第五章一元函數(shù)積分學(xué)

1、第五章一元函數(shù)積分學(xué)本章前半部分介紹不定積分的概念及其計(jì)算方法，然后簡單介紹微分方程的基本概念以及利用不定積分方法求解兩類簡單微分方程；后半部分介紹定積分的概念、計(jì)算方法，以及定積分在幾何和物理的應(yīng)用。本章內(nèi)容占全出考試內(nèi)容25%。重點(diǎn)是不定積分和定積分計(jì)算，難點(diǎn)是換元法，分部積分。5.1原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分定義5.1設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I上的一個(gè)函數(shù)。如果F(x)是區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù)，并且對(duì)任意的均有或Df(x

2、)=f(x)dx則稱F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)。例如，因?yàn)閷?duì)任意的均有，所以sinx是cosx在區(qū)間（∞，∞）內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)。因?yàn)閷?duì)任意的均有，所以arcsinx是在（1，1）內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)。顯然，一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)不是唯一的。事實(shí)上，如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，即，那么，對(duì)任意常數(shù)C，均有，從而F(x)C也是f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)。這說明，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有一個(gè)原函數(shù)，那么f(x)在I上有無

3、窮多個(gè)原函數(shù)。另一方面，如果函數(shù)F(x)和G(x)都是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)，那么，從而G(x)F(x)=C，即G(x)=F(x)C，其中C為某個(gè)常數(shù)。因此，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有一個(gè)原函數(shù)F(x)，那么f(x)在區(qū)間I上的全體原函數(shù)組成的集合為函數(shù)族。定義5.2如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)，那么稱f(x)在I上的全體原函數(shù)組成的函數(shù)族為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記為，其中記號(hào)稱為積分號(hào)，f(x)稱為被積函數(shù)

4、，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量。由定義以及前面的說明知，如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，那么，其中C為任意常數(shù)，例如，，。一個(gè)函數(shù)要具備什么條件，才能保證它的原函數(shù)一定存在呢？關(guān)于這個(gè)問題，我們有如下結(jié)論，（證明略去）定理5.1（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么f(x)在區(qū)間I上一定有原函數(shù)，即一定存在區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使得。簡單地說就是：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)。由于初等函數(shù)在其定義

5、區(qū)間上連續(xù)，所以初等函數(shù)在其定義區(qū)間上一定有原函數(shù)。怎樣求一個(gè)連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)或不定積分呢？后面幾節(jié)討論這個(gè)問題。下面僅給出一些簡單函數(shù)的不定積分的例子。（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）。以上14個(gè)基本積分公式是求不定積分的基礎(chǔ)，其他函數(shù)的不定積分往往經(jīng)過運(yùn)算變形后，最終都?xì)w結(jié)為這些不定積分，因此必須牢牢記住。下面舉例說明如何利用這些公式計(jì)算一些簡單的不定積分。例4：求不定積分。[答疑編號(hào)1005

6、0104：針對(duì)該題提問]解：例5：求不定積分。[答疑編號(hào)10050105：針對(duì)該題提問]解：例6：求不定積分。[答疑編號(hào)10050106：針對(duì)該題提問]解：例7：求不定積分。[答疑編號(hào)10050107：針對(duì)該題提問]解：由還原公式∴e2lnx=x2三、不定積分的基本性質(zhì)僅僅有以上的基本積分公式是很不夠的，即使像lnx，tanx，cotx，secx，cscx，arctanx，arccotx這樣一些基本初等函數(shù)，也無法直接利用以上基本公式給