31微分中值定理

1、第一節(jié)中值定理教學目的：理解并會用羅爾定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。教學重點：羅爾定理、拉格朗日定理的應用。教學過程：一、羅爾定理定理1：若函數(shù)f(x)滿足：（i）f(x)在[ab]上連續(xù)；（ii）f(x)在（ab）可導，（iii）f(a)=f(b)則在（ab）內至少存在一點，使得f()=0.?證明：由（i）知f(x)在[ab]上連續(xù)，故f(x)在上必能得最大值M和最小值m，此時，又有二種情況：（1）M=m，即f(x)在[ab]

2、上得最大值和最小值相等，從而知，此時f(x)為常數(shù)：f(x)＝M=m，＝0，因此，可知為（ab）內任一點，都有f(?)(xf??)＝0。（2）Mm此時M和m之中，必有一個不等于f(a)或f(b)，不妨設Mf(a)（對?mf(a)同理證明），這時必然在（ab）內存在一點，使得f()=M即???f(x)在點得最大值。下面來證明：f()=0??首先由（ii）知f()是存在的，由定義知：?f()=…….()?????????????xMxfxf

3、xfxx)(lim)()(lim因為為最大值，對有f(x)Mf(x)－M0M?x????當x時，有0?????????xMxfxfxf)()()(?當x時，有0。?????????xMxfxfxf)()()(?若此時，還有，?？梢娏_爾中值定理是拉格朗日中值定理)()(bfaf?0)(????f的一個特殊情況，因而用羅爾中值定理來證明之。證明：上式又可寫為……(1)0)()()(?????abafbff?作一個輔助函數(shù)：……(2))()(

4、)()()(axabafbfxfxF?????顯然，在上連續(xù)，在上可導，且)(xF][ba)(ba)()()()()()(afaaabafbfafaF??????)()()()()()(afababafbfbfbF??????，所以由羅爾中值定理，在內至少存在一點使得)()(bFaF??)(ba?。又0)(???FabafbfxfxF??????)()()()(?或。0)()()(?????abafbff?abafbff????)()(

5、)(?注1：拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣；2：定理中的結論，可以寫成，此式也稱為))(()()(abfafbf?????)(ba???拉格朗日公式，其中可寫成：???????)10()(???aba……(3))))((()()(ababafafbf???????若令……(4)hhafafhafhab)()()(?????????3：若，定理中的條件相應地改為：在上連續(xù)，在內可ba?)(xf][ab)(ab導，則結論為：也可寫成)