離散時間信號與系統(tǒng)的z域分析（新）

1、離散時間信號與系統(tǒng)的Z域分析,,離散時間信號的Z域分析 離散時間系統(tǒng)的Z域分析 離散時間系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性 離散時間系統(tǒng)的模擬,離散時間信號的Z域分析,,理想取樣信號的拉普拉斯變換 Z變換定義 Z變換的收斂域 常用序列的Z變換 單邊Z變換的性質 Z反變換,一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換,f [k]= ak u[k] a >0的傅里葉變換？,將 f[k] 乘以衰減因子r -k,不存在!,二、Z變換定義,雙邊Z變換,Z

2、反變換：,單邊Z變換,物理意義：將離散信號分解為不同頻率復指數(shù)rejW的線性組合,C為F(z) 的ROC中的一閉合曲線。,三、收斂域（ROC）,1) 有限長序列(整個Z平面收斂),收斂域（ ROC ）:,三、收斂域（ROC）,2) 右邊序列(圓外),收斂域（ ROC ）:,三、收斂域（ROC）,3) 左邊序列(圓內),收斂域（ ROC ）:,三、收斂域（ROC）,4) 雙邊序列(圓環(huán)),收斂域（ ROC ）:,必須在|b|>|a

3、|的條件下，序列的Z變換才存在。,序列的收斂大致有以下幾種情況：(1)對于有限長的序列，其雙邊Z變換在整個平面。(2)對因果序列，其Z變換收斂域在某個圓外區(qū)域。(3)對反因果序列，其Z變換收斂域在某個圓內區(qū)域。(4)對雙邊序列，其Z變換收斂域為環(huán)狀序列。,三、收斂域（ROC）,三、收斂域（ROC）,注意：對雙邊Z變換必須表明收斂域， 否則其對應的原序列將不唯一。,四、常用單邊序列的Z變換,五、單邊Z變換的主要性質

4、,1.線性特性,ROC擴大,五、單邊Z變換的主要性質,2. 位移特性,因果序列的位移 f [k - n] ? z-nF(z) ROC = Rf,例 求單邊Z變換,單邊,單邊,例 求單邊Z變換,五、單邊Z變換的主要性質,3. 指數(shù)加權特性,五、單邊Z變換的主要性質,4. Z域微分特性,五、單邊Z變換的主要性質,4. Z域微分特性,五、單邊Z變換的主要性質,5. 序列卷積,ROC 包含Rf1∩Rf2,五、單邊Z變換的

5、主要性質,5. 序列卷積,ROC 包含Rf1∩Rf2,五、單邊Z變換的主要性質,6.初值與終值定理,應用終值定理時，只有序列終值存在，終值定理才適用。,五、單邊Z變換的主要性質,6.初值與終值定理,初值定理適用于右邊序列，即適用于kM（M為整數(shù)）時，f[k]有值。,終值定理適用于右邊序列，即適用于kM（M為整數(shù)）時，f[k]有值。,五、單邊Z變換的主要性質,6.初值與終值定理,,例：求以下周期序列的單邊Z變換。,(1),,若計算出f1[

6、k]的Z變換F1(z)，利用因果序列的位移特性和線性特性，則可求得其單邊周期序列的Z變換為,,,分析：周期為N的單邊周期序列fN[k]u[k]可以表示為第一個周期序列f1[k]及其位移f1[k-lN]的線性組合，即,,解：,例：求以下周期序列的單邊Z變換。,(1),(1) f [k]可表示為,利用?[k]的Z變換及因果序列的位移特性，可得,離散時間信號的Z域分析,,理想取樣信號的拉普拉斯變換 Z變換定義 Z變換的收斂域 常用序列的

7、Z變換 Z變換的性質 Z反變換,2,六、Z反變換,C為F(z) 的ROC中的一閉合曲線。,zi為F(z)zk-1在C中的極點,計算方法： 冪級數(shù)展開和長除法 部分分式展開 留數(shù)計算法,3,六、Z反變換,部分分式法,1. m<n，分母多項式無重根,各部分分式的系數(shù)為,4,六、Z反變換,部分分式法,2. m<n，分母多項式在z=u處有l(wèi)階重極點,5,六、Z反變換,部分分式法,3. m>n,按(1)(2

8、)情況展開,多項式,6,,解：,7,,解：,F(z)有一對共軛復根，復根是部分分式展開, 可以直接利用,8,,解：,,由指數(shù)加權性質,9,六、Z反變換,留數(shù)法,若F(z)z k-1在z = pi處有一階極點，則該極點的留數(shù)為,若F(z)z k-1在z = p處有一階極點，則該極點的留數(shù)為,11,,解：,例： ,用留數(shù)法求f[k]。,F(z)z k

9、-1在z=1, z=-0.5有兩個一階極點，其留數(shù)為,=[1+(-0.5)k]u[k],12,離散時間信號的Z域分析小結,,1) Z變換與拉普拉斯變換的關系。2) 雙、單邊Z變換的定義與適用范圍: 單邊大多用于因果離散系統(tǒng)的分析3) Z域分析與其他域分析方法相同， Z變換的性質類似于其他變換。但位移特性，單、雙邊變換明顯不同。,13,離散時間系統(tǒng)響應的Z域分析,,時域差分方程,,,,時域響應y[k],Z域響應

10、Y(z),Z變換,Z反變換,解差分方程,解代數(shù)方程,,Z域代數(shù)方程,14,二階系統(tǒng)響應的Z域求解,對差分方程兩邊做Z變換，利用,初始狀態(tài)為y[-1], y[-2],15,二階系統(tǒng)響應的Z域求解,,,Yx(z),Yf (z),16,,解：,例： 已知一LTI離散系統(tǒng)滿足差分方程,由z域求系統(tǒng)零輸入響應，零狀態(tài)響應和完全響應,對差分方程兩邊做z變換,19,解：,例： 已知一LTI離散系統(tǒng)滿足差分方程,由z域求系統(tǒng)零輸入響應，零狀態(tài)響應和完全

11、響應,零輸入響應為,,20,解：,例： 已知一LTI離散系統(tǒng)滿足差分方程,由z域求系統(tǒng)零輸入響應，零狀態(tài)響應和完全響應,零狀態(tài)響應為,,21,離散時間信號與系統(tǒng)的Z域分析,,離散時間信號的Z域分析 離散時間系統(tǒng)的Z域分析 離散時間系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性 離散時間系統(tǒng)的模擬,1,系統(tǒng)函數(shù)H(z)與系統(tǒng)特性,,系統(tǒng)函數(shù) 系統(tǒng)函數(shù)的定義 H(z)與h[k]的關系 Z域求零狀態(tài)響應 求H(z)的方法 零極點與時域特性 離

12、散系統(tǒng)的穩(wěn)定性,2,一、系統(tǒng)函數(shù),1. 定義,系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，輸出的z變換式與輸入的z變換式之比，記為H(z)。,3,一、系統(tǒng)函數(shù),2. H(z)與h[k]的關系,? [k],yf [k] = ? [k]*h[k],4,一、系統(tǒng)函數(shù),3. 求零狀態(tài)響應,f [k],yf [k] = f [k]*h[k],F(z),Yf (z) = F(z)H(z),5,一、系統(tǒng)函數(shù),4. 求H(z)的方法,① 由系統(tǒng)的單位脈沖響應求解：H(z)=

13、Z{h[k]},③ 由系統(tǒng)的差分方程寫出H(z),② 由定義式,6,,解：,例： 一LTI離散系統(tǒng)，其初始狀態(tài)為y[-1]=8，y[-2]=2, 當輸入x[k]= (0.5)ku[k]時，輸出響應為 y[k]= 4(0.5)ku[k]- 0.5k(0.5)k-1 u[k-1]-(-0.5)ku[k] 求系統(tǒng)函數(shù)H(z)。,7,解：,例： 一LTI離散系統(tǒng)，其初始狀態(tài)為y[-1]=8，y[-2]=2, 當輸入x[

14、k]= (0.5)ku[k]時，輸出響應為 y[k]= 4(0.5)ku[k]- 0.5k(0.5)k-1 u[k-1]-(-0.5)ku[k] 求系統(tǒng)函數(shù)H(z)。,,8,二、零極點與時域特性,系統(tǒng)的時域特性主要取決于系統(tǒng)的極點,9,,二、零極點與時域特性,離散系統(tǒng)H(z)與h[k]關系,,,,,,,,,,10,三、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性,定理： 離散LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是,H(z)的收斂域包含單位圓則系統(tǒng)穩(wěn)定

15、。因果系統(tǒng)的極點全在單位圓內則該系統(tǒng)穩(wěn)定。,由H(z)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性：,11,,解：,例： 已知一離散LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為,1) |z| <0.5,系統(tǒng)不穩(wěn)定,2) 0.5 < |z| < 1.5,系統(tǒng)穩(wěn)定,3) |z| > 1.5,系統(tǒng)不穩(wěn)定,試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,12,,解：,例 一離散系統(tǒng)如圖所示， 求 a) H(z) b)系統(tǒng)穩(wěn)定時q的范圍。,系統(tǒng)穩(wěn)定,13,離散

16、系統(tǒng)的模擬,,系統(tǒng)的基本聯(lián)接 系統(tǒng)的級聯(lián) 系統(tǒng)的并聯(lián) 反饋環(huán)路離散系統(tǒng)的模擬框圖 直接型結構 級聯(lián)型結構 并聯(lián)型結構,14,一、系統(tǒng)的基本聯(lián)接,1. 系統(tǒng)的級聯(lián),,15,一、系統(tǒng)的基本聯(lián)接,2. 系統(tǒng)的并聯(lián),,16,一、系統(tǒng)的基本聯(lián)接,3. 反饋環(huán)路,,,,,17,二、離散系統(tǒng)的模擬框圖,1. 直接型結構,設差分方程中的 m=n，即,H1(z),H2(z),18,二、離散系統(tǒng)的模擬框圖,1. 直接型結構,系統(tǒng)可以看成兩

17、個子系統(tǒng)的級聯(lián),描述這兩個系統(tǒng)的差分方程為,19,,二、離散系統(tǒng)的模擬框圖,1. 直接型結構,,時域框圖,20,,二、離散系統(tǒng)的模擬框圖,1. 直接型結構,,Z域框圖,21,二、離散系統(tǒng)的模擬框圖,2. 級聯(lián)型結構,H(z) = H1(z) H2(z) ….. Hn(z),將系統(tǒng)函數(shù)分解為一階或二階相乘的形式，即,畫出每個子系統(tǒng)直接型模擬流圖，然后將各子系統(tǒng)級聯(lián)。,22,二、離散系統(tǒng)的模擬框圖,3. 并聯(lián)型結構,H(z) = H1(z)

18、 +H2(z) + …. +Hn(z),將系統(tǒng)函數(shù)分解為一階或二階相加的形式，即,畫出每個子系統(tǒng)直接型模擬流圖，然后將各子系統(tǒng)并聯(lián)。,23,解：,,例：,已知 試作其直接形式，并聯(lián)形式及級聯(lián)形式的模擬框圖。,1）直接型,,24,解：,,例：,已知 試作其直接形式，并聯(lián)形式及級聯(lián)形式的模擬框圖。,2）并聯(lián)型,,25,解：,,例：,已知