反常積分-的審斂法

1、第11章反常積分反常積分11.1反常反常積分的概念分的概念一基本內(nèi)容基本內(nèi)容一、無(wú)窮限反常積分定義1設(shè)函數(shù)()fx在[)a??上有定義，且在任意區(qū)間[]au上可積，如果lim()duaufxx????存在，則稱(chēng)此極限為()fx在[)a??上的反常積分，亦稱(chēng)為()fx在[)a??上的無(wú)窮限反常積分，簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮限積分，記作()dafxx???ie()dlim()duaaufxxfxx????????:，此時(shí)并稱(chēng)()dafxx???收斂如果極限

2、不存在，則稱(chēng)()dafxx???發(fā)散同理可定義()dlim()dbbuufxxfxx????????，()d()d()daafxxfxxfxx?????????????，幾何解釋如圖()dafxx???收斂是指圖中陰影區(qū)域的面積存在二、瑕積分定義2設(shè)函數(shù)()fx在(]ab上有定義，且在點(diǎn)a的任一右鄰域內(nèi)無(wú)界，而在[](]ubab?上有界可積，如果lim()dbuuafxx???存在，則稱(chēng)此極限為無(wú)界函數(shù)()fx在上(]ab的反常積分，記

3、作()dbafxx?，ie()dlim()dbbauuafxxfxx?????:，并稱(chēng)()dbafxx?收斂，否則稱(chēng)其發(fā)散其中a稱(chēng)為瑕點(diǎn)無(wú)界函數(shù)的反常積分亦稱(chēng)為瑕積分同理可得b為瑕點(diǎn)時(shí)，()dlim()dbuaaubfxxfxx?????當(dāng)()fx的瑕點(diǎn)()cab?，則定義()d()d()dbcbaacfxxfxxfxx?????lim()dlim()dubauucucfxxfxx????????若ab都是()fx的瑕點(diǎn)，則定義()d(

4、)d()dbcbaacfxxfxxfxx?????lim()dlim()dcuucuaubfxxfxx????????xyO()yfx?a201limd445488uuxxx????????????，0022111dd(21)4452(21)1uuxxxxx????????011arctan(21)arctan(21)282|uxu??????021limd44584uuxxx??????????所以該反常積分收斂，且收斂于2?(6)1

5、sindxexx????；解：由于11sind[1(sincos)]2uxuexxeuu??????，11limsind2uxuexx??????所以該反常積分收斂，且收斂于12(7)sindxexx?????；解：由于01sind[1(sincos)]2uxuexxeuu????，1limsinduxuexx??????所以該反常積分發(fā)散(8)121d1xx????解：由于2121dln(1)1uxuux?????，121limd1u