特征函數(shù)在極限理論中的應(yīng)用

1、1.集合列的特征函數(shù)集合列的特征函數(shù)1.1集合集合E的特征函數(shù)定義：對于的特征函數(shù)定義：對于X中的子集中的子集E，作，作=EX?????ExEx01稱：是定義在是定義在X上的集合上的集合E的特征函數(shù)。的特征函數(shù)。EX??10?X由定義知，特征函數(shù)在一定意義上作為集合E的代表。EX借助特征函數(shù)，集列的極限運算可轉(zhuǎn)換特征函數(shù)的相應(yīng)運算。1.2定理：對任意的集合列定理：對任意的集合列，有，有??nA?=，nAnX??limnnAX??lim?

2、=，nAnX??limnnAX??lim?集列集列收斂的充要條件是它的特征函數(shù)列收斂的充要條件是它的特征函數(shù)列收斂，且收斂，且??nA??nAX=nAnX??limnnAX??lim定理說明了集列?。ㄉ?、下）極限的運算與求特征函數(shù)的運算是可交換運算的次序。集??nA列收斂性與數(shù)列收斂性等價。??nA??nAX證明：由特征函數(shù)的定義，=1或0，nAnX??lim，設(shè)=1有無限個，使得=1，x?nAnX??lim?knknAX有無限個，使得

3、，?knknAx?，?nnAx???lim=1（1）?nAnX??lim，設(shè)=0有無限個，使得=0x?nAnX??lim?knknAX有無限個，使得，?knknAx?，?nnAx???lim=0（2）?nnAX??lim若存在自然數(shù)使得上的特征函數(shù)，上的特征函數(shù)，和在I??xF??xf??xF??xf上單調(diào)增加且存在上單調(diào)增加且存在I的內(nèi)點的內(nèi)點使得使得=0，則，則存在且等于存在且等于0x??0xFnnx??lim0x證明：不妨設(shè)對一切

4、自然數(shù)n，迭代數(shù)列（3）恒有，Ixn?記=.1I0x2I0x由題設(shè)及引理得在和上均單調(diào)增加且連續(xù)。??xF1I2I若對有=，則由在I上單調(diào)增加有Ix?12x??xf0x???xf==，3x??2xf??0xf?0x一般地由數(shù)學(xué)歸納法易證=（n=12，……）；1?nx??00xxf?若對有=，類似地可以證明Ix?12x??01xxf?（n=12，……）。??01xxfxnn???所以是迭代數(shù)列（3）在或上的特征函數(shù)。??xF1I2I故由定