蝴蝶定理的證明

1、1δγγδββαα圖5FEBDMOPQAC蝴蝶定理的證明定理：設(shè)M為圓內(nèi)弦PQ的中點(diǎn)，過M作弦AB和CD。設(shè)AD和BC各相交PQ于點(diǎn)E和F，則M是EF的中點(diǎn)。在蝴蝶定理的證明中有各種奇妙的輔助線，同時(shí)誕生了各種美妙的思想，蝴蝶定理在這些輔助線的幫助下，翩翩起舞！證法證法1如圖2，作，則垂足分別為的中點(diǎn)，且由于OUADOVBC??，UV，ADBC、EUOEMO90?????FVOFMO90?????得共圓；共圓。MEUO、、、MFVO、、

2、、則AUM=EOMMOFMVC?????，又，為的中點(diǎn)，從而，MADMCB:::UV、ADBC、MUAMVC??:AUMMVC???則，于是。EOMMOF???ME=MF證法證法2過作關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，如圖3所示，則DOMDFMDEMDMD=MD???、○1聯(lián)結(jié)交圓于，則與關(guān)于對稱，即DMOCCCOM。又PCCQ?111CFP=QBPC=QBCCCQ=BC=BDC222??、、、、故四點(diǎn)共圓，即MFBD、、、MBFMDF???而MBFE

3、DM???○2由、知，，故?！?○2DMEDMF???ME=MF證法證法3如圖4，設(shè)直線與交于點(diǎn)。對及截線，DABCNNEF?AMB及截線分別應(yīng)用梅涅勞斯定理，有NEF?CMD，F(xiàn)MEANB1MEANBF???FMEDNC1MEDNCF???由上述兩式相乘，并注意到NANDNCNB???得22FMANNDBFCFBFCFMEAEEDBNCNAEED???????????????2222PMMFMQMFPMMFPMMEMQMEPMME??

4、??化簡上式后得。[2]ME=MF2不使用輔助線的證明方法單純的利用三角函數(shù)也可以完成蝴蝶定理的證明。證法證法4（Steven給出）如圖5，并令圖2VUFEBDMOPQAC圖3CDFEBDMOPQAC圖4NFEBDMOPQAC3證法證法6（單墫教授給出）如圖6，建立直角坐標(biāo)系，則圓的方程可設(shè)為。直線的方程為，直線的方程為。??222xyaR???AB1ykx?CD2ykx?由于圓和兩相交直線組成了二次曲線系，其方程為??????2221

5、20xyaRykxykx?????????????????令，知點(diǎn)和點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足二次方程，0y?EF????222120kkxaR???????由于的系數(shù)為，則兩根和之和為，即，故。[5]x01x2x012xx??ME=MF證法證法7如圖7建立平面直角坐標(biāo)系，則圓的方程可寫為??222xayr???直線、的方程可寫為。ABCD1ykx?2ykx?又設(shè)的坐標(biāo)為，則分別是二次方ABCD、、、??1234iixyi?14xx、程的一根。在軸

6、上的截距為????2222222212xakxrxakxr??????ADy。????241111214411111214141kxkxxkkxxyyyxkxxxxxxx???????????同理，在軸上的截距為。注意到是方程BCy??122332kkxxxx??12xx、的兩根，是方程??22221120kxaxar?????34xx、的兩根，所以，從而易??22222120kxaxar?????34122212342xxxxaxxa

7、rxx?????得，即。341212340xxxxxxxx????MEMF?證法證法8如圖8，以為極點(diǎn)，為極軸建立極坐標(biāo)系。因三點(diǎn)共線，令MMOCFB、、，則BMxCMx??????、??CFFBCBsinsinsin22?????????????????????????????即??CBFBCsincoscos????????????○1??ADEADsincoscos????????????○2作于，作于。注意到OUCD?UOVAB