專題2.3-以二次函數(shù)與直角三角形問題為背景的解答題(原卷版)

1、第三關第三關以二次函數(shù)與直角三角形問題為背景的解答題以二次函數(shù)與直角三角形問題為背景的解答題【總體點評】【總體點評】二次函數(shù)在全國中考數(shù)中常常作為壓軸題，同時在省級，國家級數(shù)競賽中也有二次函數(shù)大題，很多生在有限的時間內都不能很好完成。由于在高中和大中很多數(shù)知識都與函數(shù)知識或函數(shù)的思想有關，生在初中階段函數(shù)知識和函數(shù)思維方法得好否，直接關系到未來數(shù)的習。直角三角形的有關知識和二次函數(shù)都是初中代數(shù)中的重點內容，這兩塊內容的綜合是初中數(shù)最突出

2、的綜合內容，因此這類問題就成為中考命題中比較受關注的熱點問題.【解題思路【解題思路】近幾年的中考中二次函數(shù)圖形中存在性問題始終是熱點和難點。考題內容涉及到分類討論、數(shù)形結合、化歸等數(shù)思想對生思維能力、模型思想等數(shù)素養(yǎng)要求很高所以生的失分現(xiàn)象比較普遍和突出。解這類問題有什么規(guī)律可循所應用的知識點：1.拋物線與直線交點坐標2.拋物線與直線的解析式3.勾股定理4.三角形的相似的性質和判定5.兩直線垂直的條件運用的數(shù)思想：1.函數(shù)與方程2.數(shù)形

3、結合3.分類討論4.等價轉化；解決二次函數(shù)中直角三角形存在性問題采用方法：1.找點：在已知兩定點，確定第三點構成直角三角形時，要么以兩定點為直角頂點，要么以動點為直角頂點.以定點為直角頂點時，構造兩條直線與已知直線垂直以動點為直角頂點時，以已知線段為直徑構造圓找點；2.以兩定點為直角頂點時，兩直線互相垂直，則k1k2=1，以已知線段為斜邊時，利用K型圖，構造雙垂直模型，最后利用相似求解，或者三條邊分別表示之后，利用勾股定理求解.【典型例

4、題】【典型例題】【例【例1】如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的對稱軸為直線x＝－1，且經過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸的另一個交點為B.（1）若直線y＝mx＋n經過B，C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸x＝－1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求點M的坐標；（3）設點P為拋物線的對稱軸x＝－1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標【答案】（1），；（2）M（

5、－1，2）；（3）滿足條件的點P共有四個分別322????xxy3??xy②若C為直角頂點，則BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2解之，得t＝4③若P為直角頂點，則PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18解之，得t1＝，t2＝2173?2173?綜上所述，滿足條件的點P共有四個分別為（－1，－2）（－1，4）（－1，）1P2P3P2173?4P（－1，）2173?考點：二次函數(shù)綜合題.【名師點睛】

6、【名師點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查的知識點有平面直角坐標系上點的特征、直角三角形的知識，題目綜合性較強，有一定的難度；解題時要注意應用數(shù)形結合思想、分類討論思想及方程思想，會綜合運用所的知識靈活的解題.【例【例2】如圖甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分別為B、P、D，且三個垂足在同一直線上，我們把這樣的圖形叫“三垂圖”（1）證明：AB?CD=PB?PD（2）如圖乙，也是一個“三垂圖”，上述結論成立嗎？請說明理由（3）已