平面向量三點共線性質定理的推論及空間推廣

1、1平面向量三點共線定理的推論及空間推廣平面向量三點共線定理的推論及空間推廣南昌外國語學校梁懿濤郵編：330025地址：江西省南昌市桃苑西路126號南昌外國語學校電話：13607917611電子信箱：liangyitao@一問題的來源平面向量三點共線定理平面向量三點共線定理:對于共面向量，則、、三點共線的OAOBOC????????????OCxOAyOB??????????????ABC充要條件是1xy??二問題的提出問題問題1.在上述

2、定理中，如果、時，分別有什么結論？1xy??1xy??問題問題2.、有什么特定的意義嗎？xy問題問題3.上述問題可以推廣到空間嗎？三問題的解決推論推論1.對于不共線向量若，則OAOB????????OCxOAyOB??????????????（1）點在直線外側（不含點一側）的充要條件是CABO1xy??（2）點在直線內(nèi)側（含點一側）的充要條件是CABO1xy??證明：（1）必要性：如圖11，連OC交AB于點，則存在實數(shù)，使得，C??(1

3、)OCOC??????????????，，，(1)OCxOAyOBxy??????????????????????OCxOAyOB???????????????????xxyy??????()1xyxy????????充分性：，存在，使得且1xy????1??xxyy??????1xy????，在直線上，在直線外側()OCxOAyOBOC??????????????????????????C??ABC?AB同理可證（2）進一步分析，得：

4、推論推論.對于不共線向量若，則1?OAOB????????OCxOAyOB??????????????（1）連接得直線，過點作平行于的直線，則、將平面分成三個區(qū)域，如圖12AB1?O1?2?1?2?OAB點落在各區(qū)域時，、滿足的條件是：Cxy（Ⅰ）區(qū)：；（Ⅱ）區(qū)：；（Ⅲ）區(qū)：特別地，當點落在上時，1xy??01xy???0xy??C1?；當點落在上時，1xy??C2?0xy??（2）直線、將平面分成四個區(qū)域，如圖13，則點落在各區(qū)域時，

5、、滿足的條件OAOBOABCxy是：（Ⅰ）區(qū)：；（Ⅱ）區(qū)：；（Ⅲ）區(qū)：；（Ⅳ）區(qū)：00xy?????00xy?????00xy?????00xy?????證明略推論推論2.若，，則，且當，則點在線OCxOAyOB??????????????(1xy??0)xy?||||||||ACyBCx?00xy??C段上；當，則點在線段的延長線上；當，則點在線段的延長線AB00xy??CBA00xy??CAB上3證明：只證的情形，其它情形可類似證明

6、0abcd?由，得，令0aOAbOBcOCdOD?????????????????????aOAbOBcOCdODbcdbcd????????????????????????bOBcOCdODOPbcd?????????????????????，則四點共面，由推論5，，PBCD::::PCDPBDPBCSSSbcd????又，如圖4，知，aOAOPbcd????????????||:||:()OPOAabcd???，同理可證OABDcb

7、cdcVbcdabcdabcd???????????????，，OBCDaVabcd??????OACDbVabcd?????，命題得證OABCdVabcd?????四結論的應用1（2006年湖南（理））如圖，∥，點在由射線，線段及的延長線圍成的陰影OMABPOMOBAB區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運動，且，則的取值范圍是；當時，的取OPxOAyOB??????????????x12x??y值范圍是解析：由推論1及推論，有，且當，有，即1?0x?

8、12x??1Oxy???答案為：，（，）1131222Oyy???????0x?12322（2009年安徽卷（理））給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為如圖所示，點OA????OB????0120C在以O為圓心的圓弧上變動若其中則AB????OCxOAyOB??????????????xyR?xy?的最大值是________解析：由推論3，，OABOBCOACSOCSOASOB?????????????????，設，43()3OB

9、COACOBCOACOABOABSSxySSSS????????????AOC???，2[0]3???，112sinsin()223OACOBCSS????????，此時431122333[sinsin()](cossin)2sin()232233226xy?????????????????3???3(2010年高考天津卷理)如圖，在中，，，則ABC?ADAB?3||1BCBDAD??????????????ACAD????????A=

10、解析：，由推論2，得，||31||3CDBC????(13)3ACABAD???????????????答案：2[(13)3]33ACADABADADAD???????????????????????????????34（2011屆黑龍江省哈爾濱三中高三10月月考理）如圖所示，兩射線OA與OB交于O，下列向量若以O為起點，終點落在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的是.①2OAOB?????????；②3143OAOB?????????；③1123O