橢圓知識點歸納總結(jié)和經(jīng)典例題

1、橢圓的基本知識橢圓的基本知識1橢圓的定義橢圓的定義：把平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢21FF21FF圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距(設(shè)為2c).2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（＞＞0）（＞＞0）12222??byaxab12222??bxayab焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計算簡便，可設(shè)方程為mx2ny2=1(m0，n0)不必考慮焦點位置，求出方程3.求軌跡方程的方法

2、求軌跡方程的方法:定義法、待定系數(shù)法、相關(guān)點法、直接法解:(相..21的軌跡中點求線段段軸作垂線向從這個圓上任意一點半徑為標(biāo)原點已知一個圓的圓心為坐如圖例MPPPPxP??關(guān)點法)設(shè)點M(xy)點P(x0y0)則x＝x0y＝得x0＝x，y0＝2y.20y∵x02＋y02＝4得x2＋(2y)2＝4即所以點M的軌跡是一個橢圓..142??yx4.范圍范圍.x2≤a2，y2≤b2，∴|x|≤a，|y|≤b橢圓位于直線x＝a和y＝b圍成的矩形里

3、5.橢圓的對稱性橢圓的對稱性橢圓是關(guān)于y軸、x軸、原點都是對稱的坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸原點是橢圓的對稱中心橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心6.頂點頂點只須令x＝0，得y＝b，點B1(0－b)、B2(0b)是橢圓和y軸的兩個交點；令y＝0，得x＝a，點A1(－a0)、A2(a0)是橢圓和x軸的兩個交點橢圓有四個頂點：A1(－a0)、A2(a0)、B1(0－b)、B2(0b)橢圓和它的對稱軸的四個交點叫橢圓的頂點線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓

4、的長軸和短軸.長軸的長等于2a.短軸的長等于2b.a叫做橢圓的長半軸長b叫做橢圓的短半軸長|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a在Rt△OB2F2中，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2，即c2＝a2－b27.橢圓的幾何性質(zhì)：橢圓的幾何性質(zhì)：aA1yOF1F2xB2B1A2cbyOF1F2xMccxF2F1OyMccyxPOP?M那么如何來判斷直線和橢圓的位置關(guān)系呢？將兩方程聯(lián)立得方程組，通過方程組的解的個數(shù)來

5、判斷直線和橢圓交點的情況。方法如下：消去得到關(guān)于的一元二次方程，化簡后形式如下222201AxByCxyab??????????yx，20(0)mxnxpm????24nmp???（1）當(dāng)時，方程組有兩組解，故直線與橢圓有兩個交點；0??（2）當(dāng)時，方程組有一解，直線與橢圓有一個公共點（相切）；0??（3）當(dāng)時，方程組無解，直線和橢圓沒有公共點。0??注：當(dāng)直線與橢圓有兩個公共點時，設(shè)其坐標(biāo)為，那么線段的長度（即1122()()AxyB

6、xyAB弦長）為，設(shè)直線的斜率為，221212||()()ABxxyy????k可得：，然后我們可通過求出方程的根或用韋達(dá)221212||()[()]ABxxkxx?????2121||kxx??定理求出。橢圓典型例題橢圓典型例題例1已知橢圓已知橢圓的一個焦點為（的一個焦點為（0，2）求）求的值的值06322???mymxm分析：分析：把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由，根據(jù)關(guān)系可求出的值2?c222cba??m解：解：方程變形為因為焦點在軸

7、上，所以，解得12622??myxy62?m3?m又，所以，適合故2?c2262??m5?m5?m例2已知橢圓的中心在原點，且經(jīng)過點已知橢圓的中心在原點，且經(jīng)過點，，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程??03，Pba3?分析：分析：因橢圓的中心在原點，故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用待定系數(shù)法，求出參數(shù)和（或和）的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程ab2a2b解：解：當(dāng)焦點在軸上時，設(shè)其方程為x??012222????babyax由橢圓