弧微分與曲率

1、第六節(jié) 弧微分與曲率,怎樣描述曲線局部彎曲程度？,,,),,,,,,,),弧段彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大,轉(zhuǎn)角相同弧段越短彎曲程度越大,),我們直覺認(rèn)識(shí)到：直線不彎曲，曲線不同部分有不同的彎曲程度；,一 弧微分,,,,,,,,規(guī)定：,?,?,易看出：弧長(zhǎng) 是x的單調(diào)增函數(shù).,下面求 的導(dǎo)數(shù)與微分,?,?,?,?,?,?,弧微分公式,?,弧微分公式

2、設(shè)x? x?Dx為(a? b)內(nèi)兩個(gè)鄰近的點(diǎn)? 它們?cè)谇€y?f(x)上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M? N? 并設(shè)對(duì)應(yīng)于x的增量Dx? 弧 s 的增量為Ds.,因?yàn)楫?dāng)Dx?0時(shí)? Ds ~ MN? 又Dx與Ds同號(hào)? 所以,由此得弧微分公式:,或者,曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量．,彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大,轉(zhuǎn)角相同弧段短的彎曲大,1、曲率的定義,二、曲率及其計(jì)算公式,問題: 怎樣刻畫曲線的彎曲程度？,提示： 可以用單位弧段上切線轉(zhuǎn)過(guò)的

3、角度的大小來(lái)表達(dá)弧段的平均彎曲程度.,2、曲率及其計(jì)算公式,在光滑弧上自點(diǎn) M 開始取弧段, 其長(zhǎng)為,對(duì)應(yīng)切線,定義,弧段 上的平均曲率,點(diǎn) M 處的曲率,注: 直線上任意點(diǎn)處的曲率為 0 !,轉(zhuǎn)角為,例1. 求半徑為R 的圓上任意點(diǎn)處的曲率 .,解: 如圖所示 ,,可見: R 愈小, 則K 愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害 ;,R 愈大, 則K 愈小 , 圓弧彎曲得愈小 .,,,,,,,有曲率近似計(jì)算公式,故曲率計(jì)算公式為,又,曲

4、率K 的計(jì)算公式,二階可導(dǎo),,設(shè)曲線弧,則由,注:參數(shù)方程下曲率的計(jì)算,,,例2 計(jì)算等邊雙曲線xy?1在點(diǎn)(1, 1)處的曲率.,曲線在點(diǎn)(1? 1)處的曲率為,因此y?|x?1??1? y??|x?1?2?,解,,,,例3 拋物線y?ax2?bx?c上哪一點(diǎn)處的曲率最大？,解 由y?ax2?bx?c? 得 y??2ax?b? y???2a? 代入曲率公式? 得,顯然? 當(dāng)2ax?b

5、?0時(shí)曲率最大?,因此? 拋物線在頂點(diǎn)處的曲率最大? 此處K?|2a|?,,例4. 求橢圓,在t=0處的曲率.,解:,故曲率為,在t=0處,即在點(diǎn)(a,0)的曲率為,思考:,上面的橢圓在何處曲率最大?,,三、 曲率圓與曲率半徑,,,,,,,設(shè) M 為曲線 C 上任一點(diǎn) ,,在點(diǎn),在曲線,把以 D 為中心, R 為半徑的圓叫做曲線在點(diǎn) M 處的,曲率圓,( 密切圓 ) ,,R 叫做曲率半徑,,D 叫做,曲率中心.,在點(diǎn)M 處曲率圓與曲

6、線有下列密切關(guān)系:,(1) 有公切線;,(2) 凹向一致;,(3) 曲率相同 .,M 處作曲線的切線和法線,,的凹向一側(cè)法線上取點(diǎn) D 使,1.曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的曲率互為倒數(shù).,注:,2.曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑越大,曲線在該點(diǎn)處的曲率越小(曲線越平坦);曲率半徑越小,曲率越大(曲線越彎曲).,3.曲線上一點(diǎn)處的曲率圓弧可近似代替該點(diǎn)附近曲線弧(稱為曲線在該點(diǎn)附近的二次近似).,例6. 求拋物線

7、 上任一點(diǎn)處的曲率和曲率半徑.,解：,法線： x = 0 .,切線：y = 0 ,,求 的最小曲率半徑時(shí)的曲率圓的方程.,例7 設(shè)工件表面的截線為拋物線y?0.4x2. 現(xiàn)在要用砂輪磨削其內(nèi)表面. 問用直徑多大的砂輪才比較合適？,解 砂輪的半徑不應(yīng)大于拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑?,拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑為 r=K-1?1.25?,因此, 選用砂輪的半徑不

8、得超過(guò)1.25單位長(zhǎng)? 即直徑不得超過(guò)2.50單位長(zhǎng)?,,y??0.8x? y???0.8? y?|x?0?0? y??|x?0?0.8? 把它們代入曲率公式? 得,,,,例9,?,,,?,解,如圖,受力分析,視飛行員在點(diǎn)o作勻速圓周運(yùn)動(dòng),,O點(diǎn)處拋物線軌道的曲率半徑,?,?,得曲率為,曲率半徑為,即:飛行員對(duì)座椅的壓力為641.5千克力.,運(yùn)用微分學(xué)的理論,研究曲線和曲面的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支—

9、—微分幾何學(xué).,基本概念: 弧微分,曲率,曲率圓.,曲線彎曲程度的描述——曲率;,曲線弧的近似代替曲率圓(弧).,四、小結(jié),內(nèi)容小結(jié),1. 弧長(zhǎng)微分,或,2. 曲率公式,3. 曲率圓,曲率半徑,要使 最大，,必有 最小，,此時(shí) 最大，,附1 橢圓 上哪 些點(diǎn)處曲率最大？,解,附2. 鐵道的彎道分析,,