橢圓點(diǎn)差法

1、1點(diǎn)差法公式在橢圓中點(diǎn)弦問題中的妙用點(diǎn)差法公式在橢圓中點(diǎn)弦問題中的妙用定理定理在橢圓在橢圓（＞＞0）中，若直線）中，若直線與橢圓相交于與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)兩點(diǎn)，點(diǎn)12222??byaxabl是弦是弦MN的中點(diǎn)，弦的中點(diǎn)，弦MN所在的直線所在的直線的斜率為的斜率為，則，則.)(00yxPlMNk2200abxykMN???證明：設(shè)M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，則有)(11yx)(22yx???????????)2(.1)1(122222

2、2221221????byaxbyax，得)2()1(?.02222122221????byyaxx.2212121212abxxyyxxyy????????又.2221211212xyxyxxyyxxyykMN????????.22abxykMN????同理可證，在橢圓同理可證，在橢圓（＞＞0）中，若直線）中，若直線與橢圓相交于與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)兩點(diǎn)，點(diǎn)12222??aybxabl是弦是弦MN的中點(diǎn)，弦的中點(diǎn)，弦MN所在的直線

3、所在的直線的斜率為的斜率為，則，則.)(00yxPlMNk2200baxykMN???典題妙解典題妙解例1（04遼寧）設(shè)橢圓方程為遼寧）設(shè)橢圓方程為，過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線的直線交橢圓于點(diǎn)交橢圓于點(diǎn)A、B，O為坐為坐1422??yx)10(Ml標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足滿足，點(diǎn)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為.當(dāng)繞點(diǎn)繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時，求：旋轉(zhuǎn)時，求：)(21OBOAOP????????2121l（1）動點(diǎn)）動點(diǎn)P的軌跡方程；的軌跡方程；（2）的最大值和最小

4、值的最大值和最小值.||NP解：（1）設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由平行四邊形法則可知：點(diǎn)P是弦AB的中點(diǎn).)(yx3＞0.)12(83222?????kk解之得：＜或＞.k22?k22的取值范圍是.?k?????????????????????2222?（2）在橢圓中，焦點(diǎn)在軸上，，1222??yxx12??ba).12()10()02(???ABBA設(shè)弦PQ的中點(diǎn)為，則)(00yxM).(100yxOM?由平行四邊形法則可知：.2OMOQOP

5、??與共線，?OQOP?AB與共線.?OMAB，從而1200yx???.2200??xy由得：，2200abxykPQ???2122????????????k.22??k由（1）可知時，直線與橢圓沒有兩個公共點(diǎn)，22?kl不存在符合題意的常數(shù).?k例3（09年四川）已知橢圓年四川）已知橢圓（＞＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為）的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率，離心率12222??byaxab1F2F，右準(zhǔn)線方程為，右準(zhǔn)線方程為.22?e2?x(Ⅰ)