第四講 奇妙的方格表

1、第四講第四講奇妙的方格表奇妙的方格表方格表是人們最熟悉最簡(jiǎn)單的圖形之一，但這個(gè)簡(jiǎn)單的圖形卻可以說(shuō)是一個(gè)廣闊的數(shù)學(xué)天地，其中包含著許許多多奇妙的數(shù)學(xué)問(wèn)題許多問(wèn)題看起來(lái)非常簡(jiǎn)單非常有趣，但卻要用到許多數(shù)學(xué)方法，蘊(yùn)含著許多深刻的道理這些方法和道理在我們以后的學(xué)習(xí)中將經(jīng)常用到一、計(jì)數(shù)問(wèn)題一、計(jì)數(shù)問(wèn)題例1下圖中共有多少個(gè)矩形？分析分析如果直接數(shù)，很容易遺漏或者重復(fù)為了避免遺漏或重復(fù)，可以將圖形中的各種矩形按形狀大小分類，分別計(jì)數(shù)后再相加在分類計(jì)數(shù)

2、中如果能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，那就更簡(jiǎn)單了解法1：在已知的方格表中，“□”共有53=15個(gè)，“□□”共有43=12個(gè)，“□□□”共有33＝9個(gè)，…如此進(jìn)行下去，把各類矩形的個(gè)數(shù)相加，可得矩形總數(shù)為90個(gè)解法2：將各類矩形列出表來(lái)（如下頁(yè)圖），分析各類矩形個(gè)數(shù)的算式，很容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律，于是可得矩形總個(gè)數(shù)為：（1＋23＋45）（3＋2＋1）=90個(gè)二、染色方法二、染色方法染色方法實(shí)際上是一種分類方法，不過(guò)對(duì)有些問(wèn)題來(lái)說(shuō)，通過(guò)染色能使問(wèn)題比較直觀，解決起來(lái)

3、更方便例4如圖是半張象棋盤(pán)，一只馬能否從A處出發(fā)，跳遍半張象棋盤(pán)而使每個(gè)格點(diǎn)只經(jīng)過(guò)一次？解：把半張象棋盤(pán)的格點(diǎn)（共45個(gè)）相間地涂上黑、白兩色（黑色用“”表示，如圖共有22個(gè)黑點(diǎn)，23個(gè)白點(diǎn)按照馬走步的規(guī)則，每步走“日”字的對(duì)角線，不論馬在何處也不論往哪個(gè)方向跳，起點(diǎn)和終點(diǎn)的顏色總是不同的由于A處是黑格點(diǎn)，如果馬從A處出發(fā)跳遍每個(gè)格點(diǎn)且每個(gè)格點(diǎn)只經(jīng)過(guò)一次，那么需經(jīng)過(guò)21個(gè)黑點(diǎn)，23個(gè)白點(diǎn)，黑、白格點(diǎn)數(shù)相差2，故這樣的走法是不可能的例5正

4、方體形的房子共分27個(gè)小房間，每相鄰兩個(gè)房間都有門相通（上、下兩間也有門相通）每個(gè)房間里都有一塊奶酪，右下角的房間有一門通向外面一只耗子從最中間的房間出發(fā)，想走遍各個(gè)房間，且每個(gè)房間只經(jīng)過(guò)一次，最后從右下角出來(lái)，這樣是可否能？如果可能，該怎么走？解：將27個(gè)小正方體相間染成黑、白兩色（如圖），共13個(gè)房黑間，14個(gè)白房間，中間房間是黑色如果從中間房間出發(fā)，每個(gè)房間經(jīng)過(guò)一次，共需經(jīng)過(guò)12個(gè)黑房間（除中間房間外）、14個(gè)白房間但是與黑房間相