數(shù)學(xué)難題

1、世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一四色猜想四色猜想的提出來(lái)自英國(guó)。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來(lái)到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來(lái)，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色?！边@個(gè)結(jié)論能不能從數(shù)學(xué)上加以嚴(yán)格證明呢？他和在大學(xué)讀書(shū)的弟弟格里斯研究一直沒(méi)有進(jìn)展。1852年10月，他的弟弟就這個(gè)問(wèn)題的證明請(qǐng)教他的老師、著名數(shù)學(xué)家德.摩爾根，摩爾根也沒(méi)有能找到解決這個(gè)問(wèn)題的途徑，于是寫(xiě)信向

2、自己的好友、著名數(shù)學(xué)家哈密爾頓爵士請(qǐng)教。直到1865年哈密爾頓逝世為止，問(wèn)題也沒(méi)有能夠解決。1872年，英國(guó)當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問(wèn)題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問(wèn)題。1878～1880年兩年間，著名的律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。11年后，即1890年，數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計(jì)算指出肯普的證明是錯(cuò)誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。于是，人們開(kāi)始認(rèn)識(shí)到

3、，這個(gè)貌似容易的題目實(shí)是一個(gè)可與費(fèi)馬猜想相媲美的難題。20世紀(jì)以來(lái)，科學(xué)家們對(duì)四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行。1913年，伯克霍夫在肯普的基礎(chǔ)上引進(jìn)了一些新技巧，美國(guó)數(shù)學(xué)家富蘭克林于1939年證明了22國(guó)以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國(guó)推進(jìn)到35國(guó)。1960年，有人又證明了39國(guó)以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨后又推進(jìn)到了50國(guó)?？磥?lái)這種推進(jìn)仍然十分緩慢。電子計(jì)算機(jī)問(wèn)世以后，由于演算速度迅速提高，加之人

4、機(jī)對(duì)話(huà)的出現(xiàn)，大大加快了對(duì)四色猜想證明的進(jìn)程。1976年，美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。四色猜想的計(jì)算機(jī)證明，轟動(dòng)了世界。它不僅解決了一個(gè)歷時(shí)100多年的難題，而且有可能成為數(shù)學(xué)史上一系列新思維的起點(diǎn)。不過(guò)也有不少數(shù)學(xué)家并不滿(mǎn)足于計(jì)算機(jī)取得的成就，他們還在尋找一種簡(jiǎn)捷明快的書(shū)面證明方法。世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一費(fèi)馬最后定理費(fèi)馬是十七世紀(jì)最

5、卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在數(shù)學(xué)許多領(lǐng)域中都有極大的貢獻(xiàn)，本行是專(zhuān)業(yè)的律師，為了表彰他的數(shù)學(xué)造詣，世人冠以「業(yè)余王子」之美稱(chēng)，在三百六十多年前的某一天，費(fèi)馬正在閱讀一本古希臘數(shù)學(xué)家戴奧芬多斯的數(shù)學(xué)書(shū)時(shí)，突然心血來(lái)潮在書(shū)頁(yè)的空白處，寫(xiě)下一個(gè)看起來(lái)很簡(jiǎn)單的定理這個(gè)定理的內(nèi)容是有關(guān)一個(gè)方程式x2y2=z2的正整數(shù)解的問(wèn)題，當(dāng)n=2時(shí)就是我們所熟知的畢氏定理（中國(guó)古代又稱(chēng)勾股弦定理）：x2y2=z2，此處z表一直角形之斜邊而x、y為其之兩股，也就是一

6、個(gè)直角三角形之斜邊的平方等於它的兩股的平方和，這個(gè)方程式當(dāng)然有整數(shù)解（其實(shí)有很多）。費(fèi)馬聲稱(chēng)當(dāng)n2時(shí)，就找不到滿(mǎn)足xnyn=zn的整數(shù)解，例如：方程式x3y3=z3就無(wú)法找到整數(shù)解。當(dāng)時(shí)費(fèi)馬并沒(méi)有說(shuō)明原因，他只是留下這個(gè)敘述并且也說(shuō)他已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理的證明妙法，只是書(shū)頁(yè)的空白處不夠無(wú)法寫(xiě)下。始作俑者的費(fèi)馬也因此留下了千古的難題，三百多年來(lái)無(wú)數(shù)的數(shù)學(xué)家嘗試要去解決這個(gè)難題卻都徒勞無(wú)功。這個(gè)號(hào)稱(chēng)世紀(jì)難題的費(fèi)馬最后定理也就成了數(shù)學(xué)界的心頭大患

7、，極欲解之而后快。十九世紀(jì)時(shí)法國(guó)的法蘭西斯數(shù)學(xué)院曾經(jīng)在一八一五年和一八六0年兩度懸賞金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)潞腿俜ɡ山o任何解決此一難題的人，可惜都沒(méi)有人能夠領(lǐng)到獎(jiǎng)賞。德國(guó)的數(shù)學(xué)家佛爾夫斯克爾（PWolfskehl）在1908年提供十萬(wàn)馬克，給能夠證明費(fèi)馬最后定理是正確的人，有效期間為100年。其間由於經(jīng)濟(jì)大蕭條的原因，此筆獎(jiǎng)?lì)~已貶值至七千五百馬克，雖然如此仍然吸引不少的「數(shù)學(xué)癡」。二十世紀(jì)電腦發(fā)展以后，許多數(shù)學(xué)家用電腦計(jì)算可以證明這當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)求(1

8、1)^k（12）^k(13)^k(14)^k(15)^k…（1n）^k=歐拉已求出：(11)^2（12）^2(13)^2(14)^2(15)^2…（1n）^2=（π^2）6并且當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)的表達(dá)式。2、eπ的超越性此題為希爾伯特第7問(wèn)題中的一個(gè)特例。已經(jīng)證明了e^π的超越性，卻至今未有人證明eπ的超越性。3、素?cái)?shù)問(wèn)題。證明：ζ(s)=1(12)^s(13)^s(14)^s(15)^s…(s屬于復(fù)數(shù)域)所定義的函數(shù)ζ(s)的零點(diǎn)，除負(fù)整實(shí)

9、數(shù)外，全都具有實(shí)部12。此即黎曼猜想。也就是希爾伯特第8問(wèn)題。美國(guó)數(shù)學(xué)家用計(jì)算機(jī)算了ζ(s)函數(shù)前300萬(wàn)個(gè)零點(diǎn)確實(shí)符合猜想。希爾伯特認(rèn)為黎曼猜想的解決能夠使我們嚴(yán)格地去解決歌德巴赫猜想（任一偶數(shù)可以分解為兩素?cái)?shù)之和）和孿生素?cái)?shù)猜想（存在無(wú)窮多相差為2的素?cái)?shù)）。引申的問(wèn)題是：素?cái)?shù)的表達(dá)公式？素?cái)?shù)的本質(zhì)是什么？4、存在奇完全數(shù)嗎？所謂完全數(shù)，就是等于其因子的和的數(shù)。前三個(gè)完全數(shù)是：6=12328=124714496=12481631621

10、24248目前已知的32個(gè)完全數(shù)全部是偶數(shù)。1973年得到的結(jié)論是如果n為奇完全數(shù)，則：n10^505、除了8=2^39=3^2外，再?zèng)]有兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)可表為其他正整數(shù)的方冪了嗎？這是卡塔蘭猜想（1842）。1962年我國(guó)數(shù)學(xué)家柯召獨(dú)立證明了不存在連續(xù)三個(gè)整數(shù)可表為其它正整數(shù)的方冪。1976年，荷蘭數(shù)學(xué)家證明了大于某個(gè)數(shù)的任何兩個(gè)正整數(shù)冪都不連續(xù)。因此只要檢查小于這個(gè)數(shù)的任意正整數(shù)冪是否有連續(xù)的就行了。但是，由于這個(gè)數(shù)太大，有500多位

11、，已超出計(jì)算機(jī)的計(jì)算范圍。所以，這個(gè)猜想幾乎是正確的，但是至今無(wú)人能夠證實(shí)。6、任給一個(gè)正整數(shù)n，如果n為偶數(shù)，就將它變?yōu)閚2如果除后變?yōu)槠鏀?shù)，則將它乘3加1（即3n1）。不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限步后，一定可以得到1嗎？這角古猜想（1930）。人們通過(guò)大量的驗(yàn)算，從來(lái)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)反例，但沒(méi)有人能證明。三希爾伯特23問(wèn)題里尚未解決的問(wèn)題。1、問(wèn)題1連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。全體正整數(shù)（被稱(chēng)為可數(shù)集）的基數(shù)和實(shí)數(shù)集合（被稱(chēng)為連續(xù)統(tǒng)）的基數(shù)c之間沒(méi)有其它基