[學習]概率與數理統(tǒng)計第1章

1、概率與統(tǒng)計,開課系：理學院 統(tǒng)計與金融數學系課程主頁: http://jpkc.njust.edu.cn/gltj/index.htme-mail: stat @ mail.njust.edu.cn,教材：《概率與統(tǒng)計》(第二版） 陳萍 等編 科學出版社,參考書：1.《概率論與數理統(tǒng)計》浙江大學 盛驟等 編高等教育出版社2. 《概率論與數理統(tǒng)計三十三講》魏振軍 編中國統(tǒng)計出版社,序 言,?,概率論是研究什么的？,

2、隨機現象：不確定性與統(tǒng)計規(guī)律性,概率論——研究和揭示隨機現象的統(tǒng)計規(guī)律性的科學,第一章 隨機事件及其概率,隨機事件及其運算概率的定義及其運算條件概率事件的獨立性,1.1隨機事件及其概率一、隨機試驗(簡稱“試驗”),隨機試驗的特點(p2)1.可在相同條件下重復進行； 2.試驗可能結果不止一個,但能確定所有的可能結果;3.一次試驗之前無法確定具體是哪種結果出現。 隨機試驗可表為E,,E1: 拋一枚硬幣，分別用“H”

3、 和“T” 表示出正面和反面;E2: 將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現的情況；E3:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現的次數;E4:擲一顆骰子，考慮可能出現的點數；E5: 記錄某網站一分鐘內受到的點擊次數；E6:在一批燈泡中任取一只，測其壽命;E7:任選一人，記錄他的身高和體重 。,隨機實驗的例,隨機事件,二、樣本空間(p2),1. 樣本空間：試驗的所有可能結果所組成的集合稱為樣本空間，記為S={e}； 2. 樣本點:

4、試驗的每一個結果或樣本空間的元素稱為一個樣本點,記為e. 3. 由一個樣本點組成的單點集稱為一個基本事件,也記為e.,EX 給出E1-E7的樣本空間,幻燈片 6,隨機事件,1.定義 (p3) 試驗中可能出現或可能不出現的情況叫“隨機事件”, 簡稱“事件”.記作A、B、C等任何事件均可表示為樣本空間的某個子集.稱事件A發(fā)生當且僅當試驗的結果是子集A中的元素2.兩個特殊事件: 必然事件S 、不可能事件?.(p3)例如:對于試驗E4

5、，以下A 、B、C即為三個隨機事件A＝“至少出一個正面” ＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH}；B=“兩次出現同一面”={HHH,TTT}C=“恰好出現一次正面”={HTT，THT，TTH},三、事件之間的關系,可見，可以用文字表示事件，也可以事件表示為樣本空間的子集，后者反映了事件的實質，且更便于今后計算概率還應注意，同一樣本空間中，不同的事件之間有一定的關系，如試驗E2 ，當試驗的結果是HH

6、H時，可以說事件A和B同時發(fā)生了；但事件B和C在任何情況下均不可能同時發(fā)生。易見，事件之間的關系是由它們所包含的樣本點所決定的，這種關系可以用集合之間的關系來描述。,,1.包含關系(p4)“ A發(fā)生必導致B發(fā)生”記為A?B A＝B ? A?B且B?A.,,,2.和事件： (p4)“事件A與B至少有一個發(fā)生”，記作A?B,2’n個事件A1, A2,…, An至少有一個發(fā)生，記作,3.積事件(p4) :

7、A與B同時發(fā)生，記作 A?B＝AB,3’n個事件A1, A2,…, An同時發(fā)生，記作 A1A2…An,4.差事件(p4) ：A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B不發(fā)生,思考：何時A-B=??何時A-B=A？,5.互斥的事件(p5) ：AB＝ ?,6. 互逆的事件(p5) ? A?B＝ ?, 且AB＝ ?,,五、事件的運算(p5),1、交換律：A?B＝B?A，AB＝BA2、結合律：(A?B)?C＝A?(B?C)，

8、 (AB)C＝A(BC)3、分配律：(A?B)C＝(AC)?(BC)， (AB)?C＝(A?C)(B?C)4、德摩根(De Morgan)律：,例：甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標，試用A、B、C的運算關系表示下列事件：,1.2 概率的定義及其運算,從直觀上來看，事件A的概率是指事

9、件A發(fā)生的可能性,?,P（A）應具有何種性質？,?,拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？擲一顆骰子，出現6點的概率為多少？出現單數點的概率為多少？向目標射擊，命中目標的概率有多大？,(p6)若某試驗E滿足1.有限性：樣本空間S＝{e1, e 2 , … , e n };2.等可能性：（公認）P(e1)=P(e2)=…=P(en). 則稱E為古典概型也叫等可能概型。,1.2.1.古典概型與概率,設事件A中所含樣本點個數為N

10、(A) ，以N(S)記樣本空間S中樣本點總數，則有,P(A)具有如下性質(P7),(1) 0? P(A) ??1；(2) P(S)＝1； P(? )=0(3) AB＝?，則 P( A? B )＝ P(A) ＋P(B),古典概型中的概率(P7):,例:有三個子女的家庭,設每個孩子是男是女的概率相等,則至少有一個男孩的概率是多少?解:設A--至少有一個男孩,以H表示某個孩子是男孩,N(S)={HHH,HHT,HTH,T

11、HH,HTT,TTH,THT,TTT},N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT},二、古典概型的幾類基本問題,乘法公式：設完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法,復習：排列與組合的基本概念,,,,,,,,加法公式：設完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。,,,,,,,有重復排列：從含有n

12、個元素的集合中隨機抽取k 次，每次取一個，記錄其結果后放回，將記錄結果排成一列，,n,n,n,n,共有nk種排列方式.,無重復排列：從含有n個元素的集合中隨機抽取k 次，每次取一個，取后不放回，將所取元素排成一列，,共有Ank=n(n-1)…(n-k+1)種排列方式.,n,n-1,n-2,n-k+1,組合：從含有n個元素的集合中隨機抽取k 個，共有,種取法.,1、抽球問題 例1:設盒中有3個白球，2個紅球，現從盒中任抽

13、2個球，求取到一紅一白的概率。解:設A-----取到一紅一白,答:取到一紅一白的概率為3/5,一般地，設盒中有N個球，其中有M個白球，現從中任抽n個球，則這n個球中恰有k個白球的概率是,在實踐中，產品的檢驗、疾病的抽查、農作物的選種等均可化為隨機抽球問題。我們選擇抽球模型的目的在于是問題的數學意義更加突出,而不必過多的交代實際背景。,2、分球入盒問題例2：將3個球隨機的放入3個盒子中去，問：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）

14、空一盒的概率是多少？,解:設A:每盒恰有一球,B:空一盒,一般地，把n個球隨機地分配到N個盒子中去(n?N)，則每盒至多有一球的概率是：,P8,某班級有n 個人(n?365)，問至少有兩個人的生日在同一天的概率有多大？,?,3.分組問題例3 30名學生中有3名運動員，將這30名學生平均分成3組，求：（1）每組有一名運動員的概率；（2）3名運動員集中在一個組的概率。解:設A:每組有一名運動員;B: 3名運動員集中在一組,一般地

15、，把n個球隨機地分成m組(n>m),要求第 i 組恰有ni個球(i=1,……,m)，共有分法：,4 隨機取數問題,例4 從1到200這200個自然數中任取一個,(1)求取到的數能被6整除的概率(2)求取到的數能被8整除的概率(3)求取到的數既能被6整除也能被8整除的概率,解:N(S)=200,,N(3)=[200/24]=8,N(1)=[200/6]=33,,N(2)=[200/8]=25,(1),(2),(3)的概率分別

16、為：33/200,1/8,1/25,某人向目標射擊，以A表示事件“命中目標”，P（A）=？,?,定義:(p9) 事件A在n次重復試驗中出現nA次，則比值nA/n稱為事件A在n次重復試驗中出現的頻率，記為fn(A). 即 fn(A)＝ nA/n.,1.3 頻率與概率,歷史上曾有人做過試驗,試圖證明拋擲勻質硬幣時，出現正反面的機會均等。 實驗者 n nH

17、 fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K. Pearson 12000 6019 0.5016K. Pears

18、on 24000 12012 0.5005,?頻率的性質(1) 0? fn(A) ??1；(2) fn(S)＝1； fn(? )=0(3) 可加性：若AB＝? ，則 fn(A?B)＝ fn(A) ＋fn(B).,實踐證明：當試驗次數n增大時， fn(A) 逐漸 趨向一個穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作P(A)，作為

19、事件A的概率,1.3.2. 概率的公理化定義,注意到不論是對概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應具有前述三條基本性質，在數學上，我們就可以從這些性質出發(fā)，給出概率的公理化定義,,,1.定義(p10) 若對隨機試驗E所對應的樣本空間?中的每一事件A，均賦予一實數P(A)，集合函數P(A)滿足條件：(1)非負性： P(A) ?≥0；(2) 規(guī)范性：P(S)＝1； (3) 可列可加性：設A1，A2，…, 是一列兩

20、兩互不相容的事件，即AiAj＝?，(i?j), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 ? A2 ? … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. (1.1)則稱P(A)為事件A的概率。,,2.概率的性質 P(10-12) (1) 有限可加性：設A1，A2，…An , 是n個兩兩互不相容的事件，即AiAj＝ ? ，(i?j), i , j＝1, 2, …,

21、 n ,則有 P( A1 ? A2 ? … ? An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… P(An);,,,(3)事件差 A、B是兩個事件，則P(A-B)=P(A)-P(AB),(2) 單調不減性：若事件A?B，則P(A)≥P(B),(4) 加法公式：對任意兩事件A、B，有 P(A?B)＝P(A)＋P(B)－P(AB) 該公式可推廣到任意n個事件A1，A2，…，An

22、的情形；(3) 互補性：P(A)＝1－ P(A);(5) 可分性：對任意兩事件A、B，有 P(A)＝P(AB)＋P(AB ) .,,,某市有甲,乙,丙三種報紙,訂每種報紙的人數分別占全體市民人數的30%,其中有10%的人同時定甲,乙兩種報紙. 沒有人同時訂甲丙或乙丙報紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報紙的概率.,EX,解:設A,B,C分別表示選到的人訂了甲,乙,丙報,例1.3.2.在1?10這

23、10個自然數中任取一數，求（1）取到的數能被2或3整除的概率；（2）取到的數即不能被2也不能被3整除的概率；（3）取到的數能被2整除而不能被3整除的概率。,解:設A—取到的數能被2整除;B--取到的數能被3整除,故,袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十人依次從袋中各取一球(不放回)，問第一個人取得紅球的概率是多少？第二 個人取得紅球的概率是多少？,?,1.4 條件概率,若已知第一個人取到的是白球，則第二個人取到紅球的概率是

24、多少？,已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率稱為A條件下B的條件概率，記作P(B|A),若已知第一個人取到的是紅球，則第二個人取到紅球的概率又是多少？,一、條件概率例1 設袋中有3個白球，2個紅球，現從袋中任意抽取兩次，每次取一個，取后不放回，（1）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的 概率; （2）求第二次取到紅球的概率；（3）求兩次均取到紅球的概率。,設A——第一次取到紅球,B——第二次取到紅球

25、,,S=,,,A,B,,,A——第一次取到紅球,B——第二次取到紅球,顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間S中的兩個事件，其中A含有nA個樣本點,AB含有nAB個樣本點，則,稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率(p14),一般地，設A、B是S中的兩個事件，則,?,“條件概率”是“概率”嗎？,何時P(A|B)=P(A)?何時P(A|B)>P(A)?何時P(A|B)<P(A)?,概率定義 若對隨機試驗E所

26、對應的樣本空間S中的每一事件A，均賦予一實數P(A)，集合函數P(A)滿足條件：P(A) ?≥0； (2) P(S)＝1;(3) 可列可加性：設A1，A2，…, 是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝?，(i?j), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 ? A2 ? … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 則稱P(A)為事件A的概率。,例2.(p14)一盒中混有100只

27、新 ,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分 類如下表。從盒中隨機取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。,設A--從盒中隨機取到一只紅球. B--從盒中隨機取到一只新球.,,A,,B,二、乘法公式(p14),設A、B?S，P（A）>0,則 P(AB)＝P(A)P(B|A). (1.4.1)式(1.4.1)就稱為事件A、B的概率乘法公式。,式(1.4.1)還可推

28、廣到三個事件的情形： P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB). (1.4.2) 一般地，有下列公式： P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1). (1.4.3),例3 盒中有3個紅球，2個白球,每次從盒中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從盒中連續(xù)取球4次,試求第1、2次取得白球、第3、4次取得紅球的概

29、率。,解：設Ai為第i次取球時取到白球，則,三、全概率公式與貝葉斯公式,例4.(p15)市場上有甲、乙、丙三家工廠生產的同一品牌產品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為 2％、1％、3％，試求市場上該品牌產品的次品率。,,B,定義 (p16)事件組A1，A2，…，An (n可為?)，稱為樣本空間S的一個劃分，若滿足：,,,,,,,,,,A1,A2,…,…,…,…,…,An,,B,定理1、(p

30、16) 設A1，…, An是S的一個劃分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對任何事件B?S有,式(1.4.4)就稱為全概率公式。,例5 (P16)有甲乙兩個袋子，甲袋中有兩個白球，1個紅球，乙袋中有兩個紅球，一個白球．這六個球手感上不可區(qū)別．今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，問此球是紅球的概率？,解：設A1——從甲袋放入乙袋的是白球； A2——從甲袋放入乙袋的是紅球； B—

31、—從乙袋中任取一球是紅球；,?,,甲,乙,定理2 (p17) 設A1，…, An是S的一個劃分，且P(Ai) > 0，(i＝1，…，n)，則對任何事件B?S，有,式(1.4.5)就稱為貝葉斯公式。,思考：上例中，若已知取到一個紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？,,答:,(P21)22. 商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8, 0.1, 0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結果

32、都是好的，便買下了這一箱.問這一箱含有一個次品的概率是多少？,解:設A:從一箱中任取4只檢查,結果都是好的. B0, B1, B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品,已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1,由Bayes公式:,例6 數字通訊過程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號，其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。由于信道中存在干擾，在發(fā)0的時候，接收端分別以概率0.9、0.05和0

33、.05接收為0、1和“不清”。在發(fā)1的時候，接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1、0和“不清”?，F接收端接收到一個“1”的信號。問發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少?,＝,＝,＝,0.067,解：設A---發(fā)射端發(fā)射0， B--- 接收端接收到一個“1”的信號．,,,,,,0 (0.55),0 1 不清,(0.9)(0.05)(0.05),,,,,,1 (0.45),1 0 不清,(0.85)(0.05)(0.1),,條

34、件概率,條件概率 小 結,縮減樣本空間,,定義式,,,乘法公式,,全概率公式,,,,貝葉斯公式,1.4.5 事件的獨立性一、兩事件獨立,(P18) 定義1 設A、B是兩事件，P(A) ≠0,若 P(B)＝P(B|A) (1.5.1)則稱事件A與B相互獨立。式(1.5.1)等價于： P(AB)＝P(A)P(B)

35、 (1.5.2),從一付52張的撲克牌中任意抽取一張，以A表示抽出一張A，以B表示抽出一張黑桃，問A與B是否獨立？,定理、以下四件事等價：(1)事件A、B相互獨立；(2)事件A、B相互獨立；(3)事件A、B相互獨立；(4)事件A、B相互獨立。,,,,,二、多個事件的獨立,定義2、(p19) 若三個事件A、B、C滿足：(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C),

36、P(BC)=P(B)P(C),則稱事件A、B、C兩兩相互獨立；,若在此基礎上還滿足：(2) P(ABC)＝P(A)P(B)P(C), (1.5.3)則稱事件A、B、C相互獨立。,一般地，設A1，A2，…，An是n個事件，如果對任意k (1?k?n), 任意的1?i1?i2 ?… ? ik? n，具有等式 P(A i1 A i2 … A ik)＝P(A i1)P(A i2)…P(

37、A ik) (1.5.4)則稱n個事件A1，A2，…，An相互獨立。,,思考：1.設事件A、B、C、D相互獨立，則,2.一顆骰子擲4次至少得一個六點與兩顆骰子擲24次至少得一個雙六，這兩件事，哪一個有更多的機會遇到？,答:0.518, 0.496,三、事件獨立性的應用,1、加法公式的簡化：若事件A1，A2，…，An相互獨立, 則

38、 (1.5.5),2、在可靠性理論上的應用P22, 25．如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點,假設每個觸點閉合的概率為p,且各繼電器接點閉合與否相互獨立，求L至R是通路的概率。,設A---L至R為通路,Ai---第i個繼電器通,i=1,2,…5,由全概率公式,EX1:一個學生欲到三家圖書館借一本參考書．每家圖書館購進這種書的概率是1/2，購進這