向量知識(shí)點(diǎn)歸納與常見題型總結(jié)

1、數(shù)學(xué)培優(yōu)網(wǎng)向量講義1向量知 向量知識(shí)點(diǎn)歸納與常見題型總結(jié) 歸納與常見題型總結(jié)一、向量知識(shí)點(diǎn)歸納1．與向量概念有關(guān)的問題 ⑴向量不同于數(shù)量，數(shù)量是只有大小的量（稱標(biāo)量） ，而向量既有大小又有方向；數(shù)量可以比較大小，而向量不能比較大小，只有它的模才能比較大小.記號(hào)“ ＞ ”錯(cuò) a b了，而| |＞| |才有意義. a b⑵有些向量與起點(diǎn)有關(guān)，有些向量與起點(diǎn)無關(guān).由于一切向量有其共性（大小和方 向） ，故我們只研究與起點(diǎn)無關(guān)的向量（既自由向量

2、）.當(dāng)遇到與起點(diǎn)有關(guān)向量時(shí)，可平 移向量.⑶平行向量（既共線向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量⑷單位向量是模為 1 的向量，其坐標(biāo)表示為（ ）,其中 、 滿足 ＝1 y x, x y ? 2 x 2 y（可用（cos ,sin ） （0≤ ≤2π）表示）.特別： 表示與 同向的單位向 ? ? ?| |ABAB?? AB?量。例如：向量 所在直線過 的內(nèi)心(是 的角平分線所 ( )( 0)| | | |AC AB AB AC? ?

3、 ? ???? ? ??? ???? ? ??? ? ABC ? BAC ?在直線)； 例 1、O 是平面上一個(gè)定點(diǎn)，A、B、C 不共線，P 滿足則點(diǎn) P 的軌跡一定通過三角形的內(nèi)心。 ( ) [0, ).| | |AB AC OP OAAB AC? ? ? ? ? ? ? ????? ? ??? ? ??? ? ??? ???? ? ???? ?(變式)已知非零向量 與 滿足( + )· =0 且 · = , 則

4、△ABC 為( ) AB →AC →AB →|AB →|AC →|AC →|BC →AB →|AB →|AC →|AC →|12A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等邊三角形 D.等邊三角形 (06 陜西)⑸ 的長(zhǎng)度為 0，是有方向的，并且方向是任意的，實(shí)數(shù) 0 僅僅是一個(gè)無方向的實(shí)數(shù). 0⑹有向線段是向量的一種表示方法，并不是說向量就是有向線段. （7）相反向量(長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向量是－

5、 。) a a2．與向量運(yùn)算有關(guān)的問題 ⑴向量與向量相加，其和仍是一個(gè)向量.（三角形法則和平行四邊形法則）①當(dāng)兩個(gè)向量 和 不共線時(shí)， 的方向與 、 都不相同，且| |＜| |＋| a b ? a b a b ? a b a b|；②當(dāng)兩個(gè)向量 和 共線且同向時(shí)， 、 、 的方向都相同，且 a b ? a b a b ? ? | | b a； | | | | b a ?③當(dāng)向量 和 反向時(shí)，若| |＞| |， 與 方向相同 ，且| |

6、=| |-| |； a b a b b a ? a b a ? a b若| |＜| |時(shí), 與方向相同，且| ＋ |=| |-| |. a b b a ? b a b b a⑵向量與向量相減，其差仍是一個(gè)向量.向量減法的實(shí)質(zhì)是加法的逆運(yùn)算.數(shù)學(xué)培優(yōu)網(wǎng)向量講義3______（答： 或 且 ） ； 43 ? ? ? 0 ? ? 13 ? ?例 6、已知 , 為相互垂直的單位向量， ， 。且 與 的夾角為銳 i j j i a 2 ? ? j

7、 i b ? ? ? a b角，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。 ?分析：由數(shù)量積的定義易得“ ” ，但要注意問題的等價(jià)性。 ? ? b a, ? 0 ? ?b a解：由 與 的夾角為銳角，得 有 a b . 0 2 1 ? ? ? ? ? b a . 21 ? ?而當(dāng) 即兩向量同向共線時(shí)，有 得 此時(shí)其夾角不為銳角。 ), 0 ( ? ? t b t a? ? ?? ??21? tt . 2 ? ? ?故 . ? ? ? ? ? ?? ? ???

8、 ? ? ? ? 21 , 2 2 ,評(píng)析：特別提醒的是： 是銳角與 不等價(jià)；同樣 是鈍角與 ? ? b a, 0 ? ?b a ? ? b a,不等價(jià)。極易疏忽特例“共線” 。 0 ? ?b a特殊情況有 = ?；?= = = .2 a a a ? ?2 | | a | | a a a ?2a 2 2 y x ?如果表示向量 的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為( , ),( , ),則 = a 1 x 1 y 2 x 2 y | |

9、a22 122 1 ) ( ) ( y y x x ? ? ?⑥ 。 （因 ） | | | | | | b a b a ? ? ? 1 cos ? ?⑦數(shù)量積不適合乘法結(jié)合律.如 （因?yàn)?與 共線，而 與 共線） ). ( ) ( c b a c b a ? ? ? ? ? c b a ? ? ) ( c ) ( c b a ? ? a⑧數(shù)量積的消去律不成立.若 、 、 是非零向量且 并不能得到 這是因?yàn)橄蛄坎荒茏鞒龜?shù)， a b c c

10、 b c a ? ? ? b a ?即 是無意義的.c1(6)向量 b 在 方向上的投影︱b︱cos ＝ a ?ab a ?(7) 和 是平面一組基底,則該平面任一向量 ( 唯一)?1 e?2 e? ? ?? ? 2 2 1 1 e e a ? ? 2 1,? ?特別：. ＝ 則 是三點(diǎn) P、A、B 共線的充要條件. OP 1 2 OA OB ? ? ???? ? ??? ?1 2 1 ? ? ? ?注意：起點(diǎn)相同，系數(shù)和是 1。基

11、底一定不共線例 7、已知等差數(shù)列｛an｝的前 n 項(xiàng)和為 ，若 ，且 A、B、C n S 11 BO a 2 ???? ? ＝ 200 OA a OC??? ? ??? ?＋三點(diǎn)共線（該直線不過點(diǎn) O） ，則 S200＝（ ）A．50 B. 51 C.100 D.101例 8、平面直角坐標(biāo)系中， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn) , ,若點(diǎn) 滿足 O ) 1 , 3 ( A ) 3 , 1 (? B C ??