函數(shù)的最值知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與經(jīng)典題型歸納

1、函數(shù)的最值知識(shí)梳理 知識(shí)梳理1. 1. 函數(shù)最大值一般地，設(shè)函數(shù) ( ) y f x = 的定義域?yàn)?I . 如果存在實(shí)數(shù) M 滿足：①對(duì)于任意 x 都有 ( ) f x M .②存在 0 x I ，使得 0 ( ) f x M = .那么，稱 M 是函數(shù) ( ) y f x = 的最大值 最大值.2. 2. 函數(shù)最小值一般地，設(shè)函數(shù) ( ) y f x = 的定義域?yàn)?I . 如果存在實(shí)數(shù) M 滿足：①對(duì)于任意 x 都有 ( )

2、f x M .②存在 0 x I ，使得 0 ( ) f x M = .那么，稱 M 是函數(shù) ( ) y f x = 的最小值 最小值.注意： 注意：對(duì)于一個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，不一定有最值，若有最值，則最值一定是值域中的一個(gè)元素．3. 3. 函數(shù)的最值與其單調(diào)性的關(guān)系．（1）若函數(shù)在閉區(qū)間[ , ] a b 上是減函數(shù)，則 ( ) f x 在[ , ] a b 上的最大值為 f(a)，最小值為 f(b)；（2）若函數(shù)在閉區(qū)間[ , ] a b

3、 上是增函數(shù)，則 ( ) f x 在[ , ] a b 上的最大值為 f(b)，最小值為 f(a)．4．二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．探求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題，一般要先作出 ( ) y f x = 的草圖，然后根據(jù)圖象的增減性進(jìn)行研究．特別要注意二次函數(shù)的對(duì)稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系 對(duì)稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系，它是求解二次函數(shù)在已知區(qū)間上最值問(wèn)題的主要依據(jù)，并且最大(小)值不一定在頂點(diǎn)處取得．例題精講 例題精講【例 1】求函數(shù) (

4、 ) 3 f x x = 在[0,3]上的最大值和最小值．解：因?yàn)楹瘮?shù) ( ) 3 f x x = 在[0,3]上單調(diào)遞增所以 ( ) 3 f x x = 在[0,3]上的最大值為 (3) 3 3 9 f = ? ；( ) 3 f x x = 在[0,3]上的最小值為 (0) 3 0 0 f = ? ；【例 2】求函數(shù) 12? ? x y 在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值．解：函數(shù) 12? ? x y 的圖象如下圖所示，所以 12?

5、? x y 在區(qū)間[2，6]上單調(diào)遞減；11 21 29 ( )(1 ) x x x x = - -因?yàn)?1 2 1 3 x x ? 所以 1 2 0 x x -, 1 2 ( ) ( ) f x f x >所以 9 ( ) f x x x = + 在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞減；所以求函數(shù) ( ) f x 在 [1,3] x 上的最小值為 9 18 (3) 3 3 3 f = + = ，最大值為 9 (1) 1 10 1 f = +

6、 = .題型三 題型三 函數(shù)最值的應(yīng)用 函數(shù)最值的應(yīng)用【例 5】已知函數(shù)2 2 ( ) x x a f x x+ + = ， [1, ) x?（1）當(dāng) 12 a = 時(shí)，求函數(shù) ( ) f x 的最小值.（2）若對(duì)任意的 [1, ) x? ， ( ) 0 f x > 恒成立，試求a 的取值范圍.解：（1）當(dāng) 12 a = 時(shí)，2 1 2 2 ( )x xf x x+ +=設(shè) 1 2 1 x x ?則 1 2 1 21 21

7、1 ( ) ( ) ( 2) ( 2) 2 2 f x f x x x x x - = + + - + +2 1 1 21 2 1 21 2 1 22 1 ( ) ( ) 2 2x x x x x x x x x x x x- - = - + = -因?yàn)?1 2 0 x x -， 1 2 2 1 0 x x - >所以 1 2 ( ) ( ) 0 f x f x -對(duì) [1, ) x? 恒成立?2 2 0 x x a + + &g