(shù)的取值范圍是或.</p><p>　　例13 圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有幾個(gè)？</p><p>　　分析

30、：借助圖形直觀求解．或先求出直線、的方程，從代數(shù)計(jì)算中尋找解答．</p><p>　　解法一：圓的圓心為，半徑．</p><p>　　設(shè)圓心到直線的距離為，則．</p><p>　　如圖，在圓心同側(cè)，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)符合題意．</p><p><b>　　又．</b></p>

31、;<p>　　∴與直線平行的圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意．</p><p>　　∴符合題意的點(diǎn)共有3個(gè)．</p><p>　　解法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線，且與之距離為1的直線和圓的交點(diǎn)．設(shè)所求直線為，則，</p><p><b>　　∴，即，或，也即</b></p><p><b&g

32、t;　　，或．</b></p><p>　　設(shè)圓的圓心到直線、的距離為、，則</p><p><b>　　，．</b></p><p>　　∴與相切，與圓有一個(gè)公共點(diǎn)；與圓相交，與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．即符合題意的點(diǎn)共3個(gè)．</p><p>　　說明：對(duì)于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：</p>&

33、lt;p>　　設(shè)圓心到直線的距離為，則．</p><p>　　∴圓到距離為1的點(diǎn)有兩個(gè)．</p><p>　　顯然，上述誤解中的是圓心到直線的距離，，只能說明此直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，而不能說明圓上有兩點(diǎn)到此直線的距離為1．</p><p>　　到一條直線的距離等于定值的點(diǎn)，在與此直線距離為這個(gè)定值的兩條平行直線上，因此題中所求的點(diǎn)就是這兩條平行直線與圓的公共點(diǎn)．

34、求直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系來判斷，即根據(jù)圓心與直線的距離和半徑的大小比較來判斷．</p><p>　　練習(xí)1：直線與圓沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是 </p><p>　　解：依題意有，解得.∵，∴.</p><p>　　練習(xí)2：若直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是 .</p><p>

35、;　　解：依題意有，解得，∴的取值范圍是.</p><p>　　3、　圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有（ ）．</p><p>　?。ˋ）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)</p><p>　　分析：把化為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以在圓上共有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，所以選C．</p><p>　　4、　過點(diǎn)

36、作直線，當(dāng)斜率為何值時(shí)，直線與圓有公共點(diǎn)，如圖所示．</p><p>　　分析：觀察動(dòng)畫演示，分析思路．</p><p><b>　　解：設(shè)直線的方程為</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　根據(jù)有</b></p><p

37、><b>　　整理得</b></p><p><b>　　解得</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　類型五：圓與圓的位置關(guān)系</p><p>　　問題導(dǎo)學(xué)四：圓與圓位置關(guān)系如何確定？</p><p>　　例14、判斷

38、圓與圓的位置關(guān)系，</p><p>　　例15：圓和圓的公切線共有 條。</p><p>　　解：∵圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，∴.∵，∴兩圓相交.共有2條公切線。</p><p><b>　　練習(xí)</b></p><p>　　1：若圓與圓相切，則實(shí)數(shù)的取值集合是 .</p&g

39、t;<p>　　解：∵圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，且兩圓相切，∴或，∴或，解得或，或或，∴實(shí)數(shù)的取值集合是.</p><p>　　2：求與圓外切于點(diǎn)，且半徑為的圓的方程.</p><p>　　解：設(shè)所求圓的圓心為，則所求圓的方程為.∵兩圓外切于點(diǎn)，∴，∴，∴，∴所求圓的方程為.</p><p>　　類型六：圓中的對(duì)稱問題</p>

40、<p>　　例16、圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是 </p><p>　　例17　自點(diǎn)發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射，反射光線所在的直線與圓相切</p><p>　　（1）求光線和反射光線所在的直線方程．</p><p>　?。?）光線自到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程．</p><p>　　分析、略解：觀察動(dòng)畫演示，分析思路．根據(jù)對(duì)稱關(guān)系，

41、首先求出點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，其次設(shè)過的圓的切線方程為</p><p>　　根據(jù)，即求出圓的切線的斜率為</p><p><b>　　或</b></p><p>　　進(jìn)一步求出反射光線所在的直線的方程為</p><p><b>　　或</b></p><p>　　最后根據(jù)入射光

42、與反射光關(guān)于軸對(duì)稱，求出入射光所在直線方程為</p><p><b>　　或</b></p><p>　　光路的距離為，可由勾股定理求得．</p><p>　　說明：本題亦可把圓對(duì)稱到軸下方，再求解．</p><p>　　類型七：圓中的最值問題</p><p>　　例18：圓上的點(diǎn)到直線的最大距離

43、與最小距離的差是 </p><p>　　解：∵圓的圓心為（2，2），半徑，∴圓心到直線的距離，∴直線與圓相離，∴圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是.</p><p>　　例19　(1)已知圓，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大、最小值．</p><p>　　(2)已知圓，為圓上任一點(diǎn)．求的最大、最小值，求的最大、最小值．</p><p>

44、;　　分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決．</p><p>　　解：(1)(法1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．</p><p>　　可設(shè)圓的參數(shù)方程為（是參數(shù)）．</p><p><b>　　則</b></p><p><b>　?。ㄆ渲校?lt;/b></p&

45、gt;<p><b>　　所以，．</b></p><p>　　(法2)圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值等于圓心到原點(diǎn)的距離加上半徑1，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值等于圓心到原點(diǎn)的距離減去半徑1．</p><p><b>　　所以．</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p>

46、<p><b>　　所以．．</b></p><p>　　(2) (法1)由得圓的參數(shù)方程：是參數(shù)．</p><p><b>　　則．令，</b></p><p><b>　　得，</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p&

47、gt;<p><b>　　所以，．</b></p><p>　　即的最大值為，最小值為．</p><p><b>　　此時(shí)．</b></p><p>　　所以的最大值為，最小值為．</p><p>　　(法2)設(shè)，則．由于是圓上點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有交點(diǎn)時(shí)，如圖所示，</p>

48、<p>　　兩條切線的斜率分別是最大、最小值．</p><p><b>　　由，得．</b></p><p>　　所以的最大值為，最小值為．</p><p>　　令，同理兩條切線在軸上的截距分別是最大、最小值．</p><p><b>　　由，得．</b></p><p

49、>　　所以的最大值為，最小值為．</p><p>　　例20：已知，，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是 .</p><p>　　解：設(shè)，則.設(shè)圓心為，則，∴的最小值為.</p><p><b>　　練習(xí)：</b></p><p>　　1：已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).</p><p>　　（1）

50、求的最大值與最小值；（2）求的最大值與最小值.</p><p>　　解：（1）設(shè)，則表示點(diǎn)與點(diǎn)（2，1）連線的斜率.當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，取得最大值與最小值.由，解得，∴的最大值為，最小值為.</p><p>　?。?）設(shè)，則表示直線在軸上的截距. 當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，取得最大值與最小值.由，解得，∴的最大值為，最小值為.</p><p>　　2 設(shè)點(diǎn)是圓是任一點(diǎn)，求

51、的取值范圍．</p><p>　　分析一：利用圓上任一點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)代替、，轉(zhuǎn)化為三角問題來解決．</p><p>　　解法一：設(shè)圓上任一點(diǎn)</p><p><b>　　則有，</b></p><p><b>　　∴，∴</b></p><p><b>　　∴．<

52、;/b></p><p><b>　　即（）</b></p><p><b>　　∴．</b></p><p><b>　　又∵</b></p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　解之得：．

53、</b></p><p>　　分析二：的幾何意義是過圓上一動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)的連線的斜率，利用此直線與圓有公共點(diǎn)，可確定出的取值范圍．</p><p>　　解法二：由得：，此直線與圓有公共點(diǎn)，故點(diǎn)到直線的距離．</p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　解得：．</b>

54、</p><p>　　另外，直線與圓的公共點(diǎn)還可以這樣來處理：</p><p><b>　　由消去后得：，</b></p><p><b>　　此方程有實(shí)根，故，</b></p><p><b>　　解之得：．</b></p><p>　　說明：這里將圓

55、上的點(diǎn)用它的參數(shù)式表示出來，從而將求變量的范圍問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)來求解．或者是利用其幾何意義轉(zhuǎn)化成斜率來求解，使問題變得簡(jiǎn)捷方便．</p><p>　　3、已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求的最大值和最小值.</p><p><b>　　類型八：軌跡問題</b></p><p>　　例21、基礎(chǔ)訓(xùn)練：已知點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，求點(diǎn)的軌跡方

56、程.</p><p>　　例22、已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.</p><p>　　例23 如圖所示，已知圓與軸的正方向交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過做圓的切線，切點(diǎn)為，求垂心的軌跡．</p><p>　　分析：按常規(guī)求軌跡的方法，設(shè)，找的關(guān)系非常難．由于點(diǎn)隨，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，可考慮，，三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系．</p>

57、<p><b>　　解：設(shè)，，連結(jié)，，</b></p><p><b>　　則，，是切線，</b></p><p><b>　　所以，，，</b></p><p><b>　　所以四邊形是菱形．</b></p><p><b>　　

58、所以，得</b></p><p><b>　　又滿足，</b></p><p>　　所以即是所求軌跡方程．</p><p>　　說明：題目巧妙運(yùn)用了三角形垂心的性質(zhì)及菱形的相關(guān)知識(shí)．采取代入法求軌跡方程．做題時(shí)應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì)，求軌跡時(shí)應(yīng)注意分析與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)，如相關(guān)聯(lián)點(diǎn)軌跡方程已知，可考慮代入法．</p>

59、<p>　　例24 已知圓的方程為，圓內(nèi)有定點(diǎn)，圓周上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、，使，求矩形的頂點(diǎn)的軌跡方程．</p><p>　　分析：利用幾何法求解，或利用轉(zhuǎn)移法求解，或利用參數(shù)法求解．</p><p>　　解法一：如圖，在矩形中，連結(jié)，交于，顯然，，</p><p>　　在直角三角形中，若設(shè)，則．</p><p><b>　　由，

60、即</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　也即，這便是的軌跡方程．</p><p>　　解法二：設(shè)、、，則，．</p><p><b>　　又，即</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p&g

61、t;<p>　　又與的中點(diǎn)重合，故，，即</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p><b>　?、伲冢校?lt;/b></p><p>　　這就是所求的軌跡方程．</p><p><b>　　解法三：設(shè)、、，</b></p><p&

62、gt;　　由于為矩形，故與的中點(diǎn)重合，即有</p><p><b>　　，　　?、?lt;/b></p><p><b>　　，　　?、?lt;/b></p><p><b>　　又由有　?、?lt;/b></p><p>　　聯(lián)立①、②、③消去、，即可得點(diǎn)的軌跡方程為．</p>

63、<p>　　說明：本題的條件較多且較隱含，解題時(shí)，思路應(yīng)清晰，且應(yīng)充分利用圖形的幾何性質(zhì)，否則，將使解題陷入困境之中．</p><p>　　本題給出三種解法．其中的解法一是幾何方法，它充分利用了圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系．而解法二與解法三，從本質(zhì)上是一樣的，都可以稱為參數(shù)方法．解法二涉及到了、、、四個(gè)參數(shù)，故需列出五個(gè)方程；而解法三中，由于借助了圓的參數(shù)方程，只涉及到兩個(gè)參數(shù)、，故只需列出三個(gè)方程便可．上述三

64、種解法的共同之處是，利用了圖形的幾何特征，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法求解．</p><p><b>　　練習(xí)：</b></p><p>　　1、由動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，=600，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是 .</p><p>　　解：設(shè).∵=600，∴=300.∵，∴，∴，化簡(jiǎn)得，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.</p>

65、<p>　　練習(xí)鞏固：設(shè)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離的比為定值，求點(diǎn)的軌跡.</p><p>　　解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.由，得，</p><p><b>　　化簡(jiǎn)得.</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，整理得；</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得.</b></p&

66、gt;<p>　　所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓；</p><p>　　當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是軸.</p><p>　　2、已知兩定點(diǎn)，，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所包圍的面積等于 </p><p>　　解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是.由，得，化簡(jiǎn)得，∴點(diǎn)的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓，∴所求面積為.</p><p>

67、　　4、已知定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，是線段上的一點(diǎn)，且，問點(diǎn)的軌跡是什么？</p><p><b>　　解：設(shè).∵，∴，</b></p><p>　　∴，∴.∵點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，∴，∴，即，∴點(diǎn)的軌跡方程是.</p><p>　　例5、已知定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是 .</p><p>

68、;　　解：設(shè).∵是的平分線，∴， ∴.由變式1可得點(diǎn)的軌跡方程是.</p><p>　　練習(xí)鞏固：已知直線與圓相交于、兩點(diǎn)，以、為鄰邊作平行四邊形，求點(diǎn)的軌跡方程.</p><p>　　解：設(shè)，的中點(diǎn)為.∵是平行四邊形，∴是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，且.∵直線經(jīng)過定點(diǎn)，∴，∴，化簡(jiǎn)得.∴點(diǎn)的軌跡方程是.</p><p>　　類型九：圓的綜合應(yīng)用</p>&

69、lt;p>　　例25、 已知圓與直線相交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值．</p><p>　　分析：設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)為、，則由，可得，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解．或因?yàn)橥ㄟ^原點(diǎn)的直線的斜率為，由直線與圓的方程構(gòu)造以為未知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出的值，從而使問題得以解決．</p><p>　　解法一：設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)為、．一方面，由，得</p><

70、p>　　，即，也即：．　　?、?lt;/p><p>　　另一方面，、是方程組的實(shí)數(shù)解，即、是方程　　　?、?lt;/p><p><b>　　的兩個(gè)根．</b></p><p><b>　　∴，．?、?lt;/b></p><p><b>　　又、在直線上，</b></p>

71、<p><b>　　∴．</b></p><p>　　將③代入，得．　?、?lt;/p><p>　　將③、④代入①，解得，代入方程②，檢驗(yàn)成立，</p><p><b>　　∴．</b></p><p>　　解法二：由直線方程可得，代入圓的方程，有</p><p>&

72、lt;b>　　，</b></p><p><b>　　整理，得．</b></p><p><b>　　由于，故可得</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　∴，是上述方程兩根．故．得</p><p><

73、b>　　，解得．</b></p><p><b>　　經(jīng)檢驗(yàn)可知為所求．</b></p><p>　　說明：求解本題時(shí)，應(yīng)避免去求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)的具體數(shù)值．除此之外，還應(yīng)對(duì)求出的值進(jìn)行必要的檢驗(yàn)，這是因?yàn)樵谇蠼膺^程中并沒有確保有交點(diǎn)、存在．</p><p>　　解法一顯示了一種解這類題的通法，解法二的關(guān)鍵在于依據(jù)直線方程構(gòu)造出一

74、個(gè)關(guān)于的二次齊次方程，雖有規(guī)律可循，但需一定的變形技巧，同時(shí)也可看出，這種方法給人以一種淋漓酣暢，一氣呵成之感．</p><p>　　例26、已知對(duì)于圓上任一點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．</p><p>　　分析一：為了使不等式恒成立，即使恒成立，只須使就行了．因此只要求出的最小值，的范圍就可求得．</p><p><b>　　解法一：令，<

75、/b></p><p><b>　　由</b></p><p><b>　　得：</b></p><p><b>　　∵且，</b></p><p><b>　　∴．</b></p><p><b>　　即，∴，&l

76、t;/b></p><p><b>　　∴，即</b></p><p><b>　　又恒成立即恒成立．</b></p><p><b>　　∴成立，</b></p><p><b>　　∴．</b></p><p>　　分析二

77、：設(shè)圓上一點(diǎn)[因?yàn)檫@時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程]問題轉(zhuǎn)化為利用三解問題來解．</p><p>　　解法二：設(shè)圓上任一點(diǎn)</p><p><b>　　∴，</b></p><p><b>　　∵恒成立</b></p><p><b>　　∴</b></p><p>

78、<b>　　即恒成立．</b></p><p>　　∴只須不小于的最大值．</p><p><b>　　設(shè)</b></p><p><b>　　∴即．</b></p><p>　　說明：在這種解法中，運(yùn)用了圓上的點(diǎn)的參數(shù)設(shè)法．一般地，把圓上的點(diǎn)設(shè)為()．采用這種設(shè)法一方面可減少

79、參數(shù)的個(gè)數(shù)，另一方面可以靈活地運(yùn)用三角公式．從代數(shù)觀點(diǎn)來看，這種做法的實(shí)質(zhì)就是三角代換．</p><p>　　例27 有一種大型商品，、兩地都有出售，且價(jià)格相同．某地居民從兩地之一購(gòu)得商品后運(yùn)回的費(fèi)用是：每單位距離地的運(yùn)費(fèi)是地的運(yùn)費(fèi)的3倍．已知、兩地距離為10公里，顧客選擇地或地購(gòu)買這種商品的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低．求、兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購(gòu)貨

80、地點(diǎn)．</p><p>　　分析：該題不論是問題的背景或生活實(shí)際的貼近程度上都具有深刻的實(shí)際意義和較強(qiáng)的應(yīng)用意識(shí)，啟示我們?cè)趯W(xué)習(xí)中要注意聯(lián)系實(shí)際，要重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活以及相關(guān)學(xué)科的應(yīng)用．解題時(shí)要明確題意，掌握建立數(shù)學(xué)模型的方法．</p><p>　　解：以、所確定的直線為軸，的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．</p><p><b>　　∵

81、，∴，．</b></p><p>　　設(shè)某地的坐標(biāo)為，且地居民選擇地購(gòu)買商品便宜，并設(shè)地的運(yùn)費(fèi)為元/公里，地的運(yùn)費(fèi)為元/公里．因?yàn)榈鼐用褓?gòu)貨總費(fèi)用滿足條件：</p><p>　　價(jià)格＋地運(yùn)費(fèi)≤價(jià)格＋地的運(yùn)費(fèi)</p><p><b>　　即：．</b></p><p><b>　　∵，</b&g

82、t;</p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　化簡(jiǎn)整理得：</b></p><p>　　∴以點(diǎn)為圓心為半徑的圓是兩地購(gòu)貨的分界線．</p><p>　　圓內(nèi)的居民從地購(gòu)貨便宜，圓外的居民從地購(gòu)貨便宜，圓上的居民從、兩地購(gòu)貨的總費(fèi)用相等．因此可隨意從、兩地之一購(gòu)貨．<