第九天(正弦定理、余弦定理)

1、正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理1三角形基本公式：（1）內(nèi)角和定理：ABC=180，sin(AB)=sinCcos(AB)=cosCcos=sinsin=cos2C2BA?2C2BA?（2）面積公式：S=absinC=bcsinA=casinB212121S=pr=(其中p=r為內(nèi)切圓半徑)))()((cpbpapp???2cba??（3）射影定理：a=bcosCccosB；b=acosCccosA；c=acosBbcosA2正弦定

2、理：正弦定理：2sinsinsinabcRABC???外證明：由三角形面積得111sinsinsin222SabCbcAacB???sinsinsinabcABC??畫(huà)出三角形的外接圓及直徑易得：2sinsinsinabcRABC???3余弦定理：余弦定理：a2=b2c222bccosA；222cos2bcaAbc???證明：如圖ΔABC中，sincoscosCHbAAHbABHcbA????22222222sin(cos)2cosaC

3、HBHbAcbAbcbcA????????當(dāng)A、B是鈍角時(shí)，類似可證。正弦、余弦定理可用向量方法證明。要掌握正弦定理、余弦定理及其變形，結(jié)合三角公式，能解有關(guān)三角形中的問(wèn)題4利用正弦定理，可以解決以下兩類問(wèn)題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角；有三種情況：bsinAab時(shí)有兩解；a=bsinA或a=b時(shí)有解；absinA時(shí)無(wú)解。5利用余弦定理，可以解決以下兩類問(wèn)題：（1）已知三邊，

4、求三角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角。一、求解斜三角形中的基本元素一、求解斜三角形中的基本元素例1中，，BC＝3，則的周長(zhǎng)為（）ABC?3??AABC?AB33sin34?????????B36sin34?????????BCD33sin6?????????B36sin6?????????B分析：由正弦定理，求出b及c，或整體求出b＋c，則周長(zhǎng)為3＋b＋c而得到結(jié)果cbaHCBA正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理解：

5、由余弦定理，得cosA＝，解得AC＝32222254912102ABACBCACABACAC?????????∴S＝AB?ACsinA＝∴AB?AC?sinA＝AC?h，得h＝AB?sinA＝，故選(A)2143152121223四、求值問(wèn)題四、求值問(wèn)題例5在中，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，ABC?CBA???、、cba、、設(shè)滿足條件和，求和的值cba、、222abccb???321??bcA?Btan分析：本題給出一些條件式的求值問(wèn)題，關(guān)鍵還是

6、運(yùn)用正、余弦定理解：由余弦定理，因此，212cos222????bcacbA???60A在△ABC中，∠C=180－∠A－∠B=120－∠B.由已知條件，應(yīng)用正弦定理BBBCbcsin)120sin(sinsin321??????解得從而21cot23sinsin120coscos120sin??????BBBB2cot?B.21tan?B五、交匯問(wèn)題五、交匯問(wèn)題是指正余弦定理與其它知識(shí)的交匯，如與不等式、數(shù)列、立體幾何(特別是求角與距

7、離)、解析幾何、實(shí)際問(wèn)題等知識(shí)交匯例6△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列，.43cos?B（Ⅰ）求cotAcotC的值；（Ⅱ）設(shè)，求a＋c的值.32BABC??????????分析：本題是正、余弦定理與向量、等比數(shù)列等知識(shí)的交匯，關(guān)鍵是用好正弦定理、余弦定理等解：（Ⅰ）由47)43(1sin43cos2????BB得由b2=ac及正弦定理得.sinsinsin2CAB?則11coscossinco

8、scossincotcottantansinsinsinsinACCACAACACACAC???????22sin()sin147.sinsinsin7ACBBBB?????（Ⅱ）由，得ca?cosB＝，由ㄋB＝，可得ac＝2，即b2＝232BABC??????????3234由余弦定理b2=a2c2－2accosB，得a2c2=b22accosB=5.39452)(222?????????caaccaca易錯(cuò)題解析易錯(cuò)題解析例題1在不