平面向量知識點總結

1、平面向量基礎知識復習1平面向量知識點小結一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別.向量常用有向線段來表示.注意：不能說向量就是有向線段，為什么？提示：向量可以平移.舉例1已知，，則把向量按向量平移后得到的向量是_____.結果：(12)A(42)BAB????(13)a???(30)2.零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，規(guī)定：零向量的方向是任意的；0?3.單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單

2、位向量（與共線的單位向量是）AB????||ABAB?????????；4.相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5.平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：a?b?∥，a?b?規(guī)定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向

3、量無傳遞性?。ㄒ驗橛?；0?④三點共線共線.ABC、、ABAC?????????、6.相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量記作.a?a??舉例2如下列命題：（1）若，則.||||ab???ab???（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同.（3）若，則是平行四邊形.ABDC??????????ABCD（4）若是平行四邊形，則.ABCDABDC??????????（5）若，，則.ab???bc???ac?

4、??（6）若，則.其中正確的是.結果：（4）（5）ab??bc??ac??二、向量的表示方法1.幾何表示：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在后；AB????2.符號表示：用一個小寫的英文字母來表示，如，，等；a?b?c?3.坐標表示：在平面內建立直角坐標系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量xy為基底，則平面內的任一向量可表示為，稱為向量的坐標，ij??a?()axiyjxy??????()xya?叫做向量的坐標表示.()a

5、xy??a?結論：如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同.三、平面向量的基本定理定理設同一平面內的一組基底向量，是該平面內任一向量，則存在唯一實數(shù)對12ee??a?，使.12()??1122aee???????（1）定理核心：；（2）從左向右看，是對向量的分解，且表達式唯一；反之，是對向量的合成.1122aλeλe?????a?a?（3）向量的正交分解：當時，就說為對向量的正交分解12ee??1122aλeλe????

6、?a?舉例3（1）若，，，則.結果：.(11)a??(11)b???(12)c???c??1322ab???（2）下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是BA.，B.，C.，D.，1(00)e??2(12)e???1(12)e???2(57)e??1(35)e??2(610)e??1(23)e???21324e?????????（3）已知分別是的邊，上的中線且，則可用向量表示為.結ADBE????????ABC△BCACADa????

7、??BEb??????BC????ab??果：.2433ab???（4）已知中，點在邊上，且，，則的值是.結果：0.ABC△DBC2CDDB?????????CDrABsAC??????????????rs??平面向量基礎知識復習31.幾何運算（1）向量加法運算法則：①平行四邊形法則；②三角形法則.運算形式：若，，則向量叫做與的和，即；ABa??????BCb??????AC????a?b?abABBCAC???????????????

8、???作圖：略.注：平行四邊形法則只適用于不共線的向量.（2）向量的減法運算法則：三角形法則.運算形式：若，，則，即由減向量的終點指向被減向ABa??????ACb??????abABACCA??????????????????量的終點.作圖：略.注：減向量與被減向量的起點相同.舉例7（1）化簡：①；②；③.結果：①ABBCCD???????????????ABADDC????????????????()()ABCDACBD??????

9、??????????????；②；③；AD????CB????0?（2）若正方形的邊長為1，，，，則.結果：；ABCDABa??????BCb??????ACc??????||abc??????22（3）若是所在平面內一點，且滿足，則的形狀為.結果：直角三角形；OABC△2OBOCOBOCOA????????????????????????ABC△（4）若為的邊的中點，所在平面內有一點，滿足，設，則的值為.DABC△BCABC△P0PA

10、BPCP????????????????||||APPD???????????結果：2；（5）若點是的外心，且，則的內角為.結果：.OABC△0OAOBCO????????????????ABC△C120?2.坐標運算：設，，則11()axy??22()bxy??（1）向量的加減法運算：，.1212()abxxyy??????1212()abxxyy??????舉例8（1）已知點，，，若，則當____時，點在第一、三象限的角平分(23)

11、A(54)B(710)C()APABAC?????R??????????????P線上.結果：；12（2）已知，，且，，則.結果：或；(23)A(14)B1(sincos)2ABxy?????()22xy????xy??6?2??（3）已知作用在點的三個力，，，則合力的終點坐標是.結果：(11)A1(34)F????2(25)F?????3(31)F????123FFFF???????????????.(91)（2）實數(shù)與向量的積：.1

12、111()()axyxy???????（3）若，，則，即一個向量的坐標等于表示這個向11()Axy22()Bxy2121()ABxxyy???????量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.舉例9設，，且，，則的坐標分別是__________.結果：.(23)A(15)B?13ACAB?????????3ADAB?????????CD11(1)(79)3?（4）平面向量數(shù)量積：.1212abxxyy?????舉例10已知向量，，.(sinc

13、os)axx??(sinsin)bxx??(10)c???（1）若，求向量、的夾角；3x??a?c?（2）若，函數(shù)的最大值為，求的值.結果：（1）；（2）或.3[]84x????()fxab?????12?150?1221??（5）向量的模：.222222||||aaxyaxy?????????舉例11已知均為單位向量，它們的夾角為，那么＝.結果：.ab??60?|3|ab????13（6）兩點間的距離：若，，則.11()Axy22()