線性變換在多變量函數(shù)積分學(xué)中的應(yīng)用

1、線性變換在多變量函數(shù)積分學(xué)中的應(yīng)用線性變換在多變量函數(shù)積分學(xué)中的應(yīng)用在多變量函數(shù)積分學(xué)中合理進(jìn)行變量代換能起到化繁為簡的作用常用的變量代換有球坐標(biāo)極坐標(biāo)代換或類似此類的代換。而事實(shí)上，線性代數(shù)為我們看問題提供了一個(gè)非常好的視角。線性變換用于多重積分，曲面，曲線積分中，往往更為靈活，并不是如球坐標(biāo)等代換較易看出。下作討論。在OXYZ坐標(biāo)系中，將一組基（X，Y，Z）乘一個(gè)矩陣M33，轉(zhuǎn)化為另一組基（U，V，W），這時(shí)Jacob行列式為=de

2、tM=，特別地當(dāng)M為正交)()(wvuzyx??1?Mdet1矩陣，即進(jìn)行正交變換，Jacob行列式為1，在進(jìn)行線性變換時(shí)，要合理選擇M。1合理選擇M，化復(fù)雜區(qū)域?yàn)楹唵螀^(qū)域。如計(jì)算由平行六面體1111hzcybxa????2222hzcybxa????圍成的體積線性變換后此空間不規(guī)則區(qū)域可化為標(biāo)準(zhǔn)長方體3333hzcybxa????只需另，uzcybxa???111vzcbyxa???22wzcybxa???333易確定h1≤u≤h1h

3、2≤v≤h2h3≤w≤h3=。)()(wvuzyx??3332221111cbacbacba于是V=dxdydz=dw=。。???v??????112233hhhhhhdvdu3332221111cbacbacba3332221113218cbacbacbahhh這樣看問題，避免了為確定積分限而進(jìn)行的復(fù)雜計(jì)算，而且xyz地位等價(jià)，化為累次積分，往往計(jì)算量很大。2合理選擇M，將復(fù)雜的空間曲線轉(zhuǎn)化為某個(gè)平面上的規(guī)則曲線。在曲線積分中，若易找

4、出r(t)則計(jì)算簡便，但若曲線由很一般的曲面交線給出，如果曲線在“傾斜”的平面上，線性變換可化到OXYZ平面上，便于研究。如計(jì)算，:球面與交線。dlxl?2l2222azyx???0???zyx分析此問題，由于xyz對稱，可考慮本文不再討論，事實(shí)上，觀察知，是???????llldladlzyxdlx31)(3122222l平面上的圓，半徑為圓心在原點(diǎn)，考慮變換到O坐標(biāo)系0???zyxaUVW?中，使此圓落在平面內(nèi)，圓方程為。ouv01

5、22???wvu在OXYZ系中，三個(gè)基向量，在O系中，三個(gè)基向量為，kji???UVW?321eee???令，則圓所在平面。再找，利用正交性，可令33kjie????????3e?21ee??于是被完全確定為。至此622kjie???????1e?232jiee???????于是，=26203yxuzyxvzyxw?????????dlxl?2，再令易得結(jié)dlvudlwvull22)62()362(??????sincos??avau?

6、?果。3最后，舉一例作為正交變換應(yīng)用的說明求其中222dxdyeczbxyax??????????002???acba分析：這與似乎有關(guān)系，如何轉(zhuǎn)化？dxex????2因?yàn)槎ㄕ??cbbayxcbbayxcybxyax)(222????????????故正交，使即正交，使得且P??????????????????yxPyxA?00211????????????????????AcbbaA，1det21222122??????Pyxcy