第7章平穩(wěn)隨機過程估計—維納濾波理論

1、138第7章平穩(wěn)隨機過程的估計—維納濾波理論上一章中討論了信號參量的估計。不管被估計的參量是未知的非隨機參量或是隨機參量，我們都認(rèn)定，它們在觀測時間內(nèi)是不隨時間而變化的。但是，在許多實際問題中，例如在模擬通信、雷達(dá)跟蹤以及模式識別等情況中，涉及到的是對時變參量的估計問題。稱之為時變信號的估計或波形估計。即：根據(jù)觀測數(shù)據(jù)（通常包括信號和噪聲）對信號的波形進(jìn)行估計。從一般意義上說，噪聲與信號都是隨機過程。被估計的波形就是隨機過程的樣本函數(shù)。

2、因此所謂波形估計也就是隨機過程的估計。在這一章中，我們將討論在相加噪聲中對平穩(wěn)隨機過程的線性最小均方估計—維納濾波理論。7.1波形估計的概念給定兩個相關(guān)的隨機過程，是觀測波形，通常包括信號和噪聲，而)()(tytr和)(tr則是表示信號。)(ty)()()(tntytr??波形估計要解決的問題是，根據(jù)在觀測時間內(nèi)的取值，對的某種函數(shù))(21tt)(tr)(ty進(jìn)行估計。也就是說，按照最佳估計準(zhǔn)則，對觀測量進(jìn)行某種變)(tg)()(21t

3、tr???換，以得到對的最佳估值。)(tg)(?tg線性最小均方估計具有以下特點：1以最小均方估計準(zhǔn)則為最佳估計準(zhǔn)則。2是的某種線性函數(shù)。現(xiàn)在，我們只考慮以下三種情況。)(tg)(ty?稱這種情況為預(yù)測或外推。0)()(???aatytg?稱這種情況為濾波或狹義濾波。此時被估計的波形就是信號本)()(tytg?身。?稱為內(nèi)插或平滑。0)()(???aatytg把以上三種情況統(tǒng)稱為濾波（廣義濾波）。當(dāng)然，也可以是的其它線性函)(tg)(t

4、y數(shù)，下面不做專門討論。3估計值是觀測數(shù)據(jù)的線性函數(shù)。)(?tg)(tr在特殊條件下，，將這種情況下的波形估計稱之為純波形估計。下面，)()(tytr?我們將通過幾個例題來討論純波形估計，用以闡明波形估計的概念。例一：考慮根據(jù)信號在時刻時的測量值對它在時的值t)(ty??t)0(??)(??ty進(jìn)行預(yù)測。我們假定，是平穩(wěn)隨機過程。根據(jù)線性估計的定義，可得到估計量與觀測量之)(ty間的關(guān)系式如下140考慮到0)()()()()()()(0

5、??????????????????yyyyyyyyyyyRRRRRRR??????????可以得到系數(shù)、如下ab（7.18）)0()(yyRRa??（7.19）)0()(yyRRb?????將上兩式的、代入式（7.16），即可得到用過程自相關(guān)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)構(gòu)造的估計量ab。)(???ty均方誤差為)()()0()()]()()([lms????yyyRbaRRtytybtaytyEC??????????例三：最后，考慮一個內(nèi)插問題。給定

6、平穩(wěn)隨機信號在時間間隔的起點)(ty)0(T和終點的觀測值為和，要求用這兩個值來對信號在內(nèi)任意時刻的取值)0(y)(Ty)0(Tt進(jìn)行估計。)(ty這時，應(yīng)具有如下形式)(?ty（7.110）)0()()0()(?TtTbyayty???按照正交條件0)()]()0()([0)0()]()0()([??????TyTbyaytyEyTbyaytyE可以得到以下兩個方程（7.111）)()()0(tRTbRaRyyy??及（7.112）)