高等代數(shù)_李海龍_習(xí)題第10章群、環(huán)和域簡(jiǎn)介

1、第十章第十章群、環(huán)和域簡(jiǎn)介群、環(huán)和域簡(jiǎn)介10.1群1判斷下列集合對(duì)于所給的運(yùn)算來(lái)說(shuō)哪些作成群哪些不作成群：(1)某一數(shù)域F上全體nn?矩陣的加法；(2)全體正整數(shù)對(duì)于數(shù)的乘法；(3)??2xxZ?對(duì)于數(shù)的乘法；(4)??01xRx???對(duì)于數(shù)的乘法；(5)??11?對(duì)于數(shù)的乘法解：解：(1)設(shè)數(shù)域F上全體nn?矩陣的集合為()nMF，對(duì)于矩陣的加法來(lái)說(shuō)()nMF作成一個(gè)加群因?yàn)閷?duì)任意()nABCMF?，有1()ABC??=()ABC??

2、(加法結(jié)合律)2()nMF中存在零矩陣O，使得對(duì)任意的A?()nMF，有AOOAA????3對(duì)于A?()nMF，有A??()nMF使得()()AAAAO??????4對(duì)于AB?()nMF，有ABBA???(2)全體正整數(shù)對(duì)于數(shù)的乘法不作成群因?yàn)閷?duì)于數(shù)的乘法來(lái)說(shuō)，單位元是1，但是對(duì)于正整數(shù)a=2來(lái)說(shuō)不存在正整數(shù)b使得ab=1(3)集合??2xMxZ??對(duì)于數(shù)的乘法作成阿貝爾群因?yàn)?對(duì)于12x，22x，32x?M，123xxxZ?，有312

3、(22)2xxx??=1232xxx??=3122(22)xxx??2在M中有021?，使得2xM?，有022x?=022x?=2x3對(duì)于2xM?，存在2xM??使得22xx??=22xx??=02=12當(dāng)00mn??時(shí)，()mna=1[()]mna??=1[()]mna??=1()mna??=11[()]mna??=mna當(dāng)00mn??時(shí)，()mna=1[()]mna??=1()mna??=11[()]mna??=mna3當(dāng)00mn?

4、?時(shí)，()mna=1[()]mna??=11[()]mna????=()mna??=mna??=mna綜上所述所證，群G中指數(shù)規(guī)則（1）、（2）成立3設(shè)Gabc?，G的乘法由下面的表給出：abcaabcbbcaccab證明G對(duì)于所給的乘法作成一個(gè)群證明：證明：根據(jù)G的乘法表可知abbba??，accca??，bcacb??，所以G的乘法是可換的，以下證明G對(duì)于乘法作成一個(gè)群1結(jié)合律成立由于G對(duì)于所給的乘法是可換的，對(duì)于結(jié)合律我們只要驗(yàn)證

5、也容易驗(yàn)證以下的情況即可()()abcabc?；()()aabaab?；()()aacaac?；()()bbabba?；()()bbcbbc?；()()ccacca?；()()ccbccb?其它情況由G的乘法可換性，立即可以證得2G中有單位元a，使得對(duì)于G中任意元素abc，都有aaa?，abbab??，accac??3G中每一個(gè)元素都有逆元，a的逆元是a，（因?yàn)閍aa?），而b的逆元是c，c的逆元是b，（因?yàn)閎ccba??）所以G對(duì)于所