高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題

1、■■■第1頁共21頁■■■高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題類型一：圓的方程類型一：圓的方程例1求過兩點(diǎn))41(A、)23(B且圓心在直線0?y上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn))42(P與圓的關(guān)系分析：分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系，只須看點(diǎn)P與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑，則點(diǎn)在圓外；若距離等于半徑，則點(diǎn)在圓上；若距離小于半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi)解法一：解法一：（待定

2、系數(shù)法）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為222)()(rbyax????∵圓心在0?y上，故0?b∴圓的方程為222)(ryax???又∵該圓過)41(A、)23(B兩點(diǎn)∴???????????22224)3(16)1(rara解之得：1??a，202?r所以所求圓的方程為20)1(22???yx解法二：解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）因?yàn)閳A過)41(A、)23(B兩點(diǎn)，所以圓心C必在線段AB的垂直平分線l上，又因?yàn)?3124?????ABk，故l的

3、斜率為1，又AB的中點(diǎn)為)32(，故AB的垂直平分線l的方程為：23???xy即01???yx又知圓心在直線0?y上，故圓心坐標(biāo)為)01(?C∴半徑204)11(22?????ACr故所求圓的方程為20)1(22???yx又點(diǎn))42(P到圓心)01(?C的距離為rPCd??????254)12(22∴點(diǎn)P在圓外說明：說明：本題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個(gè)關(guān)鍵的量，然后根據(jù)圓心與定點(diǎn)之間的距離和半徑的大小關(guān)系

4、來判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若將點(diǎn)換成直線又該如何來判定直線與圓的位置關(guān)系呢？■■■第3頁共21頁■■■∴5252yxyx???∴兩直線交角的平分線方程是03??yx或03??yx又∵圓過點(diǎn))50(A，∴圓心C只能在直線03??yx上設(shè)圓心)3(ttC∵C到直線02??yx的距離等于AC，∴22)53(532????tttt化簡(jiǎn)整理得0562???tt解得：1?t或5?t∴圓心是)31(，半徑為5或圓心是)155(，半徑為55∴所求圓的方程

5、為5)3()1(22????yx或125)15()5(22????yx說明：說明：本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是過定點(diǎn)且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法例4、設(shè)圓滿足：(1)截y軸所得弦長(zhǎng)為2；(2)被x軸分成兩段弧，其弧長(zhǎng)的比為1:3，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線02??yxl：的距離最小的圓的方程分析：分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑

6、，便可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程滿足兩個(gè)條件的圓有無數(shù)個(gè)，其圓心的集合可看作動(dòng)點(diǎn)的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點(diǎn)到直線的距離公式，通過求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定圓的半徑，求出圓的方程解法一：解法一：設(shè)圓心為)(baP，半徑為r則P到x軸、y軸的距離分別為b和a由題設(shè)知：圓截x軸所得劣弧所對(duì)的圓心角為?90，故圓截x軸所得弦長(zhǎng)為r2∴222br?又圓截y軸所得弦長(zhǎng)為2∴122??ar又∵)(baP到直線02??yx的